206 |
|
ГЛ. IV . СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ |
|
|
|
|
|||||
Подставляя вместо К соответственно |
8* = |
{Ьц,)п=п 6у = |
(6j*)ft=i |
|
|||||||
и 6( + 6Л получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
а” (х)2 < 2Ка" (х), |
а” (х)2 < |
2Ка? (х) |
|
|
|
||||
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(аР” (х) + 2а” (х) + а " (х)) < 8К (а"' (х) + 2at (х) + |
(х)). |
|
||||||||
Следовательно, |
существует постоянная |
с (К), |
но |
зависящая |
от |
||||||
е > |
0, такая, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
(*) I < с (A') (aF1? (х),/а + |
а " (х)1'2) |
|
|
|
||||
для всех х е IV. Если положить х = |
х„, то получим |
|
|
|
|||||||
|
|
I |
WI<с{К) (<?"(^о) + |
|
М ) |
|
|
|
|
||
и, |
комбинируя |
ото |
неравенство |
с |
равенством |
(б/i), |
получаем |
||||
|сг^(хп)| ^ с(/^ ). Так как a'J(х0) = |
(Р*ое (х0) Р)ц. |
то |
нетрудно |
ви |
|||||||
деть, что Upj (х0) | < гС(/О. Н о х „— произвольная точка, |
и коатому |
||||||||||
|
|
|ст” (х) |^ гс (К) |
для всех |
x e R 1. |
|
|
|
||||
Таким образом, |
|a’J (х) — а" (у) \УС гс (К) |х — у\. |
Устремив е I 0, за |
|||||||||
ключаем, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|сги (х) — oli (у) |< |
гс {К) 1х — у \. |
|
|
|
|||||
С л е д с т в и е . Если |
коэффициенты |
дифференциального операто |
ра (6.1) удовлетворяют |
условиям: (J) |
а” (л) — дважды непрерывно |
дифференцируема, i, у = |
1, 2, ..., d, и |
(II) Ь' (х)— непрерывно диф |
ференцируема, i = 1, 2, |
..., d, то существует единственная Л-дшф- |
|
фузия. |
|
|
§7. Стохастические дифференциальные уравнения
сграничными условиями
Впредыдущем параграфе мы рассматривали класс диффузион ных процессов, описываемых дифференциальными операторами второго порядка. Если рассматривать области е. границей, то диф фузия обычно описывается дифференциальным оператором второго
порядка с добавлением граничного условия. Общин вид граничных условии был найден Вептцелем [19]. Мы здесь исследуем вопрос построения таких диффузий посредством стохастических диффереп-
§ 7. УРАВНЕНИЯ С ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ |
207 |
Диилышх уравнений*). |
Для простоты |
мы |
рассматриваем |
только |
|||
диффузионные процессы в верхнем полупространстве |
R^. |
0~^2. |
|||||
Итак, пусть D = II'*. = |
|х —■(я1, х2, . . . , хА): |
х 1 |
0], |
dl) = |
{.г е |
D: |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
х“ = 0) — граница области 1) и D = {.г е D: х" > 0 ) — внутренность D. |
|||||||
Предположим, что на I) задан дифференциальный оператор второго |
|||||||
порядка, действующий на **) Ск(О): |
|
|
|
|
|
|
|
i.i"L |
o x OxJ |
+ 2 » ' W j p W * |
(7.1) |
||||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
где а"(я) и b'(х)— отраничепные непрерывные |
функции |
на |
D, |
||||
a (all(x))— симметрическая и неотрицательно определенная мат |
|||||||
рица. Предположим также, что задан граничный оператор типа
Вентцеля, т. е. отображение из |
Ск{Ь) в пространство |
непрерыв |
|||||||||||||||||
ных функции на 6D следующего вида: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Li м |
= |
т |
2 |
|
1aJi и |
|
(;r) + |
2 |
P’ w |
(*) + |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ I* ('T) |
(*) — P (r) л/ M> |
* s |
<9Z>, |
|
(7.2) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
OX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
aiJ(x), |
ji'(.r), |
p(x) |
и p(x) — ограниченные непрерывные |
функ |
||||||||||||||
ции |
на 0D такие, |
что |
(сси(я))'/,уЛ,— симметрическая |
и |
неотрица |
||||||||||||||
тельно определенная матрица, р ( х ) ^ 0 |
и р(х)>0. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
О п р е д е л е н и е |
7.1. Диффузионной мерой, порожденной парой |
||||||||||||||||||
(Л, /у) вышеописанных операторов, или просто (A, L)-диффузией, |
|||||||||||||||||||
называется |
|
система |
{/\, |
т е / ) ) |
вероятностен |
на |
***) |
|
(W (D), |
||||||||||
|
(D))), |
которая |
является строго марковской (см. § Г>) |
и удов |
|||||||||||||||
летворяет следующим двум условиям: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
(I) |
РхЬп: н;(0)=я} = 1 |
для всякого т е Д ; |
|
|
на |
[0, |
°°)Х |
|||||||||||
|
(П) |
существует |
функция |
(p(Z, гг), |
определенная |
||||||||||||||
X W (D), такая, что |
ф(0, |
гг) = |
0, t -» q> (t, w) — непрерывная |
и |
не |
||||||||||||||
а) для Рх-н.и. w |
|||||||||||||||||||
убывающая и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
] |
h o (ю (s)) dq>(.9, |
w) = ф (t, гг) |
для всех |
t > |
0; |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•) |
[621, |
|
[10] и |
[13]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
**) С'^(О) — множество |
всех |
дважды |
непрерывно |
дифференцируемых |
||||||||||||||
функций с компактными носителями. |
|
|
|
|
|
|
функций |
||||||||||||
|
***) |
w |
(D) |
= С ([0. o o ) - » - D ) — пространство всех непрерывных |
|||||||||||||||
гг ; [О, о о ) э |
I >- |
и- ( I ) |
6= 1) с |
топологией |
равномерной сходимости |
на ограничен |
|||||||||||||
ных |
интервалах. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
208 |
|
|
|
|
1'Л. IV. СТОХАСТИЧЕСКИЕ УЕДИНЕНИЯ |
|
|
|
|
||||||||
|
б) |
для каждого I 5= 0 |
|
|
|
— <%t(W (D))- измеримое отоб |
|||||||||||
ражение*), |
|
|
|
t |
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
/ (w(t)) - |
/ (Ю (())) _ |
j (AD (W(*)) * - |
f (P/) (и; (.9)) dtp(5, и>) |
(7.3) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
является (P^ &t(W(Л)))-мартингалом для всякого / е Ск(Л) |
и |
|
|||||||||||||||
|
|
( |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
Рш (ю (-9)) d.v = j |
р (w («)) <7ф (.9, w) |
Рх- п. н. |
|
(7.4) |
||||||||||
|
З а м е ч а н и е |
7.1. Предположим, |
что |
(Л, |
L) |
и (A', |
Р') — дне |
||||||||||
пары |
вышеописанных |
операторов |
|
такие, |
что |
Af(x) — A ’j(x) |
и |
||||||||||
Lf(x)— c(x)L'j(x) для |
всех |
/ е |
Сk(D), |
где |
с (г) — положительная |
||||||||||||
непрерывная функция па д1). Тогда |
(Л', |
/ / ) -диффузия является |
и |
||||||||||||||
(Л, Р)-диффувией, так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ |
i L 'D (iv («)) dfp' (s, w) = |
j |
(P /) (»; (*•)) ЙФ (s> «•'), |
|
|
|
|||||||||
|
|
о |
|
t |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
ф(t,w)= |
|
[ c (w(s)) d(pr(.9, w) |
и |
ф |
удовлетворяет условиям |
а) |
и |
|||||||||
б) |
|
|
о |
|
|
|
|
имеется одна |
степень |
свободы в |
|||||||
определения 7.1. Следовательно, |
|||||||||||||||||
определении оператора Р. |
определим другой |
граничным |
оператор |
||||||||||||||
L' |
З а м е ч а н и е |
7.2. Если |
|||||||||||||||
равенством |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
L'j (х) = Lf (а.) + |
о (,г) Л/ (х) = |
|
+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
<1 - 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
_1_ |
2 |
а ^ И Ох’дх1 |
(х) |
|
Р; И ^ ( .г ) |
+ |
р (.г )^ Р ) |
(7.5) |
|||||||
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
и =1 |
|
|
г=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
то выражение |
(7.3) принимает вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
/ (w (0) — / (W (°)) — j (Л/) (»’ (.9)) ds — J (P/) (н? (.9)) dtp(.s, w) =
о0
t |
(s)) ИЯ («»(*)) * - |
= / (w(0) - / (";(0)) - ,f 7£ |
|
0 |
t |
f |
|
- [ Ion (W(*)) ( Л / ) (H; (.9)) J.9 - |
f (P/) (W(*)) C?«p (.9, «’) = |
*) 38, ( W ( » ) ) — (J-поле па W (/>), порожденное цилиндрическими множест вами до момента времени t.
§ 7. УРАВНЕНИЯ С ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ |
209 |
= / {№(0 ) — / (,0 (°)) — \1Ь{р W) |
(*)) ds ~~ |
|
0 |
|
|
t |
t |
|
— J p (w (5)) (Af) ( W (.9)) dip(.9, w ) |
— j ( L /) (w (.9)) dcp (.9, w ) = |
|
О |
о |
|
(согласно |
(7.4)) |
|
t |
t |
|
■=f(w(t)) — f(w(0))— J /• (»(* )) (Af)(w(s)) d s - j |
(£ '/) ('»(«)) d«f(s, u>). |
|
0 |
0 |
|
Таким образом, (7.-3) эквивалентно (при условии (7.4)) следующе му утверждению:
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
/(Ы7(0) —/(и>(0)) —j I ъ (w(*)) (Af) (w («))ds —j (£'/)(«7(s))dtp(s,w) |
|||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
(7.3)' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
является (Px, 3h(W (D )))-мартингалом для всякой |
/ е С |
k(D). |
Х = |
||||||||||||
О п р е д е л е н и е |
7.2. |
Непрерывны!! |
случайный |
процесс |
|||||||||||
= (Х(/)) на D называется |
диффузионным процессом, порожденным |
||||||||||||||
парой операторов |
(A, |
L), |
или |
просто (Л, |
L) -диффузионным |
про |
|||||||||
цессом, если вероятностный закон процесса |
X |
на |
(XV (D), |
||||||||||||
tM(XV(D))) |
совпадает |
с Рц (•) = f Рх (•) р (dx), где 1РЛ — диффузи- |
|||||||||||||
онная мера, |
порожденная |
|
Ъ |
а |
р — вероятностный |
за |
|||||||||
нарой |
(Л, L), |
||||||||||||||
кон величины Х (0). |
|
Согласно |
теореме Й. 1 мы |
знаем, |
|
что |
любая |
||||||||
З а м е ч а н и е |
7.3. |
|
|||||||||||||
система {Рх, |
х е В) |
вероятностей |
на (W (D), 3§(XV (О))), |
удовлет |
|||||||||||
воряющая условиям |
|
(I) |
н |
(II) |
определения 7.1 и такая, что |
||||||||||
х<-*Рх —универсально |
H3Mej)iiMoe |
отобра'/кепие, |
является |
строго |
|||||||||||
марковской |
и, следовательно, |
(3, |
L)-диффузией, |
если |
только |
ата |
|||||||||
система удовлетво])яет донолнителыю следующему условию единст венности:
(III) |
если {Рх\ — |
другая |
система |
вероятностен на |
(\Х(0), |
|||||
33(\У(.D))), |
удовлетворяющая |
вышенриведенным |
|
условиям |
(I) и |
|||||
(II), то Рх = |
Рх для всякого х £= D. |
|
и |
единственности |
||||||
Теперь |
исследуем |
вопрос |
существования |
|||||||
(Л, L) -диффузий посредством метода стохастических дифференци |
||||||||||
альных уравнений. Будем предполагать, |
что inf |
|
и ( х ) > 0 |
,и, |
таким |
|||||
|
|
|
|
|
хеоо |
|
|
|
|
|
образом, согласно замечанию 7 . 1 можно так нормализовать L, что бы р(.г) = 1. Сначала образуем стохастическое дифференциальное уравнение, которое описывает (Л, L)-диффузионный процесс, /(ля
этого выберем непрерывные функции о(х) = (вЪ(х)У / ) —»- R<( (g) Rr и
■4 С. Ватапабэ, Н. Нкпда
2 1 0 |
ГЛ. IV. СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ |
|
Т (.г) = (т/ (.г)): dD-*- Krt 1 ® Rs такие, что
|
d v (./) = |
^ o l (г) o l (.г), |
г, / = |
1,2, |
..., <1, |
(7.6) |
||
И |
|
|
Ii—l |
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aW(-') = |
^j r}(x)\1,(x), |
i, j — 1, 2, |
.. ,,d — 1. |
(7.7) |
|||
|
|
|
i " l |
|
|
|
|
|
Рассмотрим |
следующее |
стохастическое |
дифференциальное |
урав- |
||||
пеыие: |
|
|
|
|
|
|
|
|
(г) = |
S |
а/, (X (0)7? 1 |
(X (г)) dBh (t) + ь* (X (0) /■= (X (О) л + |
|
||||
|
+ |
£ т! (X (0) hi> (X (0) dM' (£) + Р' (X (0) /„ „ (X (0) dq) (1), |
||||||
|
|
* |
|
|
|
|
|
d — 1 , |
d xd(£) = |
£ |
о-;: (X (£)) / . (X (£)) dBk(£) + V1(X (0) / . (X (£)) dt + |
dtp (|l), |
|||||
|
/ , ' = 1 |
|
D |
|
|
u |
|
|
IoD (X (£)) dt = P (X («)) cty (£).
(7.8)
Интуитивный смысл этого уравнения состоит в следующем. Процесс ср(£) является возрастающим процессом, растущим только тогда,
когда |
X(t) |
находится па |
границе dD; |
он называется локальным |
|
временем процесса X(t) |
на dD; при этом d(p(t) |
возникает только |
|||
тогда, |
когда |
X(t)<^dD, |
и вызывает |
отражение |
от dD. Система |
(Bh(t), M'(t)} есть взаимно ортогональная*) система мартингалов
таких, что <£</?'’> (£) = dt, |
k = 1, |
2 , |
..., г, |
|
и d<M‘>(£) = |
c/tp(£), 1 = |
||||||||||
— 1, 2, ..., |
s, т. e. В — г-морпое |
броуновское движение |
с |
обычным |
||||||||||||
временем, |
а Ж — «-.мерное |
броуновское движение, |
если |
только вре |
||||||||||||
мя измеряется локальным временем <р(£). Функция р(.г) |
характе |
|||||||||||||||
ризует скорость (временного) пребывания процесса X(t) |
на границе. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
Заметим, что р(.т)“ |
0 |
тогда и только тогда, когда |
f 7QD(X («■)) ds— |
|||||||||||||
= 0 для всякого |
£ 5s 0 |
н. н. В |
этом |
случае |
|
|
в |
что |
граница |
|||||||
говорим, |
||||||||||||||||
dD — незадерживающая’, |
в |
противном случае |
граница |
называется |
||||||||||||
задерживающей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.8). |
|
|
|
|
|
||
Уточним понятие решения уравнения |
(7.8)**) |
называется |
||||||||||||||
О п р е д е л е н и е |
7.3. Ношением уравнения |
|||||||||||||||
совокупность случайных |
процессов |
Зс = |
|Х(£) = (Х ‘ (£), |
Х'(£), .. . |
||||||||||||
—*Х!'(£)), |
B(t) = (B'(t), |
B2(t), |
..., |
Br{t)), |
Ж(/)=(Ж1 (0, |
№(t),... |
||||||||||
*) Относительно случайного скалярного произведения <,> в смысле оп |
||||||||||||||||
ределения II 2.1. |
называем |
его |
решением |
относительно |
коэффициентов |
|||||||||||
**) Также мы |
||||||||||||||||
Го. Ь. т_ X р]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|