§ 5. ДИФФУЗНОЙНЫК ПРОЦЕССЫ |
201 |
Оператор Л порождает единственную диффузию (РД на S', на зываемую броуновским движением ни S с поглощающим экраном или же минимальным броуновским движением на S. Вероятност ныit закон Рх есть распределение вероятностей броуновского движения, выходящего из и остановленного в первый момент, как только оно достигает границы области S (которая отождествля ется с Д). Опять-таки очевидно, что {РД удовлетворяет условиям
(1) и (II) определения 5.3. Предположим, что (Р*1 также удовлет
воряет этим условиям. Пусть Gа(х, |
у), |
а > |
0,— функция Грина об |
|
ласти S для оператора |
= а — Д/2 с |
граничными условиями Ди |
||
рихле, т. е. если*) / S |
CK (S), то |
GJ(J:)= |
f Ga (х, у) f(y)dy —един- |
|
ственное решение уравнения |
|
|
s |
|
|
|
|
||
{аи — Аи = /,
и|os = 0.
Пусть |
/ е С K (S) п |
u = Gnf. Тогда |
u^SD(A) и Ли = аи — f. Сле |
||||
довательно, ' |
|
|
t |
|
|
||
|
|
. и (ю (I)) — и (w(())) — -i- |Ди (w (.9)) ds |
|||||
|
|
|
|
|
о |
|
|
является Pjc-мартингалом, и поэтому для всякого t^ O |
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
< |
|
|
К [и (ю (0)1 — и(.г) = |
a j Е ’х [и {w(s))] ds — j |
Е’х(/ (w(0)1ds- |
||||
Следовательно, |
|
о |
|
о |
|
||
|
|
|
|
|
|||
оо |
|
|
|
|
|
|
|
j |
e -alE'x [ u { w { t ) ) } d t - ^ |
= |
|
|
|
||
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tlg^d (e~al) + |
Г |
1 |
|
|
- |
- |
j Г j Е'х [и И 0 ) 1 |
i |
f « Д / («;(«))!* |
|||
|
|
» Ч! |
J |
|
|
|
|
|
|
|
= j е atEx [ц (w (0)] dt — ~ |
j e atEx if (ш(0)1 ^0 |
|||
и поэтому
и (x) = j e a*E* If (w(s))]ds = GlJ (x).
0 Осталось теперь применить следствие теоремы 5.1.
*) |
(S) множество всех С“ -фупкшш / с носителем S (/) •— |
202 ГЛ. IV. с т о х а с т и ч е с к и й у р а в н е н и я
§ 6. Диффузионные процессы, порожденные дифференциальными операторами, н стохастические дифференциальные уравнения
Предположим, что па It" задан дифференциальный оператор
второго порядка Л: |
|
(I |
|
|
|
d |
|
|
|
||
|
а п *) -- |
4 |
V |
' И |
|
(х) + |
" |
дх |
|
(6 . 1) |
|
|
1 |
дх1дх! |
|
|
|||||||
где а'‘ {х) |
и Ъ'(х) — действительные непрерывные функции па И" и |
||||||||||
матрица |
(a,J(ar)) |
симметрична |
и |
неотрицательно определена, |
т. е. |
||||||
|
|
</ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а1(х) = а?1(х) и |
2 |
|
ali {х) \%’ |
0 |
для |
всех |
g ^ d O ^ R " |
и |
всех |
||
|
nj—1 |
|
определения |
оператора Л мы |
берем |
||||||
х е И". В качестве |
области |
||||||||||
Ск (R d), состоящее из всех дважды непрерывно дифференцируемых функций с компактными носителями. Понятие диффузионного про цесса, порожденного оператором Л (Л-диффузии), было определе*по в предыдущем параграфе. Для точности сформулируем снова ото
понятие |
и |
следующем |
виде. |
Пусть |
R' е |
R'1и {Д} — одноточечная |
|||||||||
комиактификация R". Каждая |
функция |
/ |
па R" |
будет рассматри |
|||||||||||
ваться и как функция на R" с ](А) — 0. |
Пусть |
W" |
определяется, |
||||||||||||
как в § 2, а e(w) |
определяется равенством |
(2.12). |
порожденной опе |
||||||||||||
О п р е д е л е н н о |
6.1. |
Диффузионной мерой, |
|||||||||||||
ратором |
Л |
(пли |
просто |
Л-днффузпеп), |
называется строго |
марков |
|||||||||
ская система вероятностных распределений*) {Рх. l e R I |
па (W", |
||||||||||||||
^ (W '!)), |
которая удовлетворяет условиям: |
|
|
|
|
||||||||||
(I) |
Pxiw\ w(0) = х) = |
1 для всякого х е= R"; |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(II) |
/ (w(t))—f(w (0))— |
f (Л/) (и?(s)) ds |
|
является |
(Рх, 31, (W ")) -мар- |
||||||||||
тингалом |
для всякого |
о |
|
|
и всякого х е= R". |
|
|
||||||||
/ e C K ( R rf) |
|
|
|||||||||||||
З а м е ч а н и е |
6.1. Согласно |
теореме |
5.1 мы знаем, что любая |
||||||||||||
система вероятностей |
{Рх, i e R l па |
(Wd, ^ (W ")), |
удовлетворяю |
||||||||||||
щая условиям (I) и (II) |
и такая, |
что |
х^*Рх универсально изме |
||||||||||||
рима, |
является |
строго |
марковской |
и |
поотому будет |
представлять |
|||||||||
собой Л-диффузию, если только будет удовлетворять дополнитель но следующему условию единственности:
(III)если (Рк] — другая система вероятностей на (W", Л(\У')),
удовлетворяющая вышеприведенным условиям (I) и |
(II), то |
Рх = Рх для всех х. |
(III) мож |
К тому же, согласно следствию теоремы 5.1, условие |
|
но заменить следующим более слабым условием: |
|
*) Для точности Р,\ следовало бы включить в систему, но так как Р&— три виальная мера б , где ir\(t) = ,\, то мы опускаем ее.
g 0. ДИФФУЗИОННЫЙ ПРОЦНССЫ И УГЛИНКИНЯ |
203 |
(III)' е с л и Ю — другая система вероятностей на (Wd, J7(W'J)), удовлетворяющая вышеприведенным условиям (I) и (II), то
f / (w (t)) Рх (dw) — f j(w(t))P'x(dw)
xvd |
xv<l |
для всяких ( > 0, i e |
R4 и / иа тотального семейства функций на R'. |
О it ре д е л е н и е |
6.2. Случайный процесс Х = (Х(<)) на Rd на |
зывается диффузионным процессом, порожденным оператором А,
или просто Л-диффузионным процессом, если почти все траектории
|i>-*-X(f)]. |
принадлежат W d |
и вероятностный закон процесса X |
||
совпадает |
с |
Р м,(-)== 1" Рх (•) р {dx), где (Р*} — диффузионная мера, |
||
порожденная |
nd |
а р — вероятностный |
закон случайной |
|
оператором А, |
||||
величины X (0). |
|
существования и |
||
Наша задача состоит в исследовании вопроса |
||||
единственности /1-диффузий. |
|
|
||
Пусть а = (at (х)) <= R'* 0 |
Rr — такая матрица, что |
|||
|
|
|
Г |
|
х ^ а ( х ) — непрерывная функция и а 13(х) = 2 |
ан{х)а1(х) |
|||
|
|
|
л=“ 1 |
|
|
|
для г, |
j = 1, 2, ..., d. |
(6.2) |
Очевидно, что такая матрица о существует для некоторого г. Выбе рем одну такую матрицу а и зафиксируем ее. Рассмотрим стохасти ческое дифференциальное уравнение
Т
dX l(t) = £ at (X (t)) dli" (i) + Ьх(X (0) dt, i = 1, 2, . . . , d. (6.3)
/ . - - I
Согласно теореме 2.3 для всякого х е R,( существует решение X(t)
уравнения (6.3) такое, |
что Х(0)=;г. По формуле |
Ито (теорема |
11-5. ]) имеем |
|
|
/ (X (*)) - / (X (0)) = 2 2 |
f .Д (* (*)) ot (X (s)) dBh(s) + |
f (Af) (X (s)) ds |
для всякого/e C# (R d). Отсюда ясно, что закон Рх на Wd процесса X удовлетворяет условиям (I) и (II) определения 6.1. Покажем теперь, что единственность решений стохастического дифференци
ального уравнения (6.3) эквивалентна условию |
единственности |
(III) из замечания 6.1. Действительно, ясно, что |
из (Ш ) следует |
единственность решений уравнения (6.3). С другой стороны, если
{PJ — система вероятностей па Wd, удовлетворяющая условиям (1) и (II) определения 6.1, то, нримепив то же доказательство, что и в § 2, можем заключить, что существуют такое расширение (£/, 9~, Р)
204 |
|
|
ГЛ.-IY. СТОХАСТИЧЕСКИК УРАВИКНИЯ |
|
|
|
||||
с потоком |
(3~,) |
вероятностного |
пространства |
(W', |
31(Wd , Рх) с |
|||||
потоком*) |
31,(W*) |
и (&~,)-броуновское движение |
B = (B(t)) |
та |
||||||
кие, что, |
положив |
X(l)— w(l) |
и |
e = e(w), |
будем |
иметь |
для |
|||
t [0, е) |
|
Г |
{ |
|
|
‘ |
|
|
|
|
X 1(t) = |
|
|
|
|
|
1. 2, .... d. |
||||
х* + 2 |
ai (X (*)) с1В!: (*) + |
\bl (X (*)) ds, г = |
||||||||
|
|
|
о |
|
|
i> |
|
|
|
|
Отсюда |
следует, |
что |
(X(t), B(t) ) — решение |
уравнения (0.3) |
та |
|||||
кое, что Х(0) — х. Так как вероятностный закон процесса X(t) |
сов |
|||||||||
падает очевидным образом с Рх, то из единственности решений
уравнения (0.3) следует условие |
единственности (III). Так что |
|
имеем следующий результат. |
|
|
Т е о р е м а 0.1. Пусть дифференциальный оператор (0.1) задан, |
||
как выше, и выберем матрицу а = |
W (*)) |
так, чтобы выполнялось |
условие (0.2). Тогда Л-дифнфузия iPx, j e R |
1) существует и единст |
|
венна в том и только в том случае, |
если выполняется условие един |
|
ственности решений для стохастического дифференциального |
урав |
|||
нения |
(0.3). В этом случае . Рх— вероятностный |
закон |
на |
(WЛ, |
J?(\V")) |
решения X = ( X ( t ) ) уравнения (0.3) |
такого, |
что**) |
|
Х(0) = я.
Из результата Струна и Варадана (теорема 3.3) следует, что,
если матрицасх= (о* (я)) ограничена, непрерывна и равномерно поло жительно определена, а коэффициенты (Ь'(х)) ограничены, то Л-диффузия существует и единственна; более того, эта диффузия консервативна. В общем случае, когда матрица (a,J(x)) может вы рождаться, имеем, согласию теореме 3.1, следующий результат: если
сх (х) = W (-т)) и Ь(х) = (Ь’(х)) локально линшицевы, то существу ет единственная Л-диффузия. Волее того, Л-диффузия будет кон
сервативной |
(т. е., Рх{е = <х>)=1 для всякого г е Н |
'1), если только |
|
о(.г) и |
Ъ(х) |
удовлетворяют условию роста Ho(.r) И+ |
U6(.r) II =sc if (1 + |
+ Ы ) |
для некоторой положительной постоянной К. В одномерном |
||
случае |
условие липшицевости для о(х) можно ослабить таким же |
||
образом, как и в теореме 3.2. В частности, если выберем матрицу о(х) локально гёльдеровской с показателем 1/2, а функцию Ь(х) — локально лишницевой, то Л-диффузия существует и единственна. Важным является вопрос о том, когда можно выбрать достаточно
гладкую а такую, чтобы выполнялось условие |
(6.2) для заданной |
|||
матрицы а. Относительно этого вопроса имеем |
следующий |
ре |
||
зультат. |
|
|
|
|
П редл о ж е н и е 6.2. (I) Пусть @г — множество всех гХг-мер- |
||||
ных симметрических неотрицательно определенных матриц. |
Если |
|||
*) |
$i(\\d определяется так же, как и |
Рх |
проверяется так же, |
|
**) |
Универсальная измеримость отображения х |
|||
как и в доказательстве теоремы 1.1.
|
§ 6. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ II УРАВНЕНИЯ |
|
|
205 |
||
о (х) : IV -*■ ©г принадлежит классу Cl{l\d)*), то квадратный |
корень |
|||||
о И |
(т. е. о (я): I V ' @ г, удовлетворяющий равенству а(х)а{х)* = |
|||||
>—«(ж)), является равномерно липшицевым на IV'. |
|
|
|
|||
(П) Если а (х): IV' |
б" — дважды непрерывно дифференцируе |
|||||
мая функция, то квадратный корень |
о{х) является локально лип- |
|||||
шициевой функцией. |
|
требуется докапать |
только |
ут |
||
Д о к а з а т е л ь с т в о. Ясно, что |
||||||
верждение (I). Мы докажем ото утверждение в случае |
с? = |
1; |
об |
|||
щин случай следует из того факта, что функция является |
равно |
|||||
мерно |
липшицовон на |
IV', если только она равномерно |
Л и п ш и ц е - |
|||
на по каждой неремопной x’ e R 1 для фиксированного х = (х1, хг, ...
..., ж<-1, х'+1, ..., х'1 |
с константой |
Липшица, по |
зависящей |
от |
х. |
||||||||||||||
Зафиксируем х0е R1. Можно |
|
выбрать |
ортогональную |
матрицу |
Р |
||||||||||||||
такую, |
что |
Ра(х0 Р* — диагональная |
матрица. |
Положим |
а (х) = |
||||||||||||||
— Ра(х)Р*. Для положительной постоянной е > 0 |
пусть |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
а8(ж) = а{х)+ el |
и |
аг(х)= Pat(x)P* = а(х) + el. |
|
|
|
|||||||||||
Квадратные |
корпи |
из |
ае(х) = |
(a’EJ (х)) |
н аг(х) = |
(а " (ж)) обозна- |
|||||||||||||
чим |
через аР(.г) = |
(ае’ (.г)) |
и аЕ(,г) = |
(оу''(.г)) |
соответственно. |
Тогда |
|||||||||||||
aF(x) |
и ас (х) = Рае (х) Р*, очевидно, |
принадлежат |
СДК1). |
Диффе- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
репцируя обе стороны |
равенства йД (.т) = |
^ Стр,! (ж) а / ‘ |
(х) |
к точке |
|||||||||||||||
х — Хо, получаем **) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
a? W |
= (о г |
(х о) + оД (ж0)) а ? (.г0). |
|
|
(С.4) |
|||||||||
Пусть К = |
|
Slip |
|
|«i;(.r)| = |
?пр |
|
|йеЧг)1 и |
|
положим |
||||||||||
/(.г)=<й, |
a,(x)k> |
для |
k |
R1. |
Тогда, |
так |
как |
f(x)> 0 |
для всех |
||||||||||
х е |
R1, |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
< / ( * + |
й) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= / (.г) + |
/ (ж) й + |
1 |
/ (ж + |
0Й) й* < |
/ (.г) + / (®) й + |
-J ( 2 |
|
|
я й * |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\i=i |
|
|
|
|
и, |
следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
/(ж)* < |
2 / (.г) ( S |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
*) Говорят, что матрица а(х) принадлежит |
|
если каждая ком |
||||||||||||||||
понента матрицы а(.х) |
принадлежит |
Сjj(jV'). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
•• |
|
|
|
**) Для всякой функции f е Cj; (R2) полагаем /(г) - ~ ^ f(x) и / (*) = ^ “ i/(r).