Материал: Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

§ 2. НОТОК ДИФФЕОМОРФИЗМОВ

251

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть

1, 2,

. . . . г,

где

и = (к + 1)Т/2п и

С =

кТ/2я,

если

£772" < * < ( / «

+ 1)Т/2п,

к =

1, 2,

. . 2 "

— 1, п =

1, 2,

. . . Ясно, что

{Т — t, w) — и;“ (Г) =

0 ^ t ^ 7 \

Рассмотрим следующие

две

системы

обык

новенных дифференциальных уравнений для каждого

п =

2, ...:

(*) =

с г №

(0) d- §

(*, «О +

Ь1(Х„ (/)),

1 =

...,

а=1

Х„ (0) =

(t) =

ei (X» (0) d- § ( t ’ ” ) -

bi (* » (*)),

« =

1. 2,

•••Л

Xn (0) =

a—L

Решения

будут

обозначаться через Xn(t,

х, w)

и Xn(t, х,

w) соот

ветственно. Из единственности решений непосредственно видно, что

Хп(Т — t,			х, w)	= X n(t, Хп{Т,		х, w),	w),	и =	1,	2, . ..
Применив следствие теоремы VI-7.3, переходим к пределу и полу
чаем (2.29).
Суммируя, сформулируем следующий результат.
Т е о р е м а			2.3*). Пусть X(t, х, w) — решение уравнения (2.24)'
(или (2.1))		на винеровском пространстве					(Wn, Pw).			Тогда мож
но выбрать модификацию решения						X(t, х,	ш)	такую,		что отобра
жение	х	X (/ , х, w)		будет диффеоморфизмом Rd					п. н. для каж
дого t е	[0,	°о). Матрица Якоби ( Y)(t, х, w)) =						\|-^jX! (i,		х, ю)^опре-
деляется уравнением				(2.26) (соответственно (2.16)).
Таким образом, мы имеем одпонараметрическое семейство диф
феоморфизмов			X, (ю): х -* X (t, х, w)			для	t s	[0, оо).		Ясно,	что
Х0(н ;)— тождественная функция					и	X3(Qtw) ° X, (w) — Xt+3(w)					для
почти всех w.			при корректуре.)		Фактически			справедливо			более
(Добавлено
сильное утверждение: отображение						x»-*X(t,x,w)			является п. п.

диффеоморфизмом IV1для всех t > 0. См. Дж. Висмут (С. R., t. 290, 1980) и X. Кунита (Труды симпозиума по стохастическим инте гралам, Дюрхем, 1980).

*) См. Фунаки [173], Малливэн [113] и Элворти [181].

252 ГЛ. v - ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ

Теперь мы возвращаемся к случаю общего многообразия М. Решение (X (i , х, w)) уравнения (1.1) можно рассматривать как

семейство

отображений

Xt: х >-* X (t, х, w)

из

М = М 11(A).

Т е о р е м а

2A. X(t,

х, w)

обладает модификацией*),

которая

опять обозначается через X(t, х, w), такой,

что

отображение

X,(w):

x-+X(t, х, w)

принадлежит классу С”

том

смысле,

что

x*+f(X(t,

х,

w))

принадлежит

классу

С”

для

всякого

f ^ F 0{M)

и всех

фиксированных

f e [ 0 ,

оо)

п. н. Кроме

того, для

каждого х<=М и i s [0,

оо) дифференциал

X(t,x,w)#

отображе

ния

х у* X (t, х, w):

X (t, х, w)%: Tx (Л/)-> TX(t'XiV

(М)

является изоморфизмом

п. н. на множестве ( I T : X(t, х,

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

х 0<^М

и i s

[0,

оо)

фиксировано.

Тогда

для

почти

всех

w таких, что X(t, х0, w)^M, существуют

целое

п >

0 и

последовательность

координатных

окрестностей Uu

U2, ...,

Un такие, что

2, ...,

(X(s,

ха, w);

s s [(к — l)t/n,

fci/re]) с: £/„,

k =

п.

В силу теоремы 2.3 можем легко заключить, что если U — коорди натная окрестность и (X(s, у„, w); s s [0 , i„]} cr £7, то y>-+X(t0, у, w) является диффеоморфизмом в окрестности у„.

Утверждения теоремы следуют теперь из того, что

A (i, х0, w) = [Xf/n(9(n-i)i/nW) ° •••° Xtjn(0(/пю )°Х (>/„]{xt) .

Теперь введем расслоение линейных реперов**)			GL(M) на М.
Под линейным репером е = [elt	ег, ...,	ed] в точке	х мы подразу
меваем линейно независимую	систему	векторов	ел^ Т х(М), i =

= 1, 2, . . d, т. е. базис касательного пространства ТХ(М). Тогда GL(M) определяется как пабор всех реперов во всех точках х ^ М :

GL(M) — {г — (х, е), х s М, и е — репер в точке х).

На GL(M) можно задать структуру С“ -многообразия следующим образом. Пусть {£/сх,ф„) — коордипатная система многообразия М. Положим

Da= (г = (х, е) е			GL (М), х s	Ua, н е — репер в точке х)
и определим отображение ф» из Dп на								.	.2
						фа(Ur,) х GL (d, R) с : R			х R
равенством
	фх(0 =	(ф аИ = U1, х\		. . . , xd , е), i, ) = 1 , 2 ,				. . . , d),
где е} = е) (		J .	Очевидно,	(Da,	фа)		определяет	координатную
*)	Под модификацией процесса X(l,				х,	w)	мы подразумеваем процесс
А'((, х,	а) такой, что Pw {X(t, х, w) =			X (г, х,		w) для всех г 5= 0} = 1 для всех х.
**)	См. [7] и	[136].

§ 2. ПОТОК ДИФФЕОМОРФИЗМОВ				253
систему GL(M) и, таким образом, GL(M)			имеет структуру (^-мно
гообразия размерности d + d2.		Элемент а	группы	GL(d, R) дей
ствует на GL(M) по формуле
	Та(х,	е) = (х, еа),
где еа = [(еа) ,, (еа) г,	(ea)J — репер		в точке	х, определенный
равенством
(ea)j =	а]еь	/ = 1, 2,	d.	(2.31)
Таким образом, GL(M) — главное расслоение со структурной груп
пой GL(d, R). Проекция	я: GL(M)-+ М определяется, как обычно,
равенством я (ж, е) = х.

Каждое векторное поле L e J (М) индуцирует векторпос поле Е

на GL(M) следующим	образом. Пусть / е F (GL(M)). Тогда	Ef за
дается равенством
(£/) (0 =	/ ((exp tL) х, (exp <£)* е) \|.^0,	(2.32)

где г = (ж, е) и (exp *£)* е= [(exp tL)* el5 (exp Щ* е2, . . . , (exp tL)* ed\. Здесь, разумеется, exp tL — локальный диффеоморфизм х>~* x(t, х), определенный дифференциальным уравнением

^ ( t , x ) = a'(x(t,x))

^L =

a>(x)-^),

х (0, х) = х,

а (exp tL) ^ — ого

дифференциал,

являющийся

изоморфизмом

ТХ(М)-+ Т

tL x(M)

для

каждого

х<=М.

Пусть

Л0,

А и ...

..., Аг^Х(М) и X,=(X(t,

х, w)) — построенный выше поток диф

феоморфизмов на М. Тогда Ло, Яи ..., Ят^ X(GL(M))

определяют

поток диффеоморфизмов r, = (r(f, г,

w)) на GL(M),

и легко

видеть

из

определения, что

r(f,

г, w)^(X(t, х, w), e{t, г, w)),

где*) г = (х,

е)

e(t, г, w) = X (t, х, w)*e.

Выражения в ло

кальных координатах следующие: X(t, х,

и>

определяется

уравне

нием (2.24), где

Аа(х) =

оЪ(х)^~,

a = 1, 2,

. d,

А0(х) =

V(х) j - ,

дх

ох

е] (t, х, w) — Yk(t, х, w) ej,

(2.33)

где

Yh(t,x,w)

определяется уравнением

(2.26)'.

*) X (t, x , u?)« — дифференциал отображения		аг*-> X (t, х, w) и, конечно,
X (t, х, w)lte ^ [X (/, х, w)^	X (t, ш)* «2, . . . .	X (/, x, и?), ed].

254

ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ

Пусть

L e J (М).

Мы

определим

фупкцию

/Ь (г) е

F (GL (М))

для каждого г = 1, 2, .

d равенством

fL(r) = (e-% a h(x)

(2.34)

в локальных

координатах

(х\ е =

(е}))

многообразия GL(М), где

Ь = а'(х) — :

и е~1— обратная к

матрица. Легко убедиться, что

дхг

(2.34) пе зависит от выбора локальных коордипат и таким образом

определяет глобальную функцию на GL(M). Легко также доказать,

что для L,,

(М)

( А

/ ь2)

(г) =

! \ L v 4 ]

(г),

i = 1,

2, . . . , d .

(2.35)

Здесь 2Г,

определяется

посредством

(2.32)

для

L,, a

[L,,

/>2] =

= Ь,Ь2— L2Lt — обычная скобка Пуассона. Следовательно,

)

—

(

J /[Аа,Г.] (Г (*• Г>w)) ° du;“(S) +

5 f[A0,L] (r (*•r >W)) ds

(2-36)

для всякого t e l (M) и £ = 1, 2, ..., d.

§ 3. Уравнение теплопроводности на многообразии

Пусть М — С” -многообразио (дифференцируемое многообразие класса С“ ) и А0, At, ..., Ar<=S{M). Пусть Х ,= (Х (£ , х, w)) — поток диффеоморфизмов на М, построенный в предыдущем па

раграфе. Тогда	,т f(X(t, х, w)) принадлежит	классу С“ для
всякого f ^ F 0(M).	На протяжении всего этого параграфа мы будем
предполагать, что	векторные поля Ak, к = О, 1, ...,	г, имеют следу

ющее свойство:

Е\ sup sup\|Da{/(X (£ , х, w))}] 1< оо
1(Е[0,Г]Х=Н	j
для всех f ^ F 0(M), всякой координатной окрестности		U такой, что
U компактно, всякого Т > 0	и всякого мультиипдекса ос.
Это условие удовлетворяется, если М = Rd и если коэффициенты
(Ъ‘(х)) и (<4(z)) в /10(.г) =	Ьг(х)-£-. и Аа(х) = Оа(х)	a —i, ...,г,

удовлетворяют условию предыдущего параграфа. Опо также удов летворяется, если М погружено в Rm (см, замечание 1.1) так, что Ak, к = 0, 1, ..., г, являются сужениями векторных полей Ак па Rm, которые сами по себе удовлетворяют (этому) условию. В частности, если М компактно, то вышеприведенное условие всегда удовлет воряется.

		\| 3. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ							2о5
Определим дифференциальный оператор второго порядка А,
действующий на F(M), равенством
•			Г
	АЦх) = 4		2	4(А/)(*) +			(А/) (*)•		(3.1)
Мы покажем, что функция u(t, х ), определенная равенством.
	u(t,	x) = E[f(X(t,			х, w))],		f = Ft(M),		(3.2)
является гладким		решением		следующего			уравнения		теплопровод
ности:
		l ^ ( t , x )			= (Av)(t,x),
			Нш	v(f, у) =		f (х).
		V /J 0,S/- >JC
Сперва мы покажем, что функция u(t,						х), определенная равенством
(3.2),	принадлежит классу*)				С“ ([0,	°°)ХМ).		Ясно,	что u(t, х)
как	функция от	х ^ М	принадлежит				классу С", поскольку
х>—■f (X (t, х, w))		принадлежит			классу	С" и		дифференцирование

под зпаком математического ожидания законно в силу вышеприве

денного условия. Согласно						(1.2) мы имеем
								t
	/ (X (t, х, w)) — / (х) =						мартингал + J (Af) (X (s, х, w)) ds
								о
для	каждого			х&М,	и	поэтому
							t
			и{t, х) =		/ (х) +		J Е \| (Af) (X (.<?, х, w))] ds.			(3 .4)
							О
Так как Anf е F0(M), и = 1 ,							2, ... , то имеем
и (t, x) =		f(x) +		t (Af) (х) +
	t	h
+	j d t ^ E		[(A2f) (X (t2, x, u>))l dt2= /(*) +						# (Af) (x) +	(A4) (*) +
	0	0
		(	*1	*2
	+	j dtj j		dt2j E [(Asf) (X (f3, x, w))] dt3 = / (.г) +						t (Af) (x) +
		0	0	0		(	<1	tn~l
						(	<1	tn~l
	+ 4	(A2f) (X) + . . .			+	jdt! j d t , . . .		j	E [( Af) (X („, *, w))] dtn.
						0	0	0

Отсюда ясно, что u(t, a:)eC°°([0, oo)XM).

*) C“ ([0, 00) X Щ есть класс С°°-функдий на [0, оо) X Ч.

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных