Материал: Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

*76	ГЛ. IV. СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
следующем параграфе. Положим
	Ап*) - т 2	с ’ («')•
	i»j=l

Согласно предложению 2.1 достаточно доказать, что если Рк— ве роятность на (Wd, &(W d) ) такая, что

(I)	Pxiw: ш(0) = х} = 1, и
				t
(И)	/ (ш (i))— / («?(0))— J (Af) (w(s))ds является								(JP « , (Wd))-
мартингалом для			/ е	0
				Сь (Rd),
то	определена		единственным		образом. Как			мы	увидим в след-
ствии	теоремы	5.1,		достаточно	доказать, что			г ~		_
								Ех	\|е	Mf{w(t))dt
								Li>
определяется единственным образом для каждого									/ e C t (Rd) , т. е.
для любых двух			вероятностей Рк и Рх				на (Wd, ^ (W d)), удовлет
воряющих (I) и		(II),			Г 00
		оо		"1					”1	(3.7)
	Ех	§ e-ktf{w(t))dt\ = Е'х				j	e~ktf(w (t))dt I
	. 0			J	lo				J
для каждого / е		C(,(Rd). Мы получим				этот результат с				применени

ем метода возмущений к винеровской мере. Сперва мы покажем, что существует положительная постоянная е такая, что если а(х) — = (аи(х)) удовлетворяет условию

\ai!(x)—6Ч|«£ е для всех x e R * и г, / = 1, 2, ..., d,

(3.8)

то для любого х и любых двух вероятностей Рх и Рх, удовлетво ряющих (I) и (II), выполняется равенство (3.7).

Теперь мы перечислим некоторые аналитические свойства опе раторов, связанных с броуповским движением, которые нам пона

добятся в последующем изложении. Положим
gt (*) =	(2nt) ~ d/2 exp ( - !\|12) ,	t > 0,	х е= Rd,
	СЮ
vx(x) =	j e~ugt(x)dt,	Я > 0 ,	x e R d,
И	О
И

(Vi.f){x) = J v%{x — y)j (y) dy.

Тогда справедливы следующие предложения. Пусть к > 0 фикси ровано.

8 3. ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ

177

(1)

V *,— ограниченный

оператор,

отображающий

S ’, (К*)

в се

бя, такой,

что

HVjJI,

HvA =

1Л,. Это

предложение является

след

ствием

хорошо

известного

неравенства

Хауедорфа — Юнга.

(2)

Если

то

существует

константа АР,

зависящая

Только от р и d, такая, что

^ / ( ж)К Л 1 /| р

Для всех

(R d)

и a?'eR d.

Действительно, согласно неравенству Гёльдера

IУif (*) К II Vxiq|/ ||р,

где

i/p+[l/q = l,

со

оо

_—Tl

— ^

Йvx|g

const § e~Ktt

2 '

9 'd t< o o t

eCjm4

( l - i . ) =

| ; < 1-

(3)

Для каждых

uV f

для ♦) / е С к (R d)

может

быть

продолжен до ограниченного оператора, отображающего

2 ’P(R<) в

себя для каждого

р >

1, т. е. существует константа

Ср,

зависящая

d V ,/1

только от р и d, такая, что

д х гдх*

C J /L .

—:—И

Доказательство

случае

р = 2

легко проходит с

применением

преобразования

Фурье,

общем

случае

приходится

обратиться

к глубокой Й’р-теории для сингулярных интегралов

(см.

[152]).

Предположим,

что

a(x) = (ai}(x))

удовлетворяет

(3.8),

пусть

Рк— вероятность

на

(Wd,

&(W d ) , удовлетворяющая

вышеприве

денным условиям

(I)

(II). Тогда

(

Ex [/ (w (*))] =

/ (х) +

j Ех [(Af) (w (s))] ds

для

/ <= Сь (Rd)

и, следовательно, для фиксированного %> 0 и х е

ЬЕХ | e~uf {w (*))

/ (х) +

Е х р

(Af) (w(* )) * ] .

Поэтому,

обозначив Е х

J e~Mg (w (t))

через

p * (g), имеем

>“ ■( y

- 1

д/ )

/(x ) + 4

(

« « (•) J£

J (•)).

•) CK (Rd) —пространство С00-функций на ft* с компактными носителями,

12 С. Ватанабэ, Н. Икэда

478

ГЯ. IV . СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

где

cii(ij)^ ail(y)~ б«- Положив

/ = VJi

для

h е

C%(Rd),

полу

чаем

{ 4 *

divxh

v ih (x) +

<->)■

Применив вышеприведеппыо свойства

(2)

(3)

для р > d/2 V 1,

будем иметь

|П, (h) К

Ар|h ||р+

d2Cp sup

(/) 11|h |р.

Следовательно, если sup |р*,(/) I =

IM-xle<

°°»

то мы можем заклю-

ИЛ1р<1

чить, что ll^ll9 ^ ^ p / ( i — Y ^ C p )

для

всех

е > 0

таких,

что

1— 1 d1 Cp >

0. Это можно проверить следующим образом. Положим

Y m(t, w) =

A ту

t е

[к/2т , (/с +

1)/2т ),

* -

0, 1,

Xm(t, w) = х + § a(Ym(*))

(s),

где B = (B (t,

w) ) — d-мерное

(Jf, (Wd) ) -броуновское

движение

та

кое,

что

w(t) = x +

[ о (w (s)) dB (s)

(см. теорему II-7.1). Тогда легко видеть, что распределение РЫ

процесса (Xm(t))

сходится слабо к Рх и, в частности,

lAm)(/):

Я*

J e -w/(X m(t))*

М/)>

/ e C b(Rd).

Так

как

(u;(£), t <= [/c/2m,

(& + l)/2 m)}

является

относительно регу

лярной

условной

вероятности

Рт(•

(V)) линейным

преоб

разованием d-мерного броуновского движения посредством постоян

ной матрицы a(w(k/2™)), то из	(2) мы видим, что
\| р П , - sup	]e ~ Mf(X m(t))dt^	о о .
Мр<1
Далее, аналогичными рассуждениями получаем
U w)lg< ^	/ ( 1 - \| r f 4 7 p) .

§ 3. ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ

№

Наконец, устремив т к

получим

П т | | р П ,< AV/ (l - f d * C p)

		т - * о о			/	V		'
Пусть Рх — другая вероятность					на (Wd, ЗВ(Wd)), удовлетворяю-
щая	вышеприведенным		условиям		(I)	и (II). Тогда для каждого
фиксированного х и		/ е	Ск (Rd)		имеем
где	Рх(/) =	(х) +		Рх№ ./)	и Рх ( /) = ^ x/fa) + M Kif)>
где				a
				a			£ V
	* х Ш			= 4 - 2	cW(^)		£ V	(У%
				i,j=l			dx^dx1
a	определяется	так	же, как и		р*,		только по мере Рх- Следо-

ватсльпо,(рх — рх)(/)==(рх — Рх) (#*/)• Но ЦЯа/11р< 1 Г бСр1/11р- По этому

„suP \| (р х — Р х ) (/)1	еСр su p	I (Р*. -	Р х) (/)1.
Н/11р^1	М \ р < 1
и, следовательно, если выберем	е > 0	такое,	что -g-eCp< 1, то

Рх(/) = Рх(/)-

Таким образом, мы доказали единственность вероятностей

{Px}x^ d	в том случае, если	av(x) удовлетворяет условию	(3.8)
для е > 0	сР	1. Очевидно, матрица (б«)	может
	такого, что -j еСр<

быть заменена любой положительно определенной постоянной мат

рицей	С = (Си), а е > 0		может	быть выбрано независимым от Су
если	только	А ^>,(С,)^ ^ (С ,) <		В для пекоторых	положительпых
копстант А		и В, где X (С)	и к (С) — паимепыпее и		наибольшее соб

ственные значепия матрицы С соответственно. Теперь мы изба вимся от ограничения (3.8) следующим стандартным методом ло кализации. Положим

т (и?) = inf t; max |av (w ( t ) ) — ali (w(0)) j ^ e

Тогда из получепного нами результата следует, что для любой {Р'х\*

удовлетворяющей		(I) и (II),
Рх \wx е А) =		р'х \wx е	А)	для каждого- х		и	А е 9g (W d), (3.9)
где	Wx е W d определяется		равенством		wj (и) =		ш(т Д и).	Обозна
чим	Рх {и>т е 4 },	х <= Rd, i e		AS(Wd),	через	р{х, А). По		теореме

12*

180 ГЛ. IV. СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Дуба о преобразовании свободного выбора нетрудно убедиться в том, что если в — (&t(Wd) ) -момент остановки такой, что PX(Q< «>)==

=1,

то для

Рх-почти всех w

PW(A) =

Px{w$ е А\ ^ e (W d)),

4 е

<=,$(W*), удовлетворяет вышеприведенному условию (II)

и*)

p ' w ( w w' (

)

w(Q=

(w))) =

1 .

Здесь u?e e

W d определен равенством

( W Q ) ( U )

= w(Q + и). Исполь

зуя это предложение, нетрудно вывести следующее: пусть

т0И

= 0,

t 1(w) =

x(w),

т2(ш) =ii(w ) +т(и?^),

Тп+х и

Т„ (ц>) +

т|(и^п)

И Фnw = fw t)-/

+ \,

п = 0, 1, .

тогда

Рх{w\ ф0и>е Ай, ФХИ7 e

i „ .

Ф„н; е

Ап} =

j р{х, dwa}

j р (ш0 (т (w0)), d w j ...

J р (^п_1(т(и;п_ 1)), dwn) =

А 0

A y

А п

Р* {ю; Ф0н> <= Л» Фх» е= Аг, . . . , Фпн; <= Л,}.

Так как т„ (ш)

оо для каждого w, то отсюда следует, что Рх =

Рх.

§ 4. Решение посредством преобразования сноса

и замены времени

Некоторые стохастические дифференциальные уравнения могут

быть решепы

(т. е. мы можем

показать

существование

и един

ственность

решений) несколькими вероятностными методами. Эти

методы иногда применимы даже к тем уравнениям, которые не

охватываются теоремами, полученными до сих нор.

4.1.

Преобразование

сноса.

Пусть

(й,

ЗГ, Р) — вероятностное

пространство с потоком

(^"i). В дальнейшем мы предполагаем, что

(Й, ЗГ, Р)

о обладают

нижеприведенным свойством:

Допустим,

что для каждого

0 р( — вероятностная мера

на (й, ^"(), абсолютно непрерывная относительно Р и такая,

что сужение р,

на ЗГ, совпадает с р, для любых t > s > 0.

Тогда существует вероятностная мера р на

(Й, ЗГ) такая,

что

сужение р на

t совпадает с р( для каждого

(4.1)’

*) Си. следствие теоремы 1-3.2.

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных