|
§ 7. УРАВНЕНИЯ С ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ |
211 |
|
.... ЛГ*(0 |
), ср(£)], |
определенных на вероятностном |
пространстве |
(И, Г , Р) |
с потоком |
(£Г,),&0, таких, что |
|
(I)X(t) — D-значный непрерывный (@~,)-согласованный про
цесс;
(II)cp(t)— непрерывный (^“^-согласованный возрастающий
Процесс такой, что ф(0 ) = 0 и t
|
|
j |
Ion {X (.?)) d(p (s) = |
fp (t), |
f > 0 , |
n . |
H .; |
||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
(III) |
{B(l), |
M(t)i — система |
элементов |
из |
~#р,ос таких, что |
||||
<В\ BJ> (t)= 8 hjl, |
<Я\ M'>(t) = |
0 и <М‘, |
Ж"‘>(0 = б„„ф(0; |
||||||
(IV) |
с BepoHTiiocTJ>i() единица |
|
|
|
|
||||
|
|
|
г |
I |
|
|
|
I |
|
х : (t) = |
X l (0 ) + |
S |
f (ft (X (* ))/. (X (s)) dB" (s) +lb\X (s))Ij,{X(s))ds + |
||||||
|
|
|
|
0 |
D |
|
|
0 |
|
+ |
2 |
f r l ( X ( , - ) ) I o v ( X ( s ) ) d M l ( s ) + f |
HX(s))r»n |
( X ( * ) ) d q > ( * ) t |
|||||
|
I_t D |
|
|
|
*' |
|
|
|
|
|
/=J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ,2 , |
— 1 |
X'1= |
Xd(0) + |
|
|
|
|
|
|
(7.8)' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
( |
|
|
|
|
l |
|
|
|
+ 2 |
\а)! (X (S)) I . (X («)) dDh (S) + |
|
b_i1 |
n |
U |
( Ь" (X («)) 7 о (X («)) ds + cp (t), |
|
• |
JJ |
n |
|
( |
|
f p ( X |
( s))d cp (,). |
0 |
|
О п р е д е л е н и е 7.4. Скажем, что выполняется условие единст венности решений для уравнения (7.8), если для любых двух ре шений I и I ' с одинаковыми начальными распределениями совпа дают вероятностные законы процессов*) X —(X(t)) и X ' = (X'(t))
на (W (D ), 3S(W(D))).
Следующую теорему можно доказать почти таким же путем, как
итеорему 6 .1 .
Те о р е м а 7.1. Пусть, так же как и выше, заданы дифференци альный оператор А и граничный оператор Р с дополнительным ус ловием р ( х ) = 1 , и выберем непрерывные а и т, удовлетворяющие условиям (7.6) и (7.7). Тогда (Л, L)-диффузия {Рх, х е .!)} сущест вует и единственна в том и только в том случае, если для всякой вероятности р на (D, 38(D)) существует решение уравнения (7.8)
такое, что вероятностный закон величины Х(0) совпадает с р и
*) Иногда сам процесс X = (X (t)) будем называть решением уравне ния (7.8).
212 |
ГЛ. XV. СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ |
|
|
|
|
|
|
выполняется условие единственности решений для уравнения |
(7.8). |
||
Рх — вероятностный закон на |
(W (I)), 3t(\V (О))) решения |
X (t) |
|
уравнения (7.8) с Х ( 0 ) = х . |
|
|
|
Т е о р е м а |
7.2. Предположим относительно коэффициентов урав |
||
нения (7.8), |
что о, 6 , т, (1, р |
удовлетворяют следующим условиям: |
|
о и Ь ограничены и липшицевы па D, ти § ограничены и литипцевы на дО, а р ограничена и непрерывна на дD. Кроме того, пред положим, что а удовлетворяет условию
a,hl (.г) = 2 |
И Oh(г) > с, r e дО, |
(7.9) |
л=1 |
|
|
для некоторой положительной постоянной с. Тогда для любой веро ятности р на (/), 38(D)) существует такое решение Х(1), что за кон распределения случайной величины Х(0) совпадает с р. Более
того, |
выполняется условие единственности решений |
для |
уравне |
ния |
(7.8). |
L) с |
р (х) = { |
С л е д с т в и е . Для заданной пары операторов (Л, |
|||
предположим, что можно выбрать а и т для некоторых г и s та ких, что выполняются условия (7.6) и (7.7), а а, b, т, р удовлет воряют предположениям теоремы 7.2. Тогда существует единствен ная (Л, Ь)-диффузия.
Д о к а з а т е л ь с т в о |
т е о р е м ы |
7.2. Мы |
докажем |
теорему в |
|
три этапа. |
|
|
|
|
|
(1°) |
Случаи с пезадержииающей границей, |
т. е. р (х) = |
0, of (.г) = |
||
=s 1 , at (х) = 0 , к = 2 , 3, |
...,/• и й'(х )= 0 . |
т. е. р(х) = 0. |
|||
(2°) |
Случай с незадерживаюхцей границей, |
||||
(3°) |
Общий случай. |
|
|
|
|
(1°) |
Случай с р(,г)= |
0, o'! (.г) = |
1, о'!, (х) = |
0, к = 2, 3. ..., г, и |
|
6 "(.г)= 0. Сначала покажем существование решений. Пусть р — заданная борелеяскан вероятность на D. На некотором вероятност ном пространстве построим независимые в совокупности следующие три объекта:
(I) ж(0 ) == (о: 1 (0 |
), ж2 |
(0 ), |
..., |
xd(0) ) — D-зпачная |
случайная |
вели |
||||||
чина с распределением |
р; |
..., |
|
BT(t))-~ r-мерное |
броуновское |
дви |
||||||
(II) B(t) = (B'(l), |
B2(t), |
|
||||||||||
жение с В (0) — 0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(III) B(t) = (B'(l), |
B2(t), ..., |
В’ (t)) — s-мерное |
броуновское дви |
|||||||||
жение с В(0 ) = 0 . |
|
|
|
посредством равенств |
|
|
|
|
||||
Определим ф(£) и X*(t) |
|
|
|
|
||||||||
0, |
t ^ о0: = |
|
m(f; i Bx(t)n |
+ |
xd(0) = |
0 |
} , |
(7.10) |
||||
ф (0 = |
— |
|
r |
a i |
n |
хл(( 0 й ) ) |
г1 ,> ( |
s ) |
а + |
в |
, |
|
|
O0<S4t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и
Х * (* ) = * * ( 0 ) + Я ' ( 0 + ф ( 0 - |
(7.11) |
§ 7. УРАВНЕНИЯ С ГРЛ1ШЧНЫЛШ УСЛОВИЯМИ |
213 |
К « к мы видели в главе |
III, |
н. 4.2, |
X '(t)— отраженное |
броуновское |
||||||||
ДНИЖение па [0, |
°°), |
а ф(/) — локальное время |
процесса X'(t) |
в |
||||||||
точке 0, т. с. <f (t) = Jim |
1 /[„,«> (Х 'г (s)) ds. Далее |
определим |
M(l) = |
|||||||||
|
|
e l ° |
i |
равенством M(t)= B(tp(t)). |
Положим |
|||||||
•-(ЛГ (t), M2(t), . . |
M* (t)) |
|||||||||||
= n |
i i/i,, |
где |
|
— о-ноле, |
порожденное |
x(0) |
|
и |
{В(и). |
|||
М (и)}u<i. |
Ясно, |
что |
{B(t), |
M{t)} — система элементов |
из Л\' 0 « |
|||||||
удовлетворяющая условию |
(III) |
из определения 7.3. |
Рассмотрим |
|||||||||
следующее |
стохастическое |
дифференциальное |
уравнение |
для |
||||||||
X(t) = (X'(t), X*(t),..., |
r - ' ( t ) ) : |
|
|
|
|
|
|
|||||
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dXl (0 = 2 |
Oft (А (0. A" (0) dB" (t) + |
b' {X (l), Xd(0) dt + |
|
|
|
|||||||
h = |
l |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T! (x (t), o) cm1(t) + p‘ (x (t), o) d<r (t), |
(7.12) |
|||||||||
|
|
+ 2 |
||||||||||
|
|
M I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X* (0) |
= |
(0 |
), |
i - |
1, 2, . . . , d - |
1 . |
|
|
|
|
Согласно теореме Ш-2.1 существует единственное решение X(t).
Процесс |
X(t) = (X (t), |
X'l(l) ) — непрерывный |
Л-значнын |
процесс, |
||||||
|
|
|
|
/ |
|
t |
|
|
|
|
удовлетворяющий условиям f I UD (X (s))ds — J 7{0t (Х 'г (s)) ds = |
0 для |
|||||||||
|
|
|
|
о |
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
i |
|
|
|
|
всякого |
t > |
Он. H. и j |
h,D(X (*)) |
(s) = j 7(0) (Xd (s)) dtp(s) = |
cp (t) для |
|||||
всякого |
t > |
0 п. и. |
e |
В частности, |
« |
|
dlih(l), |
к = |
||
|
7^(X (t))dBh (l) = |
|||||||||
= 1, 2, ..., |
г, и IX |
(X(t))dt = dt. |
Следовательно, £ = [X(£), |
5 (f), |
||||||
M(t), Ф(0] — решение уравнения |
(7.8). |
|
|
|
|
|||||
Покажем единственность решения. Из уравнения (7.8) следует, |
||||||||||
что |
|
|
|
dXJ{t)= dB'{t)+ dip(t), |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
и согласно теореме Ш-4.2 Х"{1) |
и |
ср(г) однозначно |
определяются |
|||||||
через Xd(0) |
и Bl{t) |
но формулам |
(7.10) н (7.11). Согласно теореме |
|||||||
11-7.3 {B(t), |
B(t) = |
M{(p-'(l) ) } — (г + s)-мерное |
броуновское движе |
|||||||
ние, которое не зависит от Х(0). Следовательно, вероятностный за
кон набора |
[Х (0), (B(t)), |
(A/(f))] единственным образом |
опреде |
|
ляется по распределению р |
(случайного вектора Х(0)). Так |
как ре |
||
шение X(t) уравпеиия (7.12) единственно и строится, |
как в теоре |
|||
ме Ш-2.1, то. очевидно, что |
распределение набора X = [X(t), B(t), |
|||
M(t), ср(0 ] |
единственным |
образом определяется |
но распреде |
|
лению р. |
|
|
|
|
(2°) Общий случай с незадерживающей границей (с мгновен ным отражением): р(.г)==0 .
214 |
ГЛ. IV. ОТО.ХЛСТНЧКСКПН УРАШ1КН1Ш |
|
|
|
||||||
Исследуем сначала некоторые преобразования решений, |
Ж=[X(t), |
|||||||||
а) |
Преобразование |
броуновского |
движения. |
Пусть |
||||||
Б(1), |
M(t), cp(0J — решение на пространство |
(Q, |
Р) |
с |
р(х) = |
|||||
соответствующее |
коэффициентам |
[о, Ь, |
т, |
р, 0]. |
Пусть |
|||||
- ( Р ? (х)): D->-0(r) — нснрерывная |
функция, |
определенная |
на D, |
|||||||
со значениями в r-мерыой |
ортогональной |
группе О(г). Положим |
||||||||
|
|
Г |
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
в" (0 = |
s |
\p'j (X (и)) dlV (и), |
& = |
1, 2......... |
г. |
|
|
||
Тогда |
У?(£) = (У?',(£)) — r-мерное (i£“() -броуновское движение |
(при |
||||||||
мер II-6.1) и Ж= |
|Х(/), B(t), M(t), ф(<)] — решение на |
(Q, 3~, Р) |
||||||||
сt), соответствующее коэффициентам [о, Ъ, т, ,3, 0], где о = ар~1.
Преобразование |
Ж |
Ж называется |
преобразованием |
броуновского |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
("> |
~ |
движения, определенного функцией р, и обозначается через Ж |
Ж. |
||||||||||||||||
Ясно, что Ж, со своей стороны, получается |
через Ж преобразованием |
||||||||||||||||
того же типа, определенного функцией р~': Ж— *■ Ж. |
|
|
|
||||||||||||||
|
Ь) |
|
Замена |
|
|
|
|
|
|
|
|
»• 1 |
|
|
|
||
|
|
времени. Пусть Ж= [Х(£), B(t), M(t), ф(У)] — реше |
|||||||||||||||
ние на пространстве |
(Q, |
, Р) |
с ((Ft), |
соответствующее коэффици |
|||||||||||||
ентам |
[о, Ъ, т, [3, 0]. Пусть |
с(х)— непрерывная |
функция на D та |
||||||||||||||
кая, что c i ^ c ( x ) ^ c 2 |
для |
некоторых |
положительных постоянных |
||||||||||||||
|
|
Положи.м |
|
|
|
t |
|
|
|
и |
обозначим |
через |
/1-1(н) |
||||
с,, |
с-,. |
A (t )= |
\c(X(u))du |
||||||||||||||
обратное |
отображение |
|
о |
|
|
|
|
X (t)= Х(А~'(1)), |
Ji(t) = |
||||||||
к t ■— A (t). Пусть |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
_______ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
(Bk (t) ), |
где |
Bk (t) = |
j |
] / с (X («)) dBh(A" 1(«)), M (0 = M {A~1(0) |
||||||||||||
и ф(£) = ф ( Л -1 ( t ) ) . Положим 2 F t |
—■ & ~ л ~ 1ц у Тогда мы непосредствен |
||||||||||||||||
но убеждаемся (см. главу III, § 1 |
или п. 4.2), что Ж= |Х(<), В(1), |
||||||||||||||||
M(t), |
ф(0] — решение на |
(Q, |
|
Р) с (&~t), соответствующее ко |
|||||||||||||
эффициентам [с-,/2а, с~‘Ь, т, |
0]. |
Преобразование Ж-*■ Ж называет |
|||||||||||||||
ся |
преобразованием |
броуновского |
движения с |
помощью |
замены |
||||||||||||
времени, определенного (функцией с, и обозначается через |
(Ь) |
~ |
|||||||||||||||
Ж-*■ Ж. |
|||||||||||||||||
Ясно, что Ж, со своей стороны, получается через Ж преобразованием
того же типа, определенного функцией с- ’ : Ж— ->Ж.
с) |
Преобразование |
сноса. Пусть Ж= |Х(г), B(t), М(1), ф(£)] — |
|
решение на*) (Q, 3~, Р) |
с (&~,), |
соответствующее коэффициентам |
|
[о,6,т,^,0]. Пусть d(x) = (dl(x), |
d2(x), ..., dr(x) — ограниченная |
||
*) Без потери общности можно предположит)., что (Q, 9~, Р) — стандарт ное вероятностное пространство.
g 7. УРАВШШИЯ С ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ |
215 |
Н'-значная непрерывная функция ua D. Положим
Г / г \
р ( 0 = |
охр |
2 |
\dh(X(,))dB'‘ ( s ) - . 1 2 |
f d*(X(s))*ds . |
|
|||||||||||
|
|
|
|
i |
s |
|
- |
i |
|
;; |
|
|
|
|
|
|
Тогда |
p.(J)— положительный |
|
-мартингал и |
Р = р •Р задается |
||||||||||||
посредством |
определения 4.1. |
Положим |
X(t) =[Х(1), |
Л(1), |
M{t), |
|||||||||||
<||(0]> |
где |
в ’!(() = |
В1(I) — ) |
dk (X (.S-)) ds, |
к = |
1, |
2, |
..., |
г. |
Легко |
||||||
видеть, |
что |
по |
теореме 4.1 |
Л |
|
|
|
па |
(Q, |
SF, |
Р) |
с |
|
|||
X(t) — решение |
|
|||||||||||||||
соответствующее |
козффициептам [о, 5 = |
6 + ad, |
т, р, 0]. Преобра- |
|||||||||||||
вовапие X |
$ |
называется |
преобразованием |
сноса, |
определенного |
|||||||||||
функцией d, и |
обозначается |
далее |
через |
(с) ~ |
|
Ясно, |
что |
£, со |
||||||||
Ж |
3t. |
|||||||||||||||
своей стороны, получается через $ преобразованием того же тина,
определенного функцией •— d\ X ^ X.
Завершив оти приготовления, мы теперь покажем существова ние и единственность решения в случае р = 0. Пусть а, 6 , т и (} удовлетворяют предположениям теоремы 7.2. Тогда существует
функция р(х) |
:!)->-О(г) |
такая, |
что |
каждая |
компонента |
матрицы |
||||||||||||||||
р(х) лишшщева и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
* |
* |
* |
. . |
. |
* |
\ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
* |
* |
• |
• |
• |
* |
} |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|а''(*)\, |
0 |
, |
0 |
, |
.... |
0 |
/ |
|
|
|
|
|
||
где аг(х) = |
(о], |
|
— |
г-я строка матрицы а(х) |
|
и |
|
|
|
|
1= |
1, 2 ,. |
||||||||||
|
|
'(-г)11°г |
= 1 |
г/ |
г |
/{—I~ —2 |
;— |
|
|
|
|
|
|
|
d. |
|
|
|||||
Действительно, |
р, (х) = |
аЛ{х)/\аЛ{х) I : О |
|
Sr_1 = |
{.r е Rr; |х| = |
1} — |
||||||||||||||||
линшнцевая |
функция. |
|
Выберем |
отобра/кение |
ph(x):I) ^ |
Sr~\ |
||||||||||||||||
к —2 , |
3, ..., |
г, |
так, |
что |
рп(х)— линшнцевая |
|
функция, |
а |
набор |
|||||||||||||
|р,(х), рг{х), ..., р,\х)\ является ортонормированньтм в Rr для |
||||||||||||||||||||||
всякого х е О . Такой |
выбор рк(х) всегда возможен. Искомой функ |
|||||||||||||||||||||
цией тогда будет матрица р ( х ) : D -*■ О(г), к-я строка которой есть |
||||||||||||||||||||||
рк(х), |
к = |
1 , 2 , .. ., г. |
|
|
|
\а‘! (х) I2 |
и |
определим |
|
|
|
(х), |
||||||||||
Далее |
положим |
с ( х ) = |
d (х) = (cl |
|||||||||||||||||||
йг ( х) , |
...,dr( x ) ) |
равенствами |
|
|
|
|
|
i = 2 , |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
d ' { x ) = - |
b " ( x ) / c ( x ) |
и |
dl( x ) = 0 , |
|
3, |
..., |
г. |
|
|
|
|||||||||||
Пусть |
X — решение, |
соответствующее |
|
козффициептам |
[о, |
6 |
, |
т, |
||||||||||||||
Р, 0]. Если мы |
произведем |
над |
X последовательно |
преобразования |
||||||||||||||||||