|
|
s 3. ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ |
171 |
дуот, |
t |
|
__ |
что сг,\г = OJV п. н., и тем самым доказана потраекторная един |
|||
ственность решений |
(3.1). Из теоремы 1.1 и из |
теоремы 2.3 сле |
|
дует |
существование |
единственного сильного |
решения*) урав |
нения |
(3.1). |
|
|
Существование сильпого решения может быть доказано более непосредственно с использованием метода последовательных при ближений следующим образом. Для простоты предполагаем, что условие Липшица (3.2) выполняется глобально, т. е. существует константа К > О такая, что
II о (х)— о (у) II2 + 1Ъ(х) — Ъ{у) II2 < К |х — у I* для всех ж, у <= Rd. (3.3)
Тогда, изменив при необходимости константу К, мы можем пред положить, что
||а(.г)||2 + ЦЬ (*) |2 ^ К{ |х|4 + 1) для всех a ; e R d. |
(3.4) |
Дальше мы в принципе повторяем то же доказательство, что и для теоремы Ш-2.1. Пусть x ^ R d фиксировано. Для задаппого r-мерпого броуновского движения В = (B(t)) определим последова тельность d-мерпых непрерывных процессов Х„ =(X„(t)), п = = 0, 1, 2, ..., равенствами
XQ(t) = |
x, |
|
|
|
||
|
|
|
t |
|
t |
|
Xn(t) = |
x + j |
a(Xn^1(s))dB(s) + |
j b(X n- i («))& , n = |
1, 2, . . . |
||
|
|
|
0 |
|
0 |
(3.5) |
|
|
|
|
|
|
|
Положим |
|
|
|
|
||
И |
H ) — X n ( t ) = |
|
|
|
||
|
t |
|
|
|
i |
|
= |
J 1° (X„ (*)) - |
a (Xn^ (S )) dB (8) + |
j [b (Xn(s)) — b (Хп_г(,))) ds = |
|||
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
= ^i(i) + T2(f). |
|
Согласно неравенству Колмогорова — Дуба |
|
|||||
Я (sup |
l / 1( s ) n < 4 £ ( | /1(«)n = |
|
|
|||
= 4E ( j |
1 a (Xn(,)) _ a (Xn_ x (*)) f |
ш \ е {\Хп(*) _ X |
^ (*) |*)ds. |
|||
') Пространство Wd здесь заменяется через W d.
172 |
ГЛ. IV. СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так же, если t е [0, |
2’], |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
\\\b(Xn(s ))-b (X n^(s))\\ds |
|
|||
|
|
|
|
.0 |
|
|
|
|
< ТЕ ( j |
IIЪ (Хп(S)) - |
|
Ъ (Хп^ (s)) f |
d s ] < |
ТК f Е (| Хп(s)-X n^{s)\*)ds. |
|||
Vo |
|
|
|
|
/ |
о |
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е ( sup 1Х „+г(s) - |
Хп(S) |2\< |
2К (4 + Т) f Е (\ Хп (s) - |
Хп-г (s) |a)ds, |
|||||
\0 |
|
|
|
/ |
|
|
Q |
|
и поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
Е ( sup |
I Хп+1 (s) — Хп (s) \*\< |
|
|
|
|
|||
\ Q < s < 4 t |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
*1 |
* n —1 |
|
|
|
< { 2 Я ( 4 |
+ |
Г)}И| Л 1| ^ 2 . . . |
f d tn E ^ X .iQ -X ^ tn )^ ). |
||||
|
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|
Так как |
|
|
|
2E (Iо (x) В (t) 1* + |
|
|
||
E (| X, (t) - X0 (t) |2) < |
|b[(x) |a ta) < |
|
||||||
|
< |
|
2 (Iо (x) |Pt + |
1|b (x) f |
ta) < 2K (1 + |
T) T (1 + |x \% |
||
то имеем
E ( sup |Xn+1 (t) - Xn (t) П < const {2К (4 + T)}n T n/n\.
\0<«r |
) |
|
|
Следовательно, |
|
|
|
P f sup I Xn+1 (t) - X „ (t) |> 1/2” l < |
const {8Я (4 + |
Г)}" Tn/n\. |
|
\o<(<r |
J |
|
|
Согласно лемме |
Бореля — Кантелли |
мы находим, |
что с вероят |
ностью единица Xn(t) сходится равномерно на [0, Г], и так как Т было произвольно, то l i m Хп(t) = X (t) определяет d-мерный
П -»оо
непрерывный процесс, который, очевидно, является решением (3.1) .
Это |
решение имеет вид Е ( х , В) для некоторой функции F(x, |
w) |
|||
на |
R1 ® W , |
так как |
каждый Хп имел такой вид. Таким образом, |
||
X — сильное |
решение |
(3.1); |
единственность очевидна н силу |
тео |
|
ремы 3.1. |
Липшица |
(3.2) |
для потраекторной единственности |
ре |
|
Условно |
|||||
шений уравнения (3.1) можпо значительно ослабить п случае |
d = |
||||
= 1. Для простоты мы формулируем теорему в глобальном виде, предполагая, что о(х) и Ь(х) ограничены, по она может быть ло кализована, подобно теореме 3.1, очевидным образом.
|
|
|
|
§ 3. ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ |
|
173 |
U |
Т е о р е м а |
3.2. |
Пусть*) d — r = 1, и предположим, |
что о(х) |
||
Ь(х) |
ограничены. Предположим далее, что удовлетворяются сле |
|||||
дующие условия-. |
|
на [0, |
°°) |
|||
|
(I) |
существует строго возрастающая функция р(и) |
||||
такая, чтор (0) = О, |
J р~2(и) du=с» и |о(ж)— о(у) I < p(|z —у\) |
для |
||||
всех **) |
х, у е |
R1; |
0-г |
|
|
|
|
на [0, °°) |
|||||
|
(П) |
существует возрастающая вогнутая функция к(и) |
||||
с |
&(0) = 0, [ к~1 {и) du = оо и \Ь(х) —Ь(у)\ < к(\х — у\) |
для |
всех |
|||
|
у е |
о+ |
|
|
|
|
х, |
R 1. |
|
|
|
|
|
Тогда для уравнения (3.1) выполняется условие потраекторной единственности решений и, следовательно, оно имеет единственное
сильное решение.
С л е д с т в и е . Если о удовлетворяет условию Гёлъдера с пока зателем 1/2, а Ъ удовлетворяет условию Липшица, то для уравне ния (3.1) в случае d = 1 выполняется условие потраекторной един ственности решений.
Д о к а з а т е л ь с т в о |
т е о р е м ы |
3.2. |
Пусть 1 > а 1> а а> . . . |
|||||
. .. > а„ > |
. .. > |
0 определяются равенствами |
|
|
|
|||
1 |
|
|
°1 |
|
ап—1 |
(«)du=га, ... |
||
\p~2(u)du^ 1, |p~2(u)dw=2 , |
J |
р - 2 |
||||||
оу |
|
|
а2 |
|
аП |
|
|
|
Очевидно, |
что |
а„ |
0 при п -► °°. Пусть фп(и), |
п = 1, 2, |
. . — не |
|||
прерывная фупкция такая, что ее носитель содержится в |
(ап, ап_,), |
|||||||
|
|
|
|
|
“n-i |
|
|
|
|
0 |
^ |
Фп(“ X |
2р~2 (и)/ге и |
j |
фп(и) d u = I. |
|
|
°п
Ясно, что такая функция существует. Положим
Иv
фп(х) = j dy j ф„(и) d u , x <= R1.
оо
Легко видеть, что (pnGC^R1), [фп(^)|^1 и ф„(а;)1 Ы при и -*-<». Предположим, что нам заданы два решения (X,(t), B,(t)) и (X2(t), B2(t) ) на одном и том же вероятностном пространстве с
одним и |
тем |
же потоком |
такие, что Х 1(0 )= Х2(0) = ж и |
" B2{t) (= B(t)) п. н. Тогда имеем |
|||
X i (t ) - |
(t ) = |
( |
t |
j [oiX, (,s)) - |
o{X2{s))] dB (s) + J[b ( X ^ - b i X ^ d s |
||
|
|
о |
0 |
*) г может быть произвольным. Мы 'предполагаем г = 1 только для про
стоты.
**) Это изящное условие для а найдено Ямадой [186], усовершенствовав шим идею Танаки [162].
174 ГЛ. IV. СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
и, согласно формуле Ито, t
Фи (X, ( t ) - Х 2 (t )) = J Ф; {X, (s) - Х 2 ( S ) ) [о (Хх (s)) - <т(Х2 (s))] dB (s) + |
|
О |
|
t |
|
+ f ф; (X, (s) - |
Х 2 (s)) [b (Xx (s)) - b (X2(s))] ds + |
О |
t |
|
|
+ -J j |
(Xx (S — x 2(s)) [o (Xx (*)) — о (X2 (s))]a ds. |
0 |
|
Так как математическое ожидание первого члена в правой части равенства равно нулю, то
t
E[<pn(X1( t ) - X 2(t))] = E |
j |
Фп (Х^.?)—X 2(s)) {b(X1(.9))-b(X2(s))}ds |
+ |
||||||
|
: + Т * |
| ф; (X, (s) - |
Х 2 (s)) {о (X, (S)) - |
а (Х2 (з))У d e l |
= |
11 + |
/ 2. |
||
|
|
|
О |
|
|
J |
|
|
|
По неравенству Иенсена |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
K |
X |
f £ [ 1 4 ^ (s) ) - b ( X 2(*))(] |
|
|
|
|
|||
|
|
О |
t |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
< |
J E [к (I X, (s) - |
X 2 (a) I)] ds < |
f к [Я (IX x (*) - |
X a (*) |)] d* |
|||
|
|
|
о |
|
' |
о |
|
|
|
И |
1< |
-j j( 5[4P~2 о |
|
|
|
|
|
|
|
I ■/ , |
- |
* 2 (S I) P2 (I X, (s) - X 2 (s) 1)] ds < |
t/n->0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
при |
га—►oo. |
||
Следовательно, устремив n к °°, получим
<
Я (| X x (t) - x 2 (t) I X J к [E (I X x (s) - X 2 (s) |)] ds.
0
Так |
как [ к-1 (и) du = + оо, |
то из верхнего неравенства следует, |
что |
0+ |
поэтому X,(t)= X2(t) п. н. Тем са |
£"(IX ! (t)—Х2(<) 1)== 0, и |
мым доказана потраекторная единственность для (3.1).
Условие непрерывности для функций о в теореме является в известном смысле неулучшаемым. Действительно, предположим для
$ 3. ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ |
175 |
||
простоты, что Ъ{х) = 0 и с { х ) — такая функция,- что |
о(ж0) = 0, |
||
*„ie |
|
|
|
J о '2 (y)dy<i оо я а{х)> i для \х— ха\> е. Тогда уравноние |
|||
«о-в |
|
|
|
dX (t) = |
a(X(t)) dB(t), |
(3.6) |
|
. X (0) = |
х0 |
||
|
|||
имеет бесконечно много решений. Очевидно, X(t) = x0 является ре шением. Кроме того, для одпомерпого броуповского движения b(t)
с Ь(0) = 0 положим |
для каждого р > 0 %(t) = ха + b(t), Ap(t) = |
ОО |
t |
■=2 J q>(t,y)c~2(y)dy+ (xv(t,x0 = § c ~ 2{l(s))ds+pq(t,x0 a X p(t)=
—оо |
о |
|
= |(ЛрХ(4)), где Ар1— обратная функция к |
Ap(t), a <р(£, у) — |
|
локальное время процесса*) |
%{t). Тогда Xp(t) |
является регаепием |
(3.6), так как Mt = X p(t)— ха— непрерывный мартингал с
A p \ t )
t
<Ar>£=V(0= J |
оЧ1(*))^Р(5) =|о2(ВД)* |
о |
о |
(см. предложение 2.1). Нетрудно видеть, что вероятностные зако ны процессов А'р различны для различных р.
До сих пор мы рассматривали только условия для потраскторпой единственности**). Существуют также важные результаты о едипственпости решений по распределению, принадлежащие в ос новном Струку и Варадану [157] и Крылову [94]. В частности, Струк и Варадан доказали, что выполняется условие единственно
сти решений |
для |
уравнения (1.3), если |
только |
матрица a(t, х) = |
|
|
|
|
Г |
= о (i, x)a(t, |
х)* |
(покомпонентно, ay (f, х ) = |
2 СТИ t, x)dk{t, х)) |
|
непрерывна, |
ограпичепа н равномерно |
|
fc=l |
|
положительно определена, |
||||
а b(t, x) = (b'(t, х)) ограпичепа и измерима по Борелю. Здесь мы довольствуемся рассмотрением только одного частпого случая это
го красивого и важного результата. |
|
уравнение |
|
Т е о р е м а 3.3. Рассмотрим однородное во времени |
|||
(3.1). Если а(х) = а(х)а(х)* |
равномерно положительно |
определе |
|
на, ограничена и непрерывна, |
а Ь(х) ограничена |
и измерима по |
|
Борелю, то выполняется условие единственности решений. |
|||
Д о к а з а т е л ь с т в о . Мы |
предполагаем, что |
Ъ(х) = |
0; общий |
случай получается преобразованием сноса, которое обсуждается в
*) Глава III, § 4.
**) Кроме случаев, которые покрываются теоремами 3.1 и 3.2, мало что
известно о потраекторной единственности и существовании сильного решения. См. [129] и [50].