Материал: Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

236 ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ

является касательным вектором в точке х для всякого i — 1 , 2 ,

. . d. Это отображение обозначается через ( — ) . Легко видеть, что

				\ д х г] х
{ ( a ?)* j--i г		л °^РазУет базис линейного пространства ТХ(М).
Векторным полем мы называем отображение V: х е М -• F (от) е
е Тх {М). Векторное			поле V называется С'“-векторным полем, если
для всякого		f ^ F ( M )	(Vf)(x) = V (x)f является С°°-фупкцией. Та
ким образом, F является С°°-векториым полем тогда и только тог
да, когда	V — лииснпое отображение			F(M) в F(M)	(или подклас
са F0(M)	в Fo(M)) такое, что V(fg) =			V(f)g + fV(g).	Всюду в этой

книге, если не оговорено противное, мы рассматриваем только С“ - векторпые поля. Совокупность С°°-векторпых полей обозначается

Зс(М).


Пусть Ао, A t, ..., Аг^Х(М).			Мы	рассматриваем		следующее
стохастическое дифференциальное			уравнопис,		задаваемое в фор
ме ")	dX(t) = Aa(X(t))° dBa(t) + Al>(X(t))dt.					( 1.1)

Точная	формулировка состоит	в	следующем.		Пусть	М — М или
М U{Д}	(= одноточечная компактификация множества М) в зависи
мости от того, компактно М или некомпактно. Пусть W (М) — про
странство путей, определенное равенством
W (M)={w; w — непрерывное		отображение [0,			<»)-*- М такое, что
	ii)(0 )e l, и если w(t)= А, то			w(t') = A для		всех

п пусть ^ (W (М)) — a -поле, порожденное борелевскими цилиндри ческими множествами. Момент варыва e(w) определяется равенством

	e(w) =	inf {/;	w(t)	= А).
О п р е д е л е н и е 1.1.		Решением		X = X(t)	уравнения	(1.1)
называется	t)-согласованный		W (М)-значныи		случайный	эле

мент (т. е. непрерывный процесс на М с «ловушкой» А), опреде

ленный на вероятностном пространстве с потоком			t), н г-мерное
(@~i) -броуновское движение B = B(t)		с В(0) = 0	такие, что	для
всякого**)	f — Fu(M)	t
	t	t
/ (X (0) -	/ (X (0)) = J (Aaf) (X (*)) 0	dBa(,) + J (A0f)(X (8)) ds,		(1.2)
	о	0

где первый член в правой части понимается в смысле интеграла Фиска — Стратоновича, определенного в § 1 главы III.

*) в соответствии с общепринятым соглашением мы опускаем символ суммирования для индексов, встречающихся один раз внизу и один раз вверху.

**) По определению, / (Д) = 0 для всякого / e F 0( f ) .

§ 1. УРАВНЕНИЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ	237

Применение результатов главы IV к каждой координатной ок рестности позволяет получить единственное сильное ретпепие урав нения (1.1). А именно, имеем следующий результат.

Т е о р е м а 1.1. Существует функция М X WJ ->• W (М), яв

ляющаяся П & (Л/) X &t (w;y>xpVr/ £,< $?№ ) -измеримой*) для

всякого f Зг 0		и такая, что (I) для всякого решения X — X(t) отно
сительно	броуновского				движения B ~ B ( t )			выполняется равенство
					Х = 5 (Х (0), В) п.
(П)	для	всякого				r-мерного	t)-броуновского			движения
В = (B(t)) с 5 (0 )				= 0	, определенного на вероятностном простран
стве с потоком (£Г<),					и	М-значного	( F ^-измеримого			случайного
элемента	%	X =	/7	(g,	5 )	является	решением уравнения (1.1) с
Х (0 )	п. н.					Возьмем	координатную		окрестность **)
Д о к а з а т е л ь с т в о .
U и выразим			=	ой (я)—г , а = 0,			1, . . .	, г, в локальных коорди
натах (х\ хг, ..			xd	в U. Продолжим функции ога (х)					до ограничен

ных гладких функций на Rd и затем рассмотрим следующее стоха стическое дифференциальное уравнение:

( й Х \| - о и ^ ) ^ В *				( 0 +	о * (Х ,)* ,	(1.3)
{	X ' = х%,	i =	1 , 2	, . . . , d.

Заметим, что (1.3)	эквивалентно уравпепню
j	dX\ = о 'а (X,) dBa ( t) +				oj (Xt) dt,	(1.3)'
	=	i =		.........d,
где			1 , 2

			r
Oo ( x ) = o’ (,r) + Y			2	( £ h	i 1 ' ) ) (* )•	(1.4)
Из результатов главы IV следует, что существует единственное
сильное решение уравнения		(1.3),		т. е. существует		отображение

*) Здесь р пробегает все вероятности па (.1/, 3S(M)). W j, Pw , 3St (W J)

имеют то же значение, что и в главе IV: WJ — пространство непрерывных тра

екторий в Rr, начинающихся в точке 0 ,/* " — виперовская мера на WJ, a 3$t (W j) —a-ноле, порожденное борелевекпми цилиндрическими множества

ми до момента времени t. Аналогично определяется ЛД\У(А/)).

**) Здесь мы выбираем относительно компактную координатную окрест ность. В дальнейшем такое замечание будет иногда необходимым, но мы обыч но его по будем оговаривать.

238	ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ ПА МНОГООБРАЗИЯХ
F:	Rd xWo~>- Wdco свойствами из теоремы 1.1						такое,	что любое
решение X уравнения			(1.3)	задается	в	виде	X = F(x, В), где
х =	(ж1, х2, ...,	xd . Само F(x,		w) = (X(f,		х, w))	является решени
ем	уравнения	(1.3)	относительно		канонической			реализации

w = ( w(t)) броуновского		движения на	(Wj, JPW) с потоком
определяемым	равенством	W(wj),		t ^ O . Возьмем	х =
= (я1, х2, ..., xd	^ U и положим Tu(w)		=	inf {/ : X(l, х, w)	U).
Определим Xu — (Xv(t, x,		w)), полагая

X v (f, x, w) == X (t Д xu (io), x, w).

Для каждого x e M и координатной окрестности U, содержащей x, мы построим локальное решение Хи вышеописанным образом. Лег

ко видеть, что	если	U и	D — две	координатные	окрестности и
х е= U ПС, то Хи (t, х, ш =			Х~ (t, х, w) для всех t ^		хи (н?) Д ху (w).
Действительно,	если в О Ла			относительно (системы)
локальных координат х = (х‘, х2, ...,				х'1 , то имеем
		Оа (х(х)) = О		дх1	(1.5)
				а ( х ) дхк'
и уравнение для Х^, (f, х, w) имеет вид
	dX\=	о'а (X,) • dwa(t) + о* (Xt) dt.			( 1.6)

С другой стороны, из правила дифференцирования сложной функ ции (теорема 111-1.3) следует, что процесс Хи относительно ло

кальных координат х в U, т. е. x{Xv (t, х, w)) = (х)), удовлетворяет уравнению

dx\ =

= ^(X(t))°dXh(t)==^h(X(t))aha(X{t))>dwa(L + f l (X{t))ol(X(t))dt =

Ox		Ox		ox
			= cia (xt) ° dwa(t) +		a'0 (xt)dt.
Таким	образом, x t — x(Xu(t,		x, w)) удовлетворяет тому		же урав
нению	(1.6),	что и Х\| = X~(f, х, w), и в		силу единственности		ре
шений мы заключаем, что			Х Г; (I, х, w) =	(t, х, w) для всех		t
<Tt7 (w) Д xv		(w).

Для получения глобального решения склеим друг с другом ло кальные решения. Сперва мы выберем систему координатных ок рестностей {САД, образующую локально конечное покрытие множе

ства М такое, что каждое	Ua строго	содержится		в другой коорди
натной окрестности, т. е. существует			координатная		окрестность
Uа такая, что UaczU'a.	Пусть г е	!	и ЕЛ, U2,	...,	Е/, — совокуп-

§ I. УРАВНЕНИЯ ИА МНОГООБРАЗИЯХ

23У

Кость координатных окрестностей системы, содержащих х. Тогда

Процесс X (t, х, w) = Xv . (t, x, w)

однозначно

определяется

для

* е [0,

т*(и?)],

гдетх (ш) = max {ту. (ш)\. Определим

Xi(w)

xx(w)

X(t) = X(t) для

t е [0,

Ti].

По

индукции,

если

ти(«Д

X(t)

**■'(X(t,

х,

w))

определенны

для

t е [0 ,

т„(и>)],

то на

множестве

{//>: т„(и;)<оо}

мЫ определяем*)

хп = X (т„),

wn=

QXnw,

хпи

х» + хХп(wn

и X(t)

= X ( t —тв,

хп,

w„) для

t е

[т„, T„+I]. Таким образом,

Х(£)

определяется

для

t е

[0 , т*.),

где

lim тп.Посредством

таких

Же рассуждений,

что

и в доказательстве леммы

1V-2.1,

нетрудно

показать,

что lim X (t) = А на

множестве

{w ■т„ <

Положим

^t ^оо

на множестве

{w '■

< <»}. Тем самым мы

X(t) = Д для t S*

определили X(t)

(X(t, х,

w))

как отображение

M X

Wo э

(х, w ) ^ X

= (X (г, х, w)) е= W (Л/).

Легко

видеть,

что

X(t)

является

решением

уравнения

(1.1). Дей

ствительно, очевидно,

что для всякого / е /Д( Л/ )

t/\h

A Ti)) — /(*)

(X (s)) ol(X (.?))

(.9) +

•;

ад:*

*A*i

+ J

(8)) О* (X (.9))

[ (4*/) (X (.9)) OdlO*(.9) + J (A0f)(X(s))ds.

Аналогично, на

множестве

iw ■т„(w) <

<»}

*ATn)ATxn(wn

/ (X (f Д Tn+1)) — / (X (f Д Tn)) =

f (AJ)(X (*,*„, w„))o

((—/A t?()Atx^(u'n)

cdtp“ (s)+

(A0f)(X(s; xn, wn )ds <=

		^ATn+ 1	<AT/i+ 1
	=	j' ( A K/ ) ( (.9))X 0 ^ ( 9 ) +	I (Ио/)(Х (S)) d*.
		Л„	'ЛТП
*) 0t: Wg -> W j	определяется, как и в главе IV:		(0fw>) (s) = ic(f + s) —

— “ДО-

240 ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ

Суммируя, получаем
/ (х (0 ) — / И =	/ (X (t Д Too)) — f(x) =
J	(Aal)(X(s))'>dwa(s)+	J	(4,/)(X ())d
0	<	0	<
	j (Ла/) (X (s)) оdwa(*) + J (^o/) (X («)) d«.
	о		0

Так же легко доказывается единственность решений.

З а м е ч а н и е 1.1. Можно построить решение уравнения (1.1) более непосредственно с привлечением теоремы вложения Уитни [166]. Для этого М погружается в R2 c i + 1 как замкнутое подмногооб разие R2ci+1, а векторные ноля Аа(х) являются сужениями на М гладких векторных полей Ла(х) на R2d+1. Стохастическое диффе ренциальное уравнение, соответствующее Ла(х), определяется гло бально в евклидовой координатной системе и решение строится так же, как н в главе IV. Если начальное значение принадлежит М, то

нетрудно видеть,	что и решение не покидает Л/. Таким образом,
это решение на	самом деле определяет решение уравнения (1 .1 ).

Типичным примером применения метода вложения является по строение броуновского движения на сфере, данное в § 2 главы III.

Т е о р е м а		1.2.	Пусть Рх — вероятностный закон на W (М)			ре
шения Х =	(X(t) )		уравнения (1.1) с начальным значением Х(0)			=
= х. Тогда	{PJXе м— диффузия, порожденная дифференциальным
оператором второго порядка
			T
	Af =	~	2 4* (Aaj) + A0f,	f ( = F 0 (M).	(1.7)
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пользуясь				единственностью	решения,

можно показать, что (PJ обладает строго марковским свойством. Фактически можно доказать следующий более сильный результат:

для любого (^"?)-момента остановки o(w)		имеем X(t + o{w), х, w) =
=X(t, X(o(w), х,	w), 0„н>) для всех t >	О н	почти всех w таких,
что а(ш) < о о .	F0(M)
Так как для / е
df (X ()) = (Aaf) (X (t)) dwa(t) + (A0f) (X (0) dt =
= (Aaf)(X(t))dwa(t) + (A0f)(X(t))dt + ±d(AJ)(X{t))-dwa(t)
и	= A a(A,f)(X(t)) • dwa(t) +		(A0A,1)(X(t))dt,
d(A,f)(X(t))

то имеем

d (Aaf) (X (t))-dwa(t) = 2 Aa(Aaf) (X (t)) dt.

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных