|
|
|
|
§ 2. ПОТОК ДИФФЕОМОРФИЗМОВ |
|
|
|
241 |
|||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
dj(X(t)) = (Aa{)(X(t))dwa(t) + (Aj)(X(l))dt, |
|
|||||||||||
где оператор |
(Л/) |
определяется равенством (1.7). Тем самым дока |
|||||||||||
зано, что X = |
(X(t)) |
является Л-диффузией. |
|
|
|
как |
и в гла |
||||||
З а м е ч а н и е |
1.2. |
Такими же |
рассуждениями, |
||||||||||
ве IV, из единственности решепня уравнения |
(1.1) |
можно вывести |
|||||||||||
единственность Л-диффузии {Рх)Хем на W (М). |
|
|
|
|
|||||||||
§ 2. Поток диффеоморфизмов |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Для заданных векторных нолей Аае £(М), а = |
0, 1, ..., г, в § 1 |
||||||||||||
мы |
строили |
отображение |
X = |
(X (t, х, «;)): М X WJ э |
(х, w) <-*■ |
||||||||
~ Х ( ■, х, w)<^ W (М) . |
Его можно также рассматривать как отобра |
||||||||||||
жение [0, оо) X М X W j э (t, x,w)>-*X (t, х, w) e |
M. Основная цель |
||||||||||||
настоящего |
параграфа — показать, что отображение |
x^M>-+X(t, |
|||||||||||
х, w) е М является локальным диффеоморфизмом |
многообразия М |
||||||||||||
для |
каждого |
фиксированного |
15s 0 |
и для |
почти |
|
всех |
w таких, |
|||||
что X(t, х, w) е М. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Сначала |
мы рассмотрим случай |
М = R 1. |
Пусть о(х) = |
(o/t(a:))s |
|||||||||
e R d (g)Rd |
и |
b (х) |
= |
( b ' ( x ) ) е R ''— заданные |
гладкие |
функции |
|||||||
(т. е. С”°-функц1ш) |
на |
R', На(дг)И + |
|Ь(я) I ^ |
К(\ + |
Ы ) для неко |
||||||||
торой положительной константы К и пусть все производные функ
ций оЪ и Ь‘ |
ограничены. |
Пусть |
X = |
(X(t, х, w)) |
— единственное |
|||||||||||
решение уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
{ dX\ = |
ога (Xt) dwa(t) + |
v (Xt) dt, |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
\ X0 = x, |
i = |
1,2.........d, |
|
|
|
|
|
|
||||
определенное |
на |
|
пространстве (W j, Pw ) |
с потоком |
(;?*<). |
Как |
мы |
|||||||||
видели |
в |
главе |
IV, |
существует |
единственное |
решение |
||||||||||
X = ( X ( t , |
х, |
w)) |
и |
EUX(t) I2} < оо |
для |
всех*) |
t > 0. |
Ниже |
этот |
|||||||
результат |
будет |
усилен, |
а |
именно |
будет |
установлено, |
что |
|||||||||
E{\X(t)\v) < |
оо для всех р > 1. В частности, |
е = |
оо п. н. |
|
|
|||||||||||
Прежде всего мы докажем лемму об аппроксимации решений |
||||||||||||||||
ломаными траекториями |
(см. [118]). Пусть |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(Pn{s)— k/2'\ |
если |
s е |
[к/2п, |
(к + 1 ) / 2 "), |
к = О, 1 |
, . . . |
(2 .2 ) |
|||||||||
Л е м м а |
2.1. |
Пусть |
А (я) = (Л„ (х)) е |
Rm ® Rr |
и |
р(:г) = |
||||||||||
= (^‘ (а:))е R - заданы и удовлетворяют следующим условиям: |
|
|||||||||||||||
(I) существует положительная константа К такая, что |
|
|
||||||||||||||
| А (х) I] + |
\Р (.г) \ |
К (1 + |
|х |) |
для всякого |
х е |
Rm; |
|
|||||||||
*) Е обозначает математическое ожидание па пространстве (\VJ, J,w ).
16 С. Ватаиаба, Н. Икэда
242 |
ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ |
|
|
|
|||||||||||||||||||
(П) |
для всякого |
N > О |
существует |
|
положительная |
констан |
|||||||||||||||||
та KN такая, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
\\А{х) — Л(у)\\ + \$(х) — $ {y)\^KN\x — у\ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
для всяких х, у е R™ таких, что \х\ ^ N и \у\ |
|
N. |
|
|
1{т-значные |
||||||||||||||||||
Пусть a(t) |
и an(t), п = 1 |
, 2 |
, . . — непрерывные |
||||||||||||||||||||
ОП) -согласованные *) |
процессы |
такие, |
|
что для |
некоторого |
р |
2 |
||||||||||||||||
sup Е / sup |
|a„(f)|P+1) < |
оо |
|
и |
Е / sup |
|
\ап (t) — a (t) \р) |
0 |
(2.3) |
||||||||||||||
п |
Хо^-КТ |
|
|
I |
|
|
|
\о<а<т |
—, |
|
, . . |
|
|
|
I |
|
|
|
|||||
при**) |
п - +° о. |
Пусть |
Y(t) |
и |
Yn(t), п |
|
|
— |
|
|
|
||||||||||||
|
1^ |
4 |
|
|
, у |
|
непрерывные |
||||||||||||||||
\\"-значныеп |
|
согласованные |
процессы такие, чтоо***) |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
У |
Д |
0 |
= |
t a |
{ |
( |
0 |
+ |
|
|
|
Jt |
|
|
^ |
|
|
( y |
|
( |
(2s.4)) ) d , r |
|
и |
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Yl (t) = |
ah (t) + ] Ah (Yn (q>„ (s))) dwa(,v) + |
|
j |
рг (У„ (q>„(s)))<fc |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
о |
|
для i — T, 2, |
|
о |
|
|
n = |
1, |
2, |
|
(2.4) |
|||||||||
|
|
|
|
|
. . . , m, |
|
|
||||||||||||||||
Тогда для всякого T > О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Е / |
sup |
|Yn(t) — У(^))р\->0 |
при |
|
п ->оо. |
|
|
(2.5) |
||||||||||||||
|
|
\о<кт |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть |
Т7 > и0 |
|
произвольно,.: |
но |
фиксиро |
|||||||||||||||||
^ |
|
|
|
М |
ТГТЛ |
ИП |
|
*). *А\ |
/'ЮГГ\/Ч»Т |
тг л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
нано. Сначала отметим, что из |
|
(2.3) |
следует, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
Е[ sup |
|
|a(()|pf,l < оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 .е; |
||||||||
и |
|
|
|
|
(о<t<T |
_____ |
|
), |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Е { |
sup |a„(*) — ап(ф„(/))1Р]->-0 |
при |
|
п-*- оо. |
|
|
(2.7) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
[О-СКТ |
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Действительно, (2.G) легко получается по лемме Фату, а (2.7) сле дует из того, что в соотношении ****)
< К 1 |
Е |
sup |
| “ |
( 0 — а (фЛ0 |
) Г } + |
sup \an(t) — a |
|
|
о <и< т |
|
|
|
0 < t < T |
*) Как |
и |
в § |
1, |
MW рассматриваем |
винеровскос пространство |
|
(\\r0, *(w;), i>w) игг° = *fw(w;), |
о. |
|
||||
**) Е обозначает математическое ожидание иа винеровском пространст
ве. Т > 0 — любая фиксированная постоянная.
***) w(t) = (wa(t)) — каноническая реализация r-мерпого броуновского движения на пространстве (W((, Р" ') .
****) В дальнейшем Ки Кг, ... — положительные константы, не зависящие от п (которые могут зависеть от Т).
|
|
§ 2. ПОТОК ДИФФЕОМОРФИЗМОВ |
243 |
|||||||
правая сторона стремится к нулю при п |
|
в силу теоремы о ма |
||||||||
жорируемой сходимости |
и условия |
(2.3). |
|
|
|
|||||
В дальнейшем, для |
простоты |
обозначений, мы предполагаем, |
||||||||
что т = |
1 и г = 1. Мы покажем, что |
|
|
|
|
|||||
|
|
supЕ { sup \Fn(i)lP+4 < |
о о . |
(2.8) |
||||||
|
|
n |
|
|
|
J |
|
|
|
|
Из (2.4)' имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Я (sup |
|ГЯ Ю Г ” ) < * , [ £ ( sup |
К |
0 0 Г |
1] |
+ |
|
||||
|
|
J |
L |
p+i |
|
J |
|
|||
+ Е ( sup |
j A(Yn(фn{u)))dw(u) |
+ E |sup |
^(r,,(9„(u)))duj |
JJ |
||||||
|
|
|||||||||
lo«s<f |
|
|
|
|
0 <s-C( |
|
||||
для £ e[0, |
T\ Согласно теореме |
III-3.1 и неравенству Гёльдера |
||||||||
|
|
|
p+i |
< K SE |
l |
( P + D /- 2 |
||||
sup |
j A(Yn(ф„ (u)))dw(u) |
§A(Yn(<Pn(sWds |
< |
|||||||
О < s < t |
|
|
|
|
|
К5 J[l |
|
E (|F „ (ф„(s))|p+])] ds, |
||
< K, JI E [\A(Yn(фп(.9 ))) Г и ] ds < |
1 + |
|||||||||
EI sup |
s |
|
v \0 |
|
|
|
|
|
|
|
J (ЧЗМф* {u)))du |
;л :в| я М Р (г я (фп(*)))|,,+1) * < |
|
||||||||
lo<s<i |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
< X 7 j [ l + |
ЬМ\У„(Ф„(.9))1РКП * . |
|||||
Следовательно, |
|
|
|
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
J E [\ Yn(Ф„ (.9)) |P+I) dsj. |
|
||||||
E | м р I Yn (s) | p + 1 j < K8^1 + |
(2.9) |
|||||||||
Тогда, очевидно,
E {| Yn(Фп(0)Г+М < K8(1 + j E Ц Yn(Фп00) Г +1} * ] ,
и отсюда можно вывести (используя метод усечения, подобно то му, как и в доказательстве теоремы Ш-3.1 или теоремы IV-2.4), что
Е 1|У п(фп(*))|Р+11< Л (8 ехр{K8t}.
Подставляя ото неравенство в (2.9), получаем (2.8). Аналогично можно доказать, что
Е sup |Y |
о о . |
( 2. 10) |
о <t<T
10*
244 |
ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ |
|
||||
Далее полагаем |
|
|
|
|
||
и |
|
о„ |
= inf{*; \Yn(t)\^N} |
|
||
|
a |
' |
= |
i n f { |
f ; | |
|
|
|
|||||
для всякого N > 0. Тогда для t е |
[0, Т\ |
|
|
|||
Е | |
sup |
|Yn(s) — Y (s) |PJ < |
K6\E ( sup |
|a„ (s) — a (s) |P1 + |
||
| о с^ (Д ад Л а Л г |
|
J |
L 10<S<( |
|
J |
|
+ |
E { |
sup |
{A(Y„ (<p„ (ii))) — A(Y (u))}dw(u) |
+ |
||
|
|
Kan |
|
|
|
|
|
|
+ E j |
sup |
.[{Р(г„(ф„(и)))-р(УН}<ги |
||
|
|
|
Д а „ Д(ТЛ |
|
|
|
и, оценивая подобно вышеприведенному, находим, что здесь правая
часть может быть оценена следующим |
образом *): |
||||
|
|
|
«Л<*ПЛa'v |
|
|
|
|
|
I |
И |
(Г„(фп (» )) ) - |
|
|
|
0 |
|
|
^4 (У (s)) |р ds |
|
thOn t\oy |
|
|
| |
+ £■ |
I |
|Р(1"п(фп(*)))-Р(У(*))Г* |
|||
|
|
о |
|
|
) |
|
|
(«ДОчЛ^ |
|
| |
|
< о (1) + |
L *Я |
J |
|У„ (ф„ (*)) - |
Y (*) Г d* < |
|
< о(1) + LjV| £ (|У„ (фп (s А а;7 А ал)) - У (s А О» Л or") h * .
О
Полагая для простоты $' = s /\ а* А стЛ> получаем |
|
|
|||
/^||Уп(ф« (0 |
) - ^ |
( о и < |
|
|
|
и |
< |
К п (Е (| У(! (ф„ (s')) - Yn (s') |р) + Е (| У„ (s') - |
У (s*)H) |
||
|
|
|
|
|
|
E{\Yn(фп (s'))- Yn(s') |»'} < £ 1 2 [£ { |a„ (Ф/, (s')) - a„ (s') |P} |
+ |
|
|||
|
|
+ E { |A {Yn(ф„ (s'))) (w(s') - w(Фп (s'))) |v) + |
|
|
|
_______________ |
+ £{1Р(П(фл(Л))(«'-ФДО)1р}1 = о(1) |
||||
*) L s |
и L 'n — положительные константы, возможно, зависящ ие |
от Л', а |
о(1) |
||
обозначает |
величину, |
стрем ящ ую ся к нулю при п -*• оо равномерпо по |
t е |
||
е [0. Г].
§ 2, ПОТОК ДИФФЕОМОРФИЗМОВ |
245 |
В силу (2.7). Следовательно,
Ifj |
sup |
|
N |
\У„(®)-У(*)\Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
\0 ^ s ^ t A o n |
A a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
0(1) + Ly J E ( I Yn (s A 0% A aw) - |
Y (s Д o,T A aw) |p) ds. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
-*■0 |
при |
|
|
(2.11) |
|
Отсюда можно заключить, что |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Е\ |
|
sup |
|
IY n {s) — Y (s)1p| |
|
n - y o o |
||||||||
для всякого N > 0. Наконец, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
El snp |
1У„(я) — |
|
Е |
|
sup |
|
y „(s )-y (s )| P |
+ |
|||||||
1о««<Т |
|
|
|
|
|
|
N |
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0<s-4T/\on Да |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
+ |
E f sup |
( |Yn (.v) |+ |
|У (s) \У>: а;У < T\ + |
|
|
|||||||
|
|
|
|
lo«s«r |
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
+ E I |
sup |
(|УЯ(«)| + |
|У(,)|)М |
a-v < 2 4 < |
|
|
||||||
|
|
|
|
lo<s«T |
|
|
|
|
|
|
J |
|
|
||
|
|
|
|
< £ j |
sup |
\ У „ ( « ) - У (* ) И |
+ |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
ДaN |
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
+ 2EJ sup |
(| Yn(s) |+ |У (5) |)PJ |
sup |
( |Yn(*) |+ 1У (#) |) > |
ЛГ1 < |
|||||||||||
|
1 0 < » < T |
|
|
|
|
0 < * 4 T |
|
|
|
|
|
|
J |
||
|
|
|
|
< £ |
|
sup r |
T|yB(.v)-y(s)|p| + |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
\o<s^7'Aa;) ДоЛ |
|
|
|
|
J |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
+ |
jf E { |
|
snpr ( | Yn (s)| + |
I У (*) l )p+1). |
||||
Из |
(2.8), |
(2.10) |
и |
(2.11) |
теперь легко выводится, |
что |
|
||||||||
|
|
E l |
sup |
|У„(в) — y(s)lp,l->0 при |
п->- оо, |
|
|||||||||
|
|
|
lo«s«r |
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
||
Пусть |
для |
заданных a(z) |
и b(x) Xn(t) = |
(Х„({, |
х, w)) — ре |
||||||||||
шение (определенное на виноровском пространстве (\Vj, Р* ), по строенное по каноническим реализациям броуновского движения w(t) = (wa(t)) уравнения
1 |
t |
Xn(t) = x + $ оа (Хп(q>„(*))) die®(s) + j b (Xn(Ф„ (,))) dsx (2.12) |
|
О |
0 |
или, нокомпонентио, |
|
г |
* |
* « ( 0 - * * + J ^ ( ^ . ( Ф „ ( * ') ) ^ ( в ) + |
Jb‘ (X „ (Tn(в )))* , |
0 |
О |
i = l, 2, ... ,d. (2.12)*