Материал: Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

§ 8. ПРИМЕРЫ

221

<оо, мы можем применить теорему 9.1 и заключить, что |(t) опре деляется единственным образом как i) -согласованный непрерыв ный справа процесс на дП с левосторонними пределами.

В-третьих, положим

f г t

Л (/) = Ст0

ст [Ф (I (.<>—), w \ Np(dsdw) +

f P (s (*•))ds =

Jjp>e(I>)

= or0

(s (s —))s or [p (s)] +

\о ( 1 (*)) ds.

(7.2 1 )

sct.seDj,

Используя (7.13), нетрудно показать, что Л (

— (^'^-согласован

ный

непрерывный справа процесс

такой, что <—»-Л(/)

строго

воз

растает

lim A{t) =

оо и. н. Для всякого

0 существует

единст-

венное

s ^

t Тэо

Л (s). Если

s = 0, т. е. О ^

t sS

О такое, что Л (s—) sS t

^ Оо, то Xх(I) был уже определен равенством

(7.19). Если

« > 0 и

A (s

) < А (л-), то

отсюда

следует,

что

s e D ?,

и мы полагаем .

.V (!) = Ф ( ! ( * - ) , /»(«))(< — Л (*—)).

(7.22)

Если s >

0 п Л (s—) = Л (в), то !( s ) = |(s—), а мы полагаем

X*(t)=%(s).

(7.23)

Таким

образом,

мы определили

случайный

процесс

Xх (t);

из

способа построения ясно, что функция

t •-*- Xх (I)

непрерывна н. п.

Оставшейся проблемой является доказательство того, что

Xх(t) —

— (Л, L) -диффузионный

процесс. Это

можно

сделать

в принципе

теми же рассуждениями, что и в главе III, п. 4.3. Однако доказа

тельство

довольно

усложняется, и

мы

опускаем

детали; см.

[17].

§ 8 . Примеры

П р и м е р

8.1.

(Линейная или

гауссовская

диффузия.)

Пусть

а =

(о],) — постоянная d

X /-матрица,

а Р =

(Р?,) — постоянная

d X

X d-матрнца. Положим Ъг(х)= 2

Р/гЛ',х = (х‘, х2,

..., / ) e

R'1. Рас-

смотрим

следующее

/*— 1

уравнение:

стохастическое дифференциальное

£ « } =

aldUl+ bi (Xl)dt,

/ =

1, 2

, . . . , d ,

(8.1)

/4=1

или, в матричных обозначениях,

dX, = odB, + $X,dt.

(8.1)'

Из общей теории (теорема 3.1) мы знаем, что существует единст венное решение, которое в явном виде задается следующим обра-

2 2 2

ГП. IV. СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

зом. Пусть е'Р = 2d

зада

* Тогда решение X(t) уравнения (8.1)

л о

ется равенством

X (I) =

еР'

Х (0 ) +

je-P*crf№(s)

(8.2)

или, покомпонентно,

X* (t) =£ (eP') UJ(0) + & 2 f(e-PyaldB%J.

i=i

ft=i о

Доказательство легко получается из соотношения

d(e~*lX(t)) = е~*1(dX( l ) -

рХ(*)dt) = e^'adB(l ) .

В частности, если начальное значение

Х (0 ) имеет

гауссовское

распределение,

то

X (t) — гауссовский процесс*).

Например,

ес

ли d = 1 и

dX(t)=dB(t)

-yX(t)dt

( f > 0 ) ,

(8.3)

то решение X(t) находится но формуле

X (*) = e-v /X (0) + f*e^dB (#)х|

(8.4)

(см. также пример

2.1

главы III,

2).

Предположим, что

Х(0)

имеет

гауссовское распределение

со

средним 0 и

дисперсией

а'1.

Тогда ковариация процесса X(t) задается равенством

Е{Х (г) X (.-?)) =

e-v(t- ! - * ) a 2

- j e-vO -^e-ve-’Odu =

—^je-y(t rs) _j_ JL е-

^о2

если

t~>s.

В частности, если O2 =

1 / ( 2 Y), то X(г) — стационарный гауссовский

процесс [43].

(8.3)

известно как уравнение Ланжевена, а решение

Уравнение

X(t)

в (8.4)

известно

как

броуновское

движение

Орнстейна —

Уленбека.

Несколько более общего вида уравнение

rfX(f) = (flX(0+ b)dB{t) + (cX(t)+d)dt,

(8.3)

где а, Ь, с, d — действительные постоянные, можно решить аналогичным образом. Сначала заметим, что (8.5) эквивалентно

*) По определению решений. Х(0) и B(t) всегда независимы.

§ 8. ПРИМЕРЫ

223

уравнению

dX (t) =

аХ (t) о dB (t) - 4 а (aX (t) +

b) dt +

MB (t) +

(cX (t) +

d) dt=

— aX(t) о dB{t) +

----- aaj x( t ) d t +

bdB(t) +

^d — у

abjdf.

(8 .6

)

Если Af(t) =

expj — aB(t) — {c — 4-a2 ltj,

T 0

dM (t) =

— aM (t) » dB (f) —

JL a2) .1 / (f) dt

н, следовательно,

i¥ (f) - 1

• dM (i) = -

[ad/? (t) +

(c -

-1 a2] dt].

Уравнение (8 .6 ) эквивалентно уравнению

dX (t) =

— X (t) M (t) _ 1 о dM (t) +

&d/? (t) +

(d -

afc]df,

T. e

d (Л/ (О X (f)) = ЪМ(t) . d/?(0

( d

- i -

ab) ЛаГ( 0 dt.

Поэтому единственное решение

X(t)

задается

равенством

-I

X (t) = М {t)” 1

X (0 ) + b J M (s) оdB (s) +

Id-

i - ab] \M (s) ds

(8.7)

где M (t) =

exp j — aB(t) — (^c •— у

a2] tj.

Аналогично, если рассмотрим многомерное стохастическое диф

ференциальное уравнение

dX* (t) =

( 2

Ц)}Х} (t) + 4

) . dBp(0

f i

/4;X J'(t) + 4

) dt,

P-

I \j=i

\i=i

X l (0)

ад,

i =

1, 2, . . . , d,

где LJ,j,

} — 1 ,

2 ,

..., d, p =

0 , 1 ,

...,

г,— постоянные, такие,

что

Lpj — 0

для i > j, то решение задается равенством

Xd (t) = Мл(t)-’ ( я* +

(s) о dry' (s)]

Ti"(t)= 2 4 s p(t) + 4 t

224		ГП. IV. СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
224
		X* (0	= М 1(*)"'		+	fЛ/5(s) о dp* (.9)j
щ (t) =	S	f x ; (.9)	» d\|j (.9) -h S	4 ^ ’ ( t )		+ rji, i	= d - 1 ,	d -	2 , . . . , 1.
	H ^ l J		? —1
Здесь	4(f)= 2 K iB'' (0 + K it			u	M l(t) =exp ( - \|\|(t)),				i, 7 =
= 1. 2,	. .	j,=-i					L\ ••	Рг),	порож-
= 1. 2,	. .	с/. ]> этом случае алгебра Ли S(L0,					L\ ••	Рг),	порож-
				cf	<1
денная векторными нолями L,, =				\	^ХКг** +		4 ) “ Т	» Р =	0, 1, •••
				i- л	; - i		^

..., d, разрешима. Общин результат о предстаклешш решении в по

добном случае получен Кунитон 1100].

П р и м е р 8.2. Пусть а, с, d — действительные постоянные и а > 0. Рассмотрим следующее одномерное стохастическое диффе ренциальное уравнение:

dX(t) =

(2oX(f)

V 0) l/2dH{t) +

(cX(tj + d)dt.

(8.8)

Так

как кооффициепты а(х) — (2«xVU)1/2 и

Ь(х) = cx + d удов

летворяют условию теоремы 3.2, а также условию роста

(2.18),

то

существует

глобальное

сильное решение

X(t)

заданным

началь

ным значением Х(0) и оно

единственно.

Если

d 3* 0

Х(0) 3*0

п. н., то X(t) > 0

для

всех

£ 3* 0 н.

и.

Действительно,

случае

d == 0 ясно,

что X(t) =

0 н.

н., если только Х(0)

= 0 п. н.

(в силу

единственности

решения).

Положив

о =

inf{/;

Х(£)=

0},

мы

ви

дим,

что X(t)

= X(t + о) — решение

уравнения

(8.8)

X (0) = 0

па

пространстве

(Q = (о>;

о ((о }< со }, ‘д~ =

@~ |~, р =

Р(» |Q))

и,

следовательно,

X (t) =

0 п. н. на Q.

Отсюда

следует,

что

X(f) ==

s=X(tf\o)

и.

н. и, следовательно,

Х(<)

3* 0

и.

и.,

если

только


Х(0)3*0 п. и.	В	случае d > 0		положим			o -P= inf{/; X(t) = —е),
где г > 0 — такое, что —се + d >				0. Предположим, что Р(а~с <						°°)>
> 0. Тогда с вероятностью единица,					если		выберем	любое	г <		о_е
такое, что X(t)	< 0 при t е		(г,	о_е),		то	будем	иметь	dX(t)		=
— (cX(t)+ d)dt	на	интервале	(г,	о_Е),		н.	следовательно,		t	X (t)
.возрастает на этом		интервале.	Ясно,		что это невозможно.

Таким образом, решение уравнения (8.8) определяет консерва

тивный диффузионный процесс {PJ	на [0, °°)	в случае d > 0. Этот
процесс является /.-диффузионным	процессом,	где	L — следующий
оператор:
Li (.г) = ах ~ / (*) +	(сх + d ) ~ f (л),		(8.9)

действующий на Сл (10, со)).

§ 8. ПРИМЕРЫ	225
Теперь докажем следующую формулу:

Ех(е-к«») =

\^г(ес1-

1) +

1 Г /аох'Р }-----ж

-------- 1.

(8.10)

(Если с = 0, мы подразумеваем, что— (ect — 1) =

t.)

Действитель

но, согласно формуле Ито имеем по мере Рк, что

(

u(t, w(t)) — и (0 , х) =

мартингал +

+ f->л<| (s, w (s)) ds

для каждой функции *) u(t, х) е

CJ’2 ([0, оо)х[0, сю)). Отмечая, что

функция v(f, х)

правой

сторопе

формулы

.1 0 )

удовлетворяет

равенствам

— Lv

v (0 +,

х) =

е-Ь:, мы полагаем

u(f,

ж) =

= v(f0 — f, х)

для

фиксированного

U и применяем

формулу Ито

к u(t, х). Тогда

v(ta — t,

117(f))

— v(f0,

х)

— Р*-мартингал

и,

следо

вательно,

Ex[v(t0 — t,

H7 (f))J =

v (f0,

х ).

Веря

t =

f0,

получаем

7 ? ,(^ >K('.)) =

v(f0 ,x).

inf {t-

w(t)

0). Тогда

Пусть х >

0 и Оо =

Рх{Оц < °°)

, если

«£ d <

а,

(8 .1 1 )

если

0 ^ d < а и

с < 0

■Р*(о0-= °°) =

если

d > a .

(8 .1 2 )

Для доказательства равенств

(8.11)

(8.12)

положим

cz -\-d

)

[‘

охр

Нетрудно видеть, что s(0 + ) =

— о о тогда

и только тогда, когда

d>a,vi s(о о )

о о

тогда

только

тогда, когда с

d < а.

или<

с =0 0

н d ^ a .

Заметим

также,

что

А:(0 + ) <

°°,

если

Поэтому

требуемые утверждения следуют из теорем YI-3.1 и V1-3.2. Заме

тим

также, что

граничная

точка

х = 0

является

регулярной **)

Из

c j >2([0, оо)х[0, ос)) э

и (t, х)

следует, что

все производные функ

ции и до первого порядка но I н до второго порядка по х непрерывны и ог раничены.

**) Ито, Маккии [77]^

15 с. Ватанабэ, Н. Икуда

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных