Материал: Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

186

ГЛ. IV. СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Ясно,

что

p(f,

w)<^s£1’1 и

ограничена. Однако

одпомерное

стоха

стическое

дифференциальное

уравнение (4.10)

не имеет сильного

решения.

Допустим, напротив, что это стохастиче

Д о к а з а т е л ь с т в о .

ское дифференциальное уравнение имеет сильное решение

(X (t) ,

B(t)). Мы можем считать, что

Х(0) =

п. н. для

некоторой кон

станты х е R1.

Тогда

по

определению

сильного

решения

имеем

a[X(s):

<т[Я(*): « < * ] .

Теперь

fft+i

X(tk+i) — X (th

= В (th+1

— B{th)+

P (t, X) dt — В (th+i)

*ft

— В (th + 0 (

‘ft

‘ft-1

(tk+i _

tji)

для

A: =

— 1, — 2, ..

и, следовательно,

если положим

^ (fft)~ ^ (fft-i)

в (*ft)

В(*к~l)

fe=

1, - 2 ,

Ч * -

<ft__tft-1

’

‘ft-1

= ^*+1 "f" 0 (Tlft)*

(4.12)

Следовательно,

e2*" i,,ft+1 =

e2ItiEA+1e25,i%( i = V —l),

поэтому

e 2ninh+1 _

g2nilft+lg2msft> , .g W itk -l+ lg W in h -l'

(4 .1 3 )

Так как

B(t)

является

(^",) -броуновским движением и

(X(t),

B(t)) — (3^t)~согласованная пара

процессов,

то

имеем, что

|*+1 не

зависит от о[^, g*-,, gft- 2,

..., тр,

т)л_,,

...]

и,

таким образом,

из (4.13)

E [ f **ч*+1] =

£ [е8яй*-^+1] £ [ е2Л^ - '] .

п = 0

Так как

|Е [е2™ * -'] | <

Е [e23,iln] =

exp [ -

2д2/(*п -

f ^ ) ] ,

то имеем

1 Е [е2я^

+1] |<

ехр [ -

2л2

(tk. n+1 -

«*_„)-* .

Устремив l -*■ оо? получаем

Е\е‘1тЦк+1\= 0,

к ------ 1 , - 2 , . . .

(4.14)

Положим^?"1"1=

a [B(t) — B(s):

< s <

fh+1].

Тогда a[X (u)T

B(u),

и ^

tk-i] (c : S

не

зависит

от

цоэтому, согласно

(4.13)

(4.14),

Е [e23IiTfo+i |<g)+1] = e2!tll^+ie2nilk- •.e25Ii|fc-*+iE [e2Iti1fift—г] _ о.

	§ 4. РЕШЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ СНОСА			187
1faK как	V $ г +1 =	:э	то, устремив Zt <», получаем
в*"™ = £ [е2я^+11 Г			] = lim £ [e2I,iT1*+i \|<^+1] =	О
			l-foo
(см. теорему 1-6.6). Но ото, очевидно, является противоречием.
4.2.	Замена времени. Другим вероятностным методом, применяе

мым ипогда для решения стохастических дифференциальных урав нений, является метод случайной замены времени. Общая теория замены времени в мартингальной теории хорошо известна; мы уже обсуждали ее частично в главе II и в § 1 главы III. Чтобы избе жать нежелательных осложнений, мы ограничимся одним специаль ным классом замен времени, описываемым следующим образом.

Пусть I — класс функций q>: t *= [0, оо) >->. ф; *= [0, оо), удовлет воряющих условиям:

(I)ф0= 0;

(II)ф — непрерывная и строго возрастающая;

(III)

ф( t

00 при И

оо.

ф ^ I,

то ф-1 ^ I.

Очевидно,

если

ф-1 — обратная функция для

I — подмножество W 1, и борелевские поля, индуцировапные ^ (W 1),

i? ((W '),

обозначаются

через ^ (1)

и 38t’(l) соответственно. Каждая

ф е 1 определяет преобразование

I4 пространства

W* в

себя

по

средством равенства

Г *: w е

W" — (Г*!г) е W ',

(4.15)

где (Т*w)(* )- W (ф( О» *е

[0,

оо). Т* называется

заменой

времени,

определенной посредством ф ^ Г

потоком

Пусть

задано вероятностное пространство (£2, £Г, Р)

о-

Рассмотрим

отображение

ф: £2э ю *-►ф(to)е

I, которое

^ “(1 ^ (1 )-измеримо

для каждого

t. Такое ф = ( ф (((о))

называется

процессом замены

времени. Очевидно, Ф = (ф1 (<«>))— (^^-согласо

ванный возрастающий

процесс, и, следовательно, если фГ1 (to) — об

ратная функция к t ь-» ф( (со),

то фГ1 —

4) -момопт остановки

для

каждого

фиксированного

t е

[0,

оо).

Если X = ( X ( t ) ) — непрерыв

ный (^^-согласованный процесс, то

Т*Х = ( (Т^Х) (t)),

определен

ный равенством (Г ФХ ) (t) = X (фГ1)] является непрерывным

согласоваппым процессом. Процесс Т*Х называется процессом, по лученным из X посредством замены времени ф.

Для процесса, получепного заменой времени ф, онродолим но

вый поток	(#"<) равенством	3Tt = 3r _ ь	t е [0, °°). Класс *#з’1осот-
носительно	8Г%обозначается	через	Важным следствием тео

ремы Дуба о преобразовании свободного выбора является то, что

если X е	1ос, то ГФХ е Ж\’1йС, и если X , 7 G	то
	<ТХ, 7 7 )= ТЧХ, У>.	(4.16)

188	ГЛ. IV. СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Теперь мы применим метод замены времени для решения сто хастических дифференциальных уравнении. В последующем мы рассматриваем случай с d = 1, г = 1 и р = 0. Таким образом, для заданного a(t, w) е # ' рассматриваем уравнение

dX(t)=a(t, X)dB(t).

(4.17)

Для простоты предполагаем, что положительные постоянные С, и Сг — такие, что

			С1< а (М е ’)< (7 2.		(4.18)
Как мы видели в теореме 4.2, если мы решим уравнение					(4.17), то
мы сможем	решить	и	более	общее уравнение, имеющее снос
Р [t, w)dt, посредством метода преобразования сноса.					{ЗГ,)-броу
Т е о р е м а	4.3.	(I)	Пусть	b = (b(l))— одномерное	{ЗГ,)-броу

новское движение с 6(0) = 0, заданное на вероятностном простран

стве (S3, ЗГ, Р) с потоком		о, и пусть X (0) — (&~о)-измеримая
случайная	величина. Определим непрерывный процесс £ = (\| (t))
равенством	\{t) = Х (0 )+ b{t).	Пусть ф=(ф<)— процесс	замены
времени такой, что га. к.
	t
	ф( = \| о ( ф „ Г фб )-* * .		(4.19}
	О
Тогда, если положим X = 7 ,<р\| (m. е. X{t) = \(фГ1) = X (0) +			Ъ(фГ1) )

и 3Tt = ЗГу-i, то существует {ЗГ,)-броуновское движение B = B(t)

такое, что {X(t),	B(t))	является решением (4.17)	на вероятностном
пространстве (£2,	ЗГ, Р)	с потоком {ЗГ,),>0.	(4.17) на вероят
(II) Обратно,	если	(X(t), В (t))— решение	(4.17) на вероят

ностном пространстве (Q, ЗГ, Р) с потоком {3T,)t>„, то существуют


поток {ЗГ,),>0, {ЗГ\)-броуновское движение b={b{t))								с	6(0) = 0 и
процесс		замены времени ф = ф(£) относительно					потока		{3Tt),		та
кие,	что если положим \|(£) =			Х(0) + b(t),	то		(4.19)	выполняется
га. га.	и X = Т91 . То есть любое решение уравнения							(4.17)		может
быть задано таким же образом, как в части (I)							настоящей теоремы..
С л е д с т в и е . Предположим, что заданы одномерное									(&"t)-броу
новское		движение	b = b (t ) и	ЗГ„-измеримая		случайная			величина
Z(0).	Определим		\| =(£(£))	равенством	%{t) — Х { 0 ) + b{t).						Если
существует процесс замены времени ф					такой, что			выполняется
(4.19), и если такое ф единственно (т. е.					если i\|?— другой					процесс
замены времени, удовлетворяющий (4.19),					то ф ( £ ) " ф ( 0				п. га.), то
решение		уравнения (4.17)		с начальным		значением			Х(0)		су

ществует и оно единственно. Более того, решение задается равенст вом X =

Д о к а з а т е л ь с т в о . (I) Если b={b(t)), Х (0 ^ и	ф=(ф() опре
делены согласно части (I) теоремы, то М = Гф6 <=	и <Af> (t) =

§ 4. РЕШЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ СНОСА

189

*1'

в силу (4.19) t =

т фГ1.Если % — Т*%, то

J сс(ф 8, Х)Чф8 и, следова-

тельно,

<p71

(Му (t) = фГ1=

j «

(ф8, Х)2йфа= j ос(s,X)4s.

Положим

(«(*, X )rV W (s).

Тогда

5 е

3 fr l0C

и <Я> (i) =

= J a (s, X)~2d (Му (s) =

t. Отсюда

следует,

что

В — {SF,)-броунов-

ское

движепие. Так

какM(t)=X(t) — X(0)=jcc(s,X)dB(s),

то

(X, В) — решение

(4.17).

уравнения

(4.17)

на

веро

(II)

Пусть

(X(i),

B(t) ) — решение

ятностном

пространстве

(Q,

3~,

Р)

потоком

(&~t) оо-

Тогда

M(t) =

X (t) -

X (0) s

J t? oc и

(МУ (t) =

a (s, X)4s.

Положим

y(t) =

<M> (£), ф( = фГ* и

- j - Очевидпо, ф = (f<) — процесс

замены

времени

относительно

.О.

процесс

b = ( b ( t ) ) =

( ^ (),

= (M(q)t)) — (З^-броуповское

движепие (теорема II-7.2). Если мы

теперь положим %(t) = Х(0) + b(t),

то Т*% = Х. Более того,

так как

t =

J a (s, Х )-2йфа,

то отсюда следует, что

Фг =

j a (s, Х )-2^

j а(ф„, X)~zdu =

j а (фм, T 4 )~ 2du

и,

следовательно,

ф=(ф()

удовлетворяет

уравнению (4.19).

Дока

зательство теоремы завершено.

функция

П р и м е р

4.2. Пусть

а (ж)— ограниченная борелевская

на R1 такая,

что

а(х) ^

С для некоторой

положительной

постоян

ной С. Положим a (t, w) — a(w{t)). Таким образом, мы рассматри ваем стохастическое дифференциальное уравнепие марковского ти

па, однородное во времени. Если X (0)	и b = b(t) заданы,	то урав
непие (4.19) можно записать следующим образом:
t	t
Ф, = J а [ ТЧ (ф8)]~2^ -	f a (l (s))~*ds,	(4.20)
о	о

где %{t\= Х (0) + b(t). Следовательно, ф( единственным образом он-

ГЛ. IV. СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

уделяется через g (£), и поэтому решение стохастического диффе ренциального уравнения

dX{t) = a(X{t))dB(t)

задается в виде X (t) — \| (срг1) .			борелевская функ
П р и м е р 4.3. Пусть a(t,	х ) — ограниченная
ция на [0, °о)х R1 такая, что	a(t, х ) > С для		некоторой	положи
тельной постоянной С. Положим a (t,		w)=a(t,	w(t)). В этом слу
чае уравнение (4.19) принимает вид
t		t
Ф( = J а 1фа, T%((f,s)]~2ds =		fа [<р„ g (s)]~2ds.		(4.21)
■о		о

Это уравнениеср( эквивалентно следующему дифференциальному урав нению для вдоль каждой фиксированной выборочной траектории процесса g (t):

|ф( = 1/д [фг, g (f)]2 ),

(4 2i) '

1фо = 0 .

Условие липпшцовости a(t, х) по t является одним из простых до статочных условий существования единственного решения (4.21); в этом случае единственное решение стохастического дифференци ального уравнения

dX(t) = a(t, X(t))dB(t)

задается равенством X (t) = g ( фГ1) (см. Ершов [47]). С другой сто роны, Струк и Варадан [159] доказали, что вышеприведенное стоха стическое дифференциальное уравнение всегда имеет единственное решение. Этот факт в свою очередь мояшт быть использован для доказательства того, что вдоль каждой фиксированной выборочной

траектории процесса g (t) уравнение (4.21)			имеет единственное ре
шение ф( (см. Ватанабэ [11]).		Пусть	локально	ограничен
П р и м е р 4.4. (Нисио	[134].)
ная борелевская функция	на R1,	а (ж)— ограниченная борелевская
функция па R1 такая, что	а(х)> С для некоторой положительной
постоянной С, и г/е R1. Положим a(t,w)=a			w(s)) ds	w<= W1.

Соответствующее стохастическое дифференциальное уравнение име ет вид

dX (t) = a У + j / (X W ) dsj dB (s),

(4.22)

— dt 4V

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных