Материал: Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

246

ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ ПА м н о г о о б р а з и я х

Решение

Х „(()

определяется единственным

образом. Действитель­

но, Хп(0)~ х, и если Хп(1) определен уже

для

f^ [0 ,

(к — 1)/2п],

то

х „ (0

“

Х п( ( й -

1)/2")

+ oa(Xn( ( k - l ) / 2 n))(w*(t) -

-

((Л - 1 )/2 "))+

Ь(Хп( ( к -

1 )/2 ")) (t — (к — 1)/2")

для

( е [ ( / с -

1)/2",

/с/2"]. Отсюда

также ясно, что Xn(t)

выражает­

ся в виде

Xn(t) = F(x,

U7(1/2"), U7(2/2"),

..., ii7([2"*]/2"), w(t))

для

некоторой

С” -фулкции F:RdX (Rr)^4

<-*■Rd. В

частности,

х>-*Хп(г, х, н-)принадлежит

классу С”

для

всякого

( > 0

и ®G WJ.

Пусть

Z>“ =

(j|a|

для a = ( a (,

ех2, ...,

ссД,

l a l = a i + a2 +

—-----------—

л*®1

••• ^drf

+ . . . + a,i. Положим

Ya,(n)(t, X, w) = Dax i (t, X, w).

П р е д л о ж е н и е

2.1.

Для

всякого x e

R1,

1 ^

i ^ d,

и

всяко­

го а

существует единственный процесс Y ‘a(l) =

(Ya(t, x, w))

такой,

что

E { sup

1 Fa,(n)(0 —

при

H - > OO

(2.13)

для всех T >

0 и p >

i. Более того, сходимость в

(2.13)

равномерна

по х на каждом компактном множестве в R1*.

случай

с

\а\ — 1.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Сначала

рассмотрим

Если

положить

У],(„)(<,

х,

w) =

X!, (t, х, w),

то

У („)(£) =

= (У ],(,,) (t, а:, U7)) определяется уравнением

(в матричных

обозначе­

ниях)

С

Y(n)(t) =

I +

1ога(Х„(фп(.?))) У(п) (ф„ (s)) dll/1(s) +

о

t

+ S

(x n (ф« (^))) У'оо (ф„ («))

(2-14)

где Оа (x)j =

~]Оа (х), Ъ' (х)) =

Ьг (х)

и 1 =

(б)).

Применив

лемму

2.1 к системе комбинированных друг с другом уравнений

(2.12) и

(2.14),

получаем, что

Я /

sup

|Х1г( * ) - Х ( 0 П

+

El

sup

||Г(11)(0 -У (< )| Р1-^0

при

U s L O .T ]

/

\ (G [0 ,T ]

j

п - * - о о

(2.15)

для

всех

Т > 0

и

p > i ,

где

X(t) — решение

уравнения

(2.1),

248

ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ

для всякого Т > 0 и р 2* 1, где Y}vj2(t)

определяется уравнением

(

г U

(0 - I а; (X (*))£Г* ,;2(s) dw* (S +

О

I

+ J Ь '(Х (5) й

ф 2(5) * + a|llia(0. (2.21)

янр I ZAp (х) |.

|а| <т х7: Q

Для каждого Q и т

можно найти Q'

Q, тп' > m, р Зг 1 и посто­

янную X > 0 такие, что для всех гладких функции ф па R ' вы­

полняется следующее неравенство:

1|ф&,т<*1ф|£:т,.

(2.22)

Э т о

является очевидным следствием хорошо

известных неравенств

Соболева [151].

Из (2.13)

очевидным образом следует, что

Е { sup |yi,<„)((, X, w) — Y axm)(l,x,l

И’) К -*-О

\о«г<г

I

прп п, m

°° для всех Т > 0 и р > 1 равномерно но х на каждом

компактном множестве. Следовательно,

Е (

sup

( |Гя,(п) (t, х, w) — Fa,(m) (*, X, W

|P d .r) <

[o<t<TQ

J

<

|dx E ( sup 1Ya,(n) (С X, IV — Y«,(m) (t, I, V?) |P) -> 0 При П,

OO

Й

lo<f«r

I

для всякой

ограниченной области Q. Отсюда следует, что

Е 1 sup

1 Х„ (£, -,w) — Xm(t, •, w) |i^,A ->• 0

lo<i«r

j

§ 2. ПОТОК ДИФФЕОМОРФИЗМОВ

249

через Х„, такую, что для / ’"'-почти всех w

sup

ii Хп(г, •, IV — х т(t, •, w) |!р,г -> О

О«КТ

при ге, гег

°о для всех ограниченных

областей Q, р >

1, i= l,

2, ...

П Г > 0. Тогда из неравенства (2.22)

следует, что для почти всех w

sup

1 Xn(t, -,w) — X m(t, -,w) |®л-> 0

(2.23)

о< к г

при

ге, гег

для

всех ограниченных областей О,

I — 1, 2,

.. . и

Т >

0. Следовательно, для почти всех

w

?1 —*30

существует равномерно no

(t,

x) на каждом компактиом множест­

ве в

[0, °°)

X R d; более того,

(t, х) -* X(t, х, w) е

R1* непрерывно и

для

каждого

t е [0,

°о)х >-* Х(£, х, w) является С” -отображеннем из

R rf в Rd. Согласно (2.15) мы имеем также, что

Pw [u?; X (f, х, ж) =

X (t, х, w) для

всех

t ^ 0] =

1

для

всех х,

т. е. (X(t, х,

w)) — модификация семейства

решений

(X(t, х, w)) стохастического дифференциального

уравнения (2.1).

Таким образом, мы получили следующий результат.

П р е д л о ж е н и е

2.2. Пусть X — (X(t, х, w)) — решение урав­

нения (2.1). Тогда можно

выбрать

модификацию

решения

X(t,

х, w), обозначаемую

опять через X(t,

х, w),

такую,

что отоб­

Далее

мы покажем, что

отображение х -»■ X (f, л-, го) является

диффеоморфизмом пространства R‘‘. Для этою удобнее переписать

уравнение

с использованием

дифференциала

Фиска — Стратопови-

ча. Тогда вместо уравнения (2.1) рассматриваем

следующее

урав­

нение:

\dX) = ola(X,) о dw« (t) +

bl (X,) dt,

l X 0 = X, i = 1, 2, . . . , d.

'

Заметим, что (2.24)_можпо преобразовать

в уравнение вида

(2.1)

с заменой Ъ’ {х) па Ь‘(х), где

Г

ъ1и

= Ь1{X) +

4- 2 ( А

и

)

(*)■

(2.25)

а=^1

/

Ясно, что

oi (■*•')

и Б’ (я) удовлетворяют

тем

же предположениям,