g 4. РЕШЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ СНОСА |
181 |
То есть мы предполагаем, что любое согласованное семейство вероятностных мор, абсолютно непрерывных относительно Р, мо жет быть продолжепо до вороятностпой меры на (£2, 3F). Напри мер, если (Q, $Г) — стандартное измеримое пространство, то вылюприведепное условие (4.1) выполняется.
Для X е ^ г ’*00 положим |
|
|
|
|
|
|
|
|||
M(t) = exp [X (l)~ <X>(i)/2}. |
|
|
|
(4.2) |
||||||
Мы предполагаем, |
что М — мартингал. |
Согласно |
теореме |
Ш-5.3 |
||||||
ото справедливо, папример, в том случае, когда Е ^exp |
<Х>(^ j < |
оо |
||||||||
для каждого t > 0. |
Тогда, |
если |
определим Pt |
для |
каждого |
t > 0 |
||||
равенством |
|
|
|
|
|
|
|
(4.3) |
||
Р,(А) = E[M(t): Л], |
|
|
|
|
||||||
то Pt— мера па (Q, STt) и |
P\gr |
= Р* для t > s 5s 0. В действитель |
||||||||
ности, если А е grsf то |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Pt(A) = E[M(t): A}=^E[E(M (t)\^,): Л] = £ p f ( s ) : |
А\ |
А» |
|
|||||||
Согласпо предположению |
(4.1) |
существует |
вероятность |
на |
||||||
Р |
||||||||||
(Й, ЗГ) такая, что Р|^- = |
Р(. |
|
|
|
|
|
|
|
||
О п р е д е л е н и е |
4.1. |
а, |
|
вероятностью, |
имеющей |
|||||
Р называется |
||||||||||
плотность М относительно Р. Будем писать Р = М •Р.
Таким образом, мы получаем новую систему (Й, 8Г, Р) и (3Pt)ts,о- Пространства мартингалов относительно этой системы
обозначаются через Ж*, Ж\ и т. д. Следующая теорема была до казана Гирсановым [26]*) в том случае, когда X(t) — броуновское движение.
Т е о р е м а 4.1. (I) Пусть Y<=JC2 loa. Если мы |
определим Y |
||
равенством |
|
(4.4) |
|
|
7 ( t) = Y ( t) - < Y , X > ( t) , |
||
mo У е |
Ж ^ос. |
|
|
(II) |
Пусть Y 1? У2<= |
и определим 7 t и Тгравенством (4.4). |
|
Тогда |
<Г„ |
Г2> = <?!, ? а>. |
(4.5) |
|
|||
З а м е ч а н и е 4.1. Так |
какР|^- и Р|дг( взаимно абсолютно не |
||
прерывны для каждого фиксироваппого t > 0, то лет пикакой дву
смысленности |
в утверждении |
(II): (4.5) |
выполняется |
Р-п. п. |
|||
и Р-п. н. |
|
Предположим |
сперва, что |
7 (t) |
огра |
||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|||||||
ничен в том |
смысле, что |
для |
каждого |
t > |
0 Y(t) е |
S ’” |
ф ) . |
*) См. Камерон, Мартин [81], Маруяма [117] и Мотоо [126].
182 |
ГЛ. IV. СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ |
Согласно формуле Ито
d(M(f)F(f)) = d{M(t)(Y(*)— <У, Х > ( 0 )) *=
= Y{t)dM(t)+M(t)dY{t)-M{t)d<Y, ХУ (t) + dM(t) •dY(t) =
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ¥ (t)dM(t)+ M(t)dY (t), |
|||||||
так |
как |
dM(t) = M(t)dX(t) |
и, |
следовательно, |
dM(t)'dY(t) = |
||||||||||||
= M{t)d(X, |
Y)(t). |
Отсюда |
следует, |
что |
M(t)Y(t) — мартингал, |
||||||||||||
и поэтому |
£ [?(* ) 1^3 = |
E[M(t)Y(t) ]^"s]¥ (s ) -1= Y(s). |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
В общем случае мы выберем последовательность {ои) |
|
))- |
||||||||||||||
моментов |
остановки |
таких, |
что |
для |
каждого |
п |
отображение |
||||||||||
t <-*■Y (t Д сг„) ограничено |
в |
том же |
смысле, |
что и |
выше. Так |
как |
|||||||||||
Y (t Д ап) = |
Y (t Д <т„) - |
<Х, Y ) (t Д On) = |
Y°n (г), |
где |
У °п е |
J [f°° |
|||||||||||
определен равенством F °n(t) = |
Y (t Д о„), |
то |
|
|
|
|
согласно |
||||||||||
доказанному выше и, следовательно, |
Y е |
|
|
|
|
аналогичным |
|||||||||||
|
Доказательство утверждения (II) |
можно провести |
|||||||||||||||
образом. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z(t) = |
||
|
С л е д с т в и е . |
Пусть |
|
Y<=JTlAoc, |
Ф е=2^0с(У) |
и |
|||||||||||
= j<&(s)dY(s). Тогда Ф |
е ^ |
У ) |
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% (t) - z (t) - |
|
<Z, Xy (t) = J Ф (s)dY (s). |
|
|
(4.6) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
По |
определению |
стохастического |
интег |
|||||||||||
рала достаточно доказать |
(4.6) для |
Ф <= S 0, но в |
этом |
случае |
ут |
||||||||||||
верждение очевидно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Из теоремы 4.1 следует, что если мы преобразуем вероятно |
||||||||||||||||
стную меру Р в меру Р — М •Р, то |
каждый пепрерывпый локаль |
||||||||||||||||
ный мартингал Y относительно Р преобразуется относительно ве |
|||||||||||||||||
роятности |
Р в Y — непрерывный локальный |
мартингал + |
<У, |
ХУ. |
|||||||||||||
То |
есть преобразование |
вероитпостпых |
мор |
Р - * Р = М-Р |
для |
||||||||||||
каждого локального мартингала Y порождает снос |
<F, ХУ. По этой |
||||||||||||||||
причине преобразование мер Р *-*■ Р называется преобразованием сноса. Часто это преобразование также называется преобразовани ем Гирсанова.
Метод преобразования сноса можно применить для решения од ного класса стохастических дифференциальных уравнений. Пред положим, что заданы а е ' и р е s4-d-*, и рассмотрим стохасти ческое дифференциальное уравнение
dX{t)=a(t, X)dB(t)+$(t, X)dt. |
( 1.1) |
§ 4. РЕШЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ СНОСА |
183 |
|||||
Предположим, что |
решение (X, |
В) задано па вероятпостпом про |
||||
странстве (Q, |
Р) с потоком |
|
t). Без |
ограничения |
общпости |
|
можно считать, что эта система |
удовлетворяет условию (4.1). Вы |
|||||
берем у е si-r' 1 ограниченной или, |
в более |
общем случае, |
удовлет |
|||
воряющей условию |
|
|
|
|
|
|
[ехр |
X)|2ds |
< |
оо |
для каждого t > |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
I |
v |
|
|
ехр Jу (s, X) dB (s) - |
|
||||
М (t) = |
± Jj|y(s, X) |* Ц |
(4.7) |
||||
является (STt)-мартипгалом. Пусть Р = |
М •Р. Согласно теореме 4.1 |
|||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
B(t) = В (t) — J у (s, X) ds |
(4.8) |
||||
|
|
|
о |
|
|
|
является r-мерпым (ЗГ()-броуновским движением на вероятностпом
пространстве |
(Q, SF, Р) с потоком |
(^ ",)|>0. Действительно, так как |
||
X в (4.2) совпадает теперь с |
|
|
|
|
J Y(*, X)d2?(s)f = |
i ) |
|
( * ) ) : - Y(t), |
|
о |
\ |
*—1 о |
|
I |
В1(t) = |
В* (t) - <5\ Y > (t) = |
В{ (*) - j |
у1 ( S , X) ds е= jr*’loc |
|
|
|
|
О |
|
и <5!, В1} (t) — <В\ В3} (t)= |
|
из чего |
следует, что В является |
|
г-мериым (З^)-броуновским движением. Согласно следствию теоре мы 4.1 имеем
|
dX(t)=>a(t, X)dB(t) + [p(t, X)+os(f, X)y(f, X)]<ft. |
(4.9) |
||||
Отсюда следует, |
что (X(t), |
B(t)) |
— решение стохастического |
диф |
||
ференциального |
уравнения |
(4.9) |
на вероятностном пространстве |
|||
(Q, |
3~, Р) |
с потоком (@~t) оо- Таким образом, мы получили реше |
||||
ние |
(4.9) |
посредством применения преобразования сноса к реше |
||||
нию |
(1.1). |
Кроме того, если выполняется условие единственности |
||||
решений (см. определение 1.4) для уравнения (1.1), то опо также выполняется для уравнения (4.9). Чтобы показать это, мы без
ограничения |
общности можем |
предположить, |
что |
у е £ФТ’ 1 |
имеет |
||
вид y(t, w) = |
a*(t, in)ri(£, w) |
с |
некоторой |
|
(a*(t, |
w) e |
|
e s l T-d— транспонированная a (t, |
w) ; |
как обычпо, |
мы рассматри |
||||
ваем ее как липейное отображение R* |
Rr.) |
Действительно, |
пусть |
||||
184 |
|
|
ГЛ. IV. СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ |
|
|
|
|
|
|
|||||
Rr = |
a*(f, |
w) (R1*) © a* (f, w) (R**)-1- — ортогональное |
разложение |
и |
||||||||||
t(t, |
w) = ^i(t, w) + ^ ( f, |
W) при этом разложении. Тогда ^ е ,р£г. |
и |
|||||||||||
Чи |
очевидно, |
ограничена, |
если |
j |
была |
ограниченной |
||||||||
а (£, |
w)i(t, |
w) = |
a(t, |
|
w), |
так |
как <x(t, w)^2(t, |
w) = |
0, что> |
|||||
видно из соотношения |
(a(t, w)^2(t, w), |
y) = {'у2(^ |
w), |
a*(t, |
w)y)~ |
|||||||||
= 0 |
для любого |
y ^ R d. Наконец, |
выберем ц(£, |
w) |
из |
аффинного |
||||||||
пространства ly:a*(t, |
w)y = |
*{,(t, |
и;)} |
в Rd такую, |
что |
т | е ^ ''; |
||||||||
например, пусть ц (t, w) — единственный элемент в аффинном про странстве, находящийся на минимальном расстоянии от начала. Заменив к через у,, получаем требуемое утверждение.
Тогда M(t), задаваемое равенством (4.7), является однозпачно
определеппым функционалом от X: |
|
|
||
I |
t |
t |
|
|
M(t) = exp |
Jv(e, X)dB(s)~ -|-JI Y (S, X)V ds |
|
||
^0 |
0 |
|
|
|
|
|
*= exp JJ Ц(s, X) dMx (s) — у |
J|| a* (s, X) T]( S , X) J* dsl, |
|
где |
|
'0 |
0 |
j |
|
t |
t |
|
|
|
|
|
||
Mx (?) = |
X (t) - X (0) - j* p (s, X) ds = |
j' a (s, X) dB (s). |
|
|
|
|
о |
0 |
|
Таким образом, из единственности решений уравнения (1.1) следу ет, что совместное распределение процесса (X(t), M{t)) единствен ным образом определяется по начальному распределению X.
Теперь покажем, что из единственности решений для уравнения (1.1) следует единственность решений для уравнения (4.9). Дейст
вительно, отправляясь от любого решения (X{t), B(t)) уравнения
(4.9) на вероятностном пространстве (Q, ST, Р) с потоком ($"(),>0, удовлетворяющих условию (4.1), определим
[ |
1 |
t |
- |
— J Y (s>%)dfi(s)~- Y |
J*||Y (S, £ ) f d s |
, |
|
|
U |
0 |
- |
|
t |
|
|
В (t) = S{t) + |
j у (s, X) ds, |
|
|
|
о |
|
|
И
P = M •P.
>4.
Тогда (X(i), В (t)) —решение уравнения (1.1) относительно веро ятности Р, и нетрудно видеть, что если применим описанное выше
преобразование сноса к решению (Х(г), B(t)), то возвратимся опять к (X (t), B(t)). Так что любое решение (4.9) получается пре
|
§ 4. РЕШЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ СНОСА |
185 |
|
образованием |
сноса из некоторого решения (1.1), и, |
следовательно, |
|
н сочетании с |
вышеприведенным |
замечанием из |
единственности |
решений для |
(1.1) получаем единственность решений для (4.9). |
||
Резюмируя, получаем следующий результат. |
|
||
Т е о р е м а |
4.2. Если уравнение |
(1.1) имеет единственное реше |
|
ние, то и уравнение (4.9) имеет единственное решение; более того,
решение (4.9) |
получается из решения |
(1.1) |
посредством преобразо |
||||||||
вания сноса. |
|
Предположим, [5 е s4-d-1— ограниченная |
функция. |
||||||||
С л е д с т в и е . |
|||||||||||
Тогда стохастическое дифференциальное уравнение |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
dX(t) = dB(t)+$ (t, X) dt |
|
|
|
(4.10) |
|||
(т. e. стохастическое дифференциальное |
уравнение (1.1) |
с |
a — I, |
||||||||
где I — единичная матрица) имеет единственное |
решение |
и оно |
|||||||||
строится следующим |
образом. Выберем |
на |
некотором |
вероятност |
|||||||
ном пространстве (Q, |
ЗГ, Р) с потоком |
(3Ft) (Ss0, |
удовлетворяющих |
||||||||
условию (4.1), d-мерное (@~t)-броуновское движение B(t) |
с В(0) = |
||||||||||
= 0 и d-мерную ЗГ0-измеримую случайную величину ^С(О) |
с задан |
||||||||||
ным распределением р. на- R*. Положим |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
X(t) = X(0)+B(i), |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
7 |
|
t |
|
|
-* |
|
|
|
M(t) = |
exp |
J* p (S, X) dB (s) - |
± J Щз, X) I* ds |
, |
|
|
||||
|
|
|
|
0 |
|
0 |
- |
1 |
|
|
|
|
P = |
Л/-.Р, |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
B(t) = B { t ) - j P(s, X)ds. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
(X(i), |
# ( £ ) ) — решение (4.10) |
на вероятностном пространст |
||||||||
ве (Q, |
ЗГ, Р) |
с потоком (STt) ^ 0. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким образом, стохастическое дифференциальное уравнение |
|||||||||||
(4.10) |
всегда решается, и единственным образом, посредством мето |
||||||||||
да преобразования споса. Построенное таким путем решение в об щем случае пе обязательно является сильным решением. На самом деле Цирельсоп [178] построил пример стохастического дифферен
циального уравнения вида (4.10), решепие |
которого |
не |
является |
||||||
сильным. |
|
4.1 (Цирельсоп |
[178]). |
Пусть |
d = 1, |
и определим |
|||
П р и м е р |
|||||||||
|1Ц, w)^ М 1'1 |
следующим образом: |
пусть |
0(ж) = ;r(mod 1) = х — |
||||||
■■[х] е [0, |
1), |
ze=R‘ , и |
пусть |
U*: /с == 0, — 1 |
- 2 , ...} — последова |
||||
тельность такая, что 0 < |
th~t < t k и lim |
tk — 0. Для w e W |
положим |
||||||
|
( w(tb) — w(tk-1)\ |
h-*—*o |
|
|
|
||||
P(t, w) = |
если t s-- [f&, fftj-x), fc — —■1) |
' 2, .. |
|||||||
V |
* * - f* -i |
/ ’ |
|||||||
если t = 0 или 1 t 0. |
|
(4.11) |
|||||||
|
0, |
|
|
|
|||||