226 |
ГЛ. IV. СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ |
и отражающей, если 0 < d < а, и является точкой выхода и погло щающей, если d = 0. Если d 3* а, то граничная точка является точ кой входа, н нетрудно заключить, что
|
|
|
P0(w(t) |
> |
0 для всех t > 0) = |
1. |
|
|
(8.13) |
|||||
> |
/Действительно, |
устремив |
в |
(8.10) К t °°, |
будем |
иметь P0(w(t) > |
||||||||
0) = |
1 для |
всякого |
t > |
0. |
Комбинируя |
это |
с |
соотношением |
||||||
(8 |
.1 2 ), |
видим, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P0(w(t + s )> 0 для всех s > |
0 )= 1 для всякого t > 0. |
|
||||||||||
Так как t произвольно, то отсюда |
следует |
справедливость |
соотно |
|||||||||||
шения |
(8.13). |
8.3. |
|
|
|
|
|
|
|
Для |
а > 0 |
пусть |
||
|
П р и м е р |
(Кесселевские |
диффузии.) |
|||||||||||
La— дифференциальный |
оператор |
на [0 , <»), определенный |
равен |
|||||||||||
ством |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
/(*) |
+ |
|
|
|
|
(8.14) |
с областью определения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
St) (La) = 1 /е Сь([0, о о )): |
для некоторых |
постоянных 0 < |
я, < аг, |
||||||||||
|
|
|
/ ( * ) = / ( 0 |
), |
если |
х е [ 0 , а,], |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
/(z ) = |
0 |
, |
|
если |
х е [а2, |
°°)}. |
|
|
|
|
Существует единственный диффузионный процесс, порожденный оператором La, который называется бесселевским диффузионным процессом с индексом а. Бесселевские диффузионные процессы яв ляются, по существу, частным случаем диффузий, рассмотренных в предыдущем примере. Пусть
|
Laf{x) = |
2 xj-J (x) |
|
|
|
(8.16) |
|
и SO (La) — пространство, |
определенное равенством |
(8.15). |
Дей |
||||
Тогда существует единственная |
Г а-диффузия |
{P*}*s(0 . |
|||||
ствительно, диффузия из примера 8 . 2 |
в случае а = 2 , с = 6 |
и d = а, |
|||||
очевидно, является Г а-диффузией. Обратно, |
аналогично доказатель |
||||||
ству теоремы 6 . 1 |
можно доказать, что если |
l- ^ 0 0 )«=[«,°°> — Ъа - диф |
|||||
фузия, то 1X(t, |
w) =w(l)) — решение уравнения |
(8 .8 ) для а = |
2, |
||||
с = 0 и d = а с X (0) = х. Из единственности решения уравнения (8 .8 |
) |
||||||
можно заключить, что //«-диффузия единственна. Легко видеть, что
|
(Г а/) (X2 = |
(Lai) (*), / |
(8.17) |
|
где |
f(x) — j(1x). |
Теперь |
можем заключить, |
что La-диффузия |
\Ка))х£[о,») единетвеппа и |
Р . — мера-образ па |
W ([0 , «>)) меры |
||
Р'$ |
при отображении |
|
([0,о))3 |
|
|
W([0, |
о)) |
|
|
|
|
|
|
§ 8. ПРИМКРЫ |
|
227 |
|
где траектория Уw определяется равенством Уw(t) = l'w;(f). То |
есть |
||||||
босселбвская |
диффузия |
Ха (t) |
с индексом а, выходящая из |
точ |
|||
ки х, получается |
как |
|
(t) = |
V Y t (О, |
где Уа — сднаствепиое |
||
решение уравнения |
|
|
|
|
|
||
|
dY(t) = |
2(Y(t)\J0y/2dB(t) + adt, |
(8.18) |
||||
|
Y ( 0) = |
«*. |
|
|
|||
|
|
|
|
||||
Согласно |
(8.10) |
видим, что |
|
|
|
||
Ew (e- x w ) |
|
= (2 и + l) - e/2exp |
( “ 2 lT T l) • |
(8.19) |
|||
Обращая преобразование Лапласа, находим, что |
|
||||||
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
Е |
(/ (u> (*))) = |
J pia) (t, x, |
у) f (у) dy, |
|
||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
X ,, ) - |
|
|
|
|
<8 -20> |
|
|
|
|
( |
х у п |
|
|
|
и Jv (х) = |
2 |
~!Г (v + » + 1 )~ — модифицированная функция Бес |
|||||
селя.
Используя уравнение (8.18), можно доказать интересное свой ство семейства бесселевских диффузий. Пусть 7?, и Вг — два неза висимых броуновских движепия, ai и а2 — положительные посто янные. Рассмотрим уравнения
|
( dYx (t) = |
2(YX(t)\/0) , / 2 |
dBv (t) + |
ctjA, |
||||
и |
l |
> r i |
( 0 |
) |
= |
г/ |
i ^ |
[ 0 , o o ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dYt (t) = |
2(У, (f) V 0) 1 / 2 |
d/ ? 2 |
(г) + |
o,d f, |
|||
|
|
У а (0) = |
р2 е = [0 , |
oo). |
|
|
|
|
Положим*) |
y,(f) |
= y\(f) + |
У2(<) |
и |
|
|
|
|
(0- jj |
/ " |
VГ2W(«У dBl W+ I}XF j |
(»)-VУ 2(.) |
|||||
*) Мы знаем (как следствие (8.10)), что P(Yi(i) > 0) = 1 для всякого
t > 0.
15*
228 |
|
|
ГЛ. IV. СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ |
|
|||
Тогда B3(t) — броуновское движение согласно теореме II-G.1 и |
|||||||
|
|
dY3 (t) = |
2 (У3 |
(t) V 0)1/гdB3(t) + (ах + |
a2) dt, |
||
|
|
Уз (0) = |
1/1 + |
У2- |
|
||
Таким образом, |
УI 'У2 |
— распределение процесса |
Г3. Следователь- |
||||
но, |
если |
Х“ (() |
п Xl]( t ) — взаимно независимые бесселевские диф |
||||
фузии с |
индексами а |
и |
р соответственно, то >' |Х“ (£) | 2 + IX1’ ^ ) ! 2— |
||||
бесселевская диффузия |
с индексом а + р. В частности, если а — d, |
||||||
d = |
1, 2,..., то Xa(t) |
можно отождествлять с радиальным процессом |
|||||
d-мерпого броуновского движения. См. [77], [181], [12] по поводу дополнительной информации относительно бесселевских процессов.
П р и м е р 8.4. (Броуновские экскурсии*).) Пусть Т > 0 фикси ровано. Рассмотрим следующее стохастическое дифференциальное уравнение:
dX (t) = 2 (X (t) V0) , / 2 dB (t) + (з — |
1 4 |
dt, |
v |
(8.21) |
|
X (0) = 0. |
|
|
Это уравнение того же тина, что и уравнение (8.18). Следовательно, можно показать **), что существует единственное решение X(f) для
( б [ 0 , f ) |
и |
|
|
|
|
|
|
P(X(t) > о для всех |
t е= (0 |
, Т)) |
= 1 . |
(8 .2 2 ) |
|
Кроме того, Х(<) определяет неоднородный во |
времени марковский |
|||||
процесс. Точнее, для 0 < |
s < Т п х е |
[0 , оо) пусть W, * — совокуп |
||||
ность всех непрерывных |
траекторий |
w: |
[s, Т) => t >-►w(t) е [0, сю) |
|||
таких, что w(s) = х и w(t) > 0 для всех t е (s5 |
Т), ^ ( W |
t K) — о-но- |
||||
ле на W 5 |
tt, порожденное борелевскими цилиндрическими множест |
|||||
вами, a |
(W ,.,), s < t < |
Т,— под-о-поле, |
порожденное |
борелевски |
||
ми цилиндрическими множествами, зависящими только от интервала
[s, *]. Пусть 1\ о — вероятностпый законна (W 0,0, ^(W o. ,,)) |
реше |
|
ния Х(£) уравнения |
(8 .2 1 ) и, вообще, Pt<* — вероятностный |
закон |
на (W ,iX, * (W ,.,)) |
единственного решения {X (f)),c(s r) уравнения |
|
|dX ( 0 = 2 (X(*)V0),/2 dB (t) + (з- |
dt, |
I X(s) = |
(8.23) |
|
*) См.Г77].
**) Чтобы строго доказать (8.22), нужно применить теорему сравнения (теорема VI-1.1) к уравпению (8.8) с а = 2, с = 0, 2 < d < 3 н Х(0) = 0 и к уравнению (8.21).
§ 8. ПРИМЕРЫ |
229 |
Марковское свойство меры Р0, о формулируется теперь следующим образом *):
для 0 < s < t и / е 5 ([0 , |
°°)) |
|
|
|
h,o[f('»(t) ) W ' ( w °,°)] = Es,.<s)[f(w'(l))] |
для |
Рсо,о-и. в. w. (8.24) |
||
Вообще, для 0 =s=u<s<£ , |
ЛГЕ [О, со) и |
/ е в ( [ 0 |
, <*>)) |
|
Eu,x[l{w(t))\$is(WU'X ] = |
ES'W(s)[l{w'(t))\ |
для |
Ри,х -п. в. w. |
|
|
|
|
|
(8.25) |
Доказательство можно провести так же, как и в § 5, с использова нием единственности решения уравпепия (8.23) для всяких s а х .
Пусть Р,,х — мера-образ па (W 3 |
х, J?(WSх) ) меры Р$ хъ при ото |
бражении Ws i 2 3 w i - » / r o s W ,U 1 |
где траектория Ун; определяется, |
конечно, равенством У w(t) = У w(t). Тогда очевидно, что марковское свойство (8.25) справедливо и для {Psre}.
Положим
^('’*’ "> - =йя(гар (- т г 1)- мр(- Чг1))- |
<8'20> |
||||||||||
|
|
< > О, |
х, у е = . [ 0 , о о ) , |
|
|
|
|||||
к |
(<> *) = |
j^ /'^ 3 a:exp |
|
|
t > 0 , |
are (0, оо), |
(8.27) |
||||
|
K ( T - t , у) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К (Т — s, х) р° (t — s, х, у), |
|
|
|
|
||||||
|
|
если |
0 |
^ |
s < t < |
Т, х, у е |
(0 , сю), |
(8.28) |
|||
P ( s , х ; t , у ) = |
|
n ( T - s ) |
к |
(Т — t, |
у) К (t — S, у), |
|
|||||
|
|
|
|
||||||||
|
V '- |
2 |
|
|
|||||||
|
0 ^ . s < i t < T , |
аг = 0 |
и |
у > 0 . |
|
||||||
|
|
если |
|
||||||||
Мы покажем, что для х > 0 и s > О |
|
|
|
|
|
||||||
Ps.xiw; w(tt)<^dx,, w{t2 <^dxu ..., |
w(tn)<= dxn = |
|
|
|
|||||||
= p(s, ar; |
tu xt)p(ti, xp, |
t2, x2 |
... p(tn-,, |
ar„_,; |
tn, x„)dxtdx2. . . dxa |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.29) |
для всяких s < li < |
t2< . . . < |
f„ < |
T. Достаточно доказать, что |
||||||||
|
E*,x 1 / (w («))] = |
J |
|
p (s, x ;t ,y )f (y) dy, |
|
|
|||||
|
|
|
|
[0.°° ) |
|
|
|
|
|
||
|
0 ^ |
s < t, x e |
[0, oo), |
./ e В ([0, oo)), |
|
(8.30) |
|||||
*) B([0, oo)) — совокупность всех ограниченных борелевскнх функций па [О, оо).
230 |
ГЛ. IV. СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ |
поскольку (8.29) получается из (8.30) последовательным примене нием марковского свойства (8.25) для {PS,J. Положим для 0 ^ s <
< t < T
u(s, х; £) = J p(s, x; £, y)/(£, y)dy, a
где /(£, у) — ограниченная гладкая функция. Тогда можно непо средственной подстановкой проверить, что u(s, х; £) удовлетворяет уравиепию
Пт и (s,х; £) = /(£, у). |
|
|
|
s e?.(0,£), |
X e= (0, 00), |
(8-31) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
s1t,x->V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если положим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
и (s, х; |
0 = |
Ц Р (s. У |
t> у) / (*> У*) <*У, |
|
|
|||||||
то и (s, х; |
£) удовлетворяет уравнению |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
ди |
|
|
.x |
+ |
(з |
- j ^ |
- s) |
|
U (s, x; £), |
|
||
|
|
ds (», х; £) = {2 |
|
(8.32) |
||||||||||
|
|
lim |
u (s, x ; |
t) = |
/(£, |
y). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
st t , x ~ * y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Согласно |
(8.32) |
и формуле |
Ито |
видим, |
что |
для |
каждого |
х < Т |
||||||
[s, т) э |
£ >-►и (£, X (£); т) является мартипгалом, |
если |
тол!>ко X(t) — |
|||||||||||
решение |
уравнения |
(8.23). |
Следовательно, |
E(u(t, X(t); |
т)) = |
|||||||||
= м (.v, х; |
т) для всякого £ е [s, т). Устремив |
£ t т, |
получаем |
|
||||||||||
|
|
Е[Нт, Х (т ) )] = £»,х[/(т, |
W; ( T ) ) |
] = |
H |
( S , |
х ; |
т ) . |
|
|||||
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
Es,x [/ (Т, ю(т))] = Е$ х2 [/ (т ,/ш (т))] = j Р(.9, х; т, у)/ (т, у)dy |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
и соотношение |
(8.30) |
доказано. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Из (8.29) непосредственно следует, что |
|
|
|
|
|
|||||||||
Р 0 ,0 (н>; |
н;(£,) е=dx„ и;(£2) е=dx2, .. ., |
М7(£„) е=dx„} = |
|
е dx„} |
||||||||||
= |
Ро, о(ш; w(T —£,) е |
dx„ |
w(T — £2) е |
б/х2, |
. . |
w(T —tK |
||||||||
для всяких 0 < £ , < £ 2 < . . . < £ „ < Г. Этим показано, что мера Р0, о ипвариантпа относительно обращения времени w*-+w, где w онреде-