§ 4. РЕШЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ СНОСА |
191 |
|||
• уравнение (4.19) |
задается следующим образом: |
|
||
|
t Г |
«Га |
\ -2 |
|
ф( = |
J Я |
У + j |
/ [(JT*g) и ] du |
(4.23) |
Далее, |
|
|
|
|
j / [(Т%) («)] du = |
J / [g(<p„*)] du = J / [l(u)] tf<p„ = j / (i (u)) <pUdu. |
|||
0 |
o |
o |
o |
|
Поэтому (4.23) эквивалентно следующему уравнениях |
|
|||
|
|
t |
|
|
|
% = |
1/я (У + j / ( I И |
) |
(4.24) |
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
<Ро = |
0. |
|
|
Единственное решение этого последнего уравнения для каждого заданного %(t) можно построить следующим образом. Положим
t
Z{t) = j f(l(u))q>udu.
о
Тогда
z{t)=im))vt=nm)/«{y+mr
и, следовательно, |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
t |
|
|
j a (у + Z (s)fZ (s) ds = |
j f(l (s})ds. |
|||||
о |
|
|
|
0 |
|
|
Поэтому, если мы определим А (х) |
равенством |
|
|
|||
|
X |
|
|
|
|
|
|
J а(у + z)Hz |
|
для |
х > |
Q, |
|
Л(х) = |
о |
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
— J а (у + zydz |
для |
х ^ |
О, |
||
то тогда A(Z(t)) = J / (|(s)) ds и, следовательно, Z(t) = |
А 1 |
|||||
о |
функция |
к |
функции |
х >->■А (х . Таким об- |
||
где А~1 (х) — обратная |
||||||
разом, единственное решение ср( задается равенством |
||||||
t |
i |
/ |
' |
Г * |
|
]\ -г |
ф( = j а (у + Z (s))~2ds = | а I у + А~г j |
/ (g (и)) du\J ds |
|||||
192 ГЛ. IV . СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
я, следовательно, единственное решение уравнения (4.22) сущест
вует и задается равенством X (t) = £ (срГ1)-
Заметим, что в частном случае с f ( x ) = x уравнение (4.22) эк вивалентно следующему уравнению движения со случайным уско рением:
ldX(t) = a (r(t))d B (i), |
(4.25) |
l r ( 0 ) = y.
§ 5. Диффузионные процессы
Диффузиопные процессы составляют класс процессов, которые характеризуются двумя свойствами: марковостью и непрерывностью траектории. Так как обсуждение диффузионных процессов в пол ной общности выходит за рамки этой книги*), мы ограничимся рассмотрением класса диффузионных процессов, которые могут ■быть онисаны посредством стохастических дифференциальных уравнений. Этот класс диффузий является достаточно широким как для теории, так и для приложений **); к тому же стохастическое исчисление снабжает нас очень мощным орудием для изучения таких диффузий.
Сначала дадим формальное определение диффузионных процес
сов. |
Пусть S — топологическое |
пространство. |
Иногда оказывается |
|||||||
удобным присоединение к 5 особой точки Д |
в качестве бесконеч |
|||||||||
но удаленной точки, если S локально компактно. Таким образом, |
||||||||||
мы |
полагаем |
S' = S U{Д>. Точка Д |
называется |
крайней |
точкой. |
|||||
Как |
S, |
так |
и |
S' |
называются |
пространствами |
состояний. |
Пусть |
||
W (S) — множество |
всех функций w: [0, оо) э |
t >-»•u>(f)e S' |
таких, |
|||||||
что существует 0 |
5(^)=^ 00 со следующими свойствами: |
|
||||||||
(I) |
w(t)^S |
для всех |
[0, |
£(«;)), |
и |
отображение f e |
||||
^ [0, ^ (w) ) >-*■w(t) |
непрерывно; |
|
|
|
|
|
||||
|
(II) |
w(t)= А для всех t > t,(w). |
|
|
|
w. Для |
||||
Величина %(w) |
называется |
временем жизни_траектории |
||||||||
удобства мы полагаем w(<*>)= Д для всех w^ W( S) . Для целого п, носледовательности 0 ^ tt < t2 < ... < tn и борелевского подмноже ства А в S'n = S' X S' X .. . X S' определяется борелевское цилинд
рическое множество в W (5) как
.... tn(A),
*) В одпомерном случае существует удовлетворительная и законченная
теория; см. Ито, Маккин [77], Дыпкин [45].
**) Недавпо, однако, появились результаты о многомерпых диффузион ных процессах, которые не охватываются методом стохастических дифферен циальных уравнений; см., например, Фукушима [172], Икэда, Ватанабэ [56], Мотоо [127] и Орей [139].
|
§ 5. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ |
193 |
|
где Я( |
W (S )^ S '‘l |
задается равенством |
|
я/1д2.....(71(«')= |
(гг (f j). iv(t2 , . .. . гг (*„)), |
|
|
и боролевское |
подмножество в топологическом пространстве |
есть |
|
любое множество в наименьшем a-поле, содержащем все открытые
множества.'Пусть &(W(S))— о-ноле |
в W (S), |
порожденное всеми |
||||||||||||
борелевскими цилиндрическими множествами, и пусть |
(W (S)) — |
|||||||||||||
a-ноле, порожденное всеми цилиндрическими множествами |
до |
мо |
||||||||||||
мента |
t, т. е. множества, записываемые |
в видея^д2.... гп(-А), |
гДе |
|||||||||||
t„*Zt. |
Семейство вероятностей |
{Рх. г е Л |
па (W (S), |
3§(W(S))) |
||||||||||
называется марковским *), если |
всякого i e S ' ; |
|
|
|
|
|
||||||||
(I) Px[w, гг(0)=х} = 1 для |
|
|
|
|
|
|||||||||
(II) |
функция |
|
|
|
измерима но Порелю (или, в бо |
|||||||||
лее общем |
случае, |
универсально |
измерима)**) |
для |
каждого |
|||||||||
A e J ( W ( S ) ) ; ' |
|
|
|
|
|
_ |
|
|
|
|
|
|
||
(III) для |
каждых |
t > s > |
0. |
/ l e ^ , ( W ( S ) ) |
и бореленекого под |
|||||||||
множества Г из S' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Рх (А П {w; w(t) е= Г}) = |
f /V<.) Iн" w(t - |
s) e= Г1 Px(du-') |
(5.1) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для каждого x e |
S'. |
|
x e |
5"} |
называется |
консервативной, |
||||||||
Марковская |
система {Px, |
|||||||||||||
если |
|
Px{w; %(w)= °°} = |
1 |
для всякого |
x ^ S . |
|
|
(5.2) |
||||||
|
|
|
|
|||||||||||
В этом случае нам нет нужды рассматривать точку А, так как почти все выборочные траектории лежат в S. Для марковской си стемы {Рх, х S’), t е [0. оо), х е S' и борелевского подмножества Г из S' мы полагаем
|
Р(1, |
х, |
Г) = Р,(гг; |
1г(*)е Г>. |
|
(5.3) |
Семейство {P{t, |
х. Г)} |
называется переходной вероятностью |
мар |
|||
ковской системы. Последовательным |
применением |
(5.1) нетрудно |
||||
убедиться, что |
|
|
|
|
|
|
Рх [гг (tx) <= Лх, w (t2 e v l , . |
. . . , н- (1„) е |
Ап\= |
|
|
||
= \ P(tl7 x,d xj [ P(t2— tx, a?i, tf.r2) |
. . . { P (tn— |
a-n-,, dxn |
||||
Aj, |
A g |
|
|
Aj-, |
|
|
|
для |
0 < tx< t2< . . . < tn, A{ «= & (5'), |
(5.4) |
|||
и, таким образом, мы видим, что две марковские системы на одном
*) Мы рассматриваем только однородный во времени случай. **) См. главу I, § 1.
13 С. Ватанабэ. H. Икада
194 ГЛ. IV. СТОХАСТИЧЕСКИ К УРАВНЕНИЯ
и том же пространстве состояний с одной и той же переходной ве роятностью совпадают.
Пусть задана марковская система {/Jv}. Для каждого |
t 3* 0 мы |
|||||
полагаем *) |
(Ft (W (S)) = П |
П |
3Bt rS(W (i’))P* п & „ (W(S)) = |
|||
___ |
f > 0 |
х z S ' |
___ |
|
|
|
= \/ &~t ( W (5)). Отображение |
ш е |
W ( S ) ^ o (»t>) s |
[0, oo) |
называ |
||
л о |
|
|
|
_ |
|
|
ется моментом остановки, если оно является |
(2~t(W (S )) ) -моментом |
|||||
остановки, |
т. е. если для всякого t > 0 {w: a(w)^t} s |
t(W (S) ). |
||||
Для момента остановки а мы |
полагаем £Fn( W (5)) = {А е |
|||||
^&~oo(W(S)): А П{и?: а(ге) ^ t) е |
(W (S)) |
для |
всякого i 53= О!. |
|||
Марковская |
система {Рх} называется строго |
марковской^ |
системой, |
|||
если для всякого f >= 0, момента остановки а, Л е ^"0(VV (S)) и борелевского подмножества Г из S' имеем
Рх(А П {w; w(t + cr (»))<= Г}) = [ Pw'ww’)) f«’; "’ ( 0 е П Px(dw') (5.5)
л
Д Л Я В С Я К О ГО * * ) X ^ S ' .
О п р е д е л е н и е 5.1. Семейство вероятностен {Px}x-=s' на ( W (5),
2I(W(S)) называется системой диффузионных мер, или просто
диффузией, если оно является строго марковской системой.
О п р е д е л е н и е 5.2. Случайный процесс |
X = {X(t)} |
на S', оп |
|||
ределенный |
на вероятностном пространстве |
(О, 2F, |
Р), |
называется |
|
диффузионным процессом на S, если существует система диффузи |
|||||
онных мер |
{i\}xes' такая, что для почти всех (о |f |
X (/)] е W (S) |
|||
и вероятностный закон па W (S) отображения [У |
X (f)] совпадает |
||||
сУ^(-) = [ J x(-)p.(dx), где р — бореленская |
мера на S', |
определён- |
|||
s' |
|
называемая |
начальным |
||
пая равенством p.(dx) = Piio; Х(0, to)^dx), |
|||||
распределением процесса X. |
|
|
|
|
|
Если X = ( X ( t ) ) — диффузионный процесс и £(<о) = |
inf {t; X(t) = |
||||
= А), то очевидно, что с вероятностью единица |0, £1 э |
t —*■X (t) е S |
||||
непрерывно и Х(£) = А для всех t 3= £. Величина £ называется вре менем жизни диффузионного процесса X. Процесс X называется консервативным, если £(со)= °° и. п.
Пусть теперь С {S') — банахово пространство всех действитель ных или комнлекспозпачных ограниченных непрерывных функций,
определенных на S', а |
(Л, 2 ) (А)) — линейный оператор, отобража |
||||||||
ющий |
С(S') |
в себя, |
с |
областью |
определения |
2) (Л). |
Пусть |
||
(Рх, I G S'I — система вероятностных мер на |
(W (S), |
3S(W{S)) |
та- |
||||||
*) |
Из этого |
определения |
слеудет, что Т ,(W (.V)) |
непрерывно справа, |
т. е. |
||||
5 " , -и, (\V (X )) = T |
t (\\ (S) ) для |
всякого t Z2? О. |
|
|
|
|
|
||
**) Мы можем потребовать, чтобы (5.5) удовлетворялось |
только |
для |
огра |
||||||
ниченных моментов остановки; в противном |
случае |
заменим |
о через |
оДп, |
|||||
А — через A f] {о |
н) и затем устремим и ( оо. |
|
|
|
|
||||
|
|
5. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ |
|
|
|
|
195 |
||||
Инн. что функция _х |
Рх(Л )— борелевская |
(или универсально |
изме |
||||||||
римая) для /1<=W(S). Следующее |
определение |
основано |
на |
идее |
|||||||
('.трупа и Варадана [160]. |
|
{PJ |
называется диффузионной |
||||||||
О п р е д е л е н и е |
5.3. Система |
||||||||||
мерой, порожденной (или определенной) оператором А |
(или просто |
||||||||||
Л-диффузией), если |
(PJ — строго |
марковская |
система, |
удовлетво |
|||||||
ряющая условиям: |
|
1 для всякого х; |
|
|
|
|
|
|
|||
(I) |
Pxiir: H; ( 0 ) = X} = |
|
|
|
|
|
|
||||
(II) |
/ ( w (t)) — f ( i r (0)) — j (Af) (to (s )) d e |
является (Px, |
|
(W (S)) - |
|||||||
мартингалом для всякого j^£D(A) |
и всякого х. |
|
|
|
|
|
|||||
Т е о р е м а 5.1. Предположим, что {Рх, х е $ '} — система вероят |
|||||||||||
ностных мер па (W (S), |
3t(\V(S)), |
удовлетворяющая условиям |
(I) |
||||||||
и (II) |
определения |
5.3. |
Предположим |
далее, |
что {РА |
единствен |
|||||
на, т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(III) если (В } —любая другая |
система вероятностных |
мер |
на |
||||||||
(\V(S), 3I(W(S))), удовлетворяющая условиям (I) и (II) опреде
ления 5.3, то Рх = Рх для всякого х.
Тогда {РД — система диффузионных мер, порожденная операто ром Л.
Д о к а з а т е л к с т в о. Достаточно показать, что {Рх} — строго марковская система, т. о. нужно проверить выполнимость условия
(5.5). Так как |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xf (t) = f("'(t)) — f(w(0)) - |
f (Af)(w(s))ds |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
является |
(Рх. 3), (W (S) )) -мартингалом |
для |
всякого |
x ^ S ' |
и |
t >-► |
||||||||||
>-* X/(t) |
неп])е])Ывно |
справа, |
то |
очевидно, |
что Х{(1) — также |
и |
||||||||||
|
|
(W (S) )) -мартингал. Если |
о — ограниченный |
момент |
оста |
|||||||||||
новки, то согласно теореме Дуба_ о преобразовании свободного |
выбо |
|||||||||||||||
ра |
t ~ |
Xf (t + О) - |
(Рх. STt,e (W (S ))) -мартингал. И |
частности, |
для |
|||||||||||
всяких t > s , i e |
0(W (S)) |
и С «г ^"„(W (S)) |
имеем |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Ex(Xf(l + о ) — A',(s + |
о ): А ПС) — 0. |
|
|
|
|
|
|||||||
Отсюда следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Ех(Х, (t + о) — X, (s + о ): A |
|
(S) ))==(! |
для |
Рх-и. в. to. |
|
||||||||||
Следовательно, если Ри(Л) = |
Рх (0а1 (Д)| @~о (W (S ))). I G J |
(W(iS')), |
||||||||||||||
является |
регулярной условной вероятностью относительно SFa(W (S) ), |
|||||||||||||||
где 0О: W (S)->-W (S) |
определяется равенством |
(0aw) (t) = w(a(w)+ |
||||||||||||||
+ |
t), |
то |
Pw(w': w' (0) = ut(a(w) )) = |
1 |
для |
Рх-н. в. w |
и |
X,(t) — |
||||||||
— (Pw, |
3Bt( W( S) ) )-мартингал. Согласно |
предположению |
(III) |
име |
||||||||||||
ем |
Px = Рк(„(и)), а |
отсюда очевндпым |
образом |
следует |
(5.5). |
|
|
|||||||||