Материал: Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

= -j 2 sSn (CT)

® dxa^*^®

•••<8>dxa^v\

то р-форма и(x) вы-

ражается в виде

•••A dxh' =

иИ =

= Р-

2

uhh...i

{x)dx^f\dx^f\---f\dxlv.

il< i2< " < iP

Внешним произведением аД р р-формы а

и д-формы [5 является

(р + (7 ) -форма, определенная равенством

(da) (х) = JL Oi и ..л

(х) dx^dx^ Д ... ДЛрЧ

(4.4)

С/Х 1 -

*

(И)

^ ix+ sr — /^лг +

(4.5)

Гу (х)

называются компонентами

связности

V. в

любой системе

локальных

координат

V*y можно

выразить

следующим

образом:

VA-У =

(х) Y* (х) (х) + X i(х) ±

У" (*)] ± ,

(4.6)

где X =

Xх (х) — и Y — Y l(x)— .

Компоненты

связности удов-

д х 1

д х '

*) Такого рода свойство, очевидно, не зависит от выбора координат. Ана­

логично можно определить понятие симметрического тензора.

равенством

**) Для

f e F ( M )

и A s X(Л/)

f X s X ( M )

определяется

264

ГЛ. Л". ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ

13 частности, тензорное поле и(х)

параллельно вдоль кривой с тогда

и только тогда,

когда

(Vc(f)u)

(с(/))^: =

(с ( 0 ) ^ р )

=

г е / . Для U, t, <= /,

u(t,) определяется но u(t0 единственным

образом

как

решение уравнения

(4.9), и

мы

говорим, что

u(t,)

получается .из

u(t„)

параллельным

переносом

вдоль кривой

c(t).

Рассмотрим

многообразие

М

с

аффинной связностью

V =

= |Г}л (•£)!•

Пусть

GL(M) — расслоепие

линейных реперов.

Для

каждого

r^GL(M)

/ / г =

|х =

^

(х) е У

(Ш <= RdJ

(4.10)

которое,

очевидно, не

зависит

от

выбора локальных координат

(х‘, <?•).

Касательный

вектор X

в

II, называется горизонтальным.

рое каждому

r^GL(M) ставит в соответствие

линейное

подпро­

странство

II,

пространства

Tr(GL(M)) (см. Номизу [136]);

IIтна­

зывается

горизонтальным

подпространством.

Пусть %е

ТХ(М);

T,(GL(M)) называется

горизонтальным лифтом вектора

§, если

§ горизонтально, я (г) = х и

(Лт)г| = |. Если задано

г такое, что

п(г) — х, то

| единственно.

Для заданного Х<=£(М)

существует

единственное

X е X(GL(M))

такое, что X, — горизонтальный лифт

X =

X* (х) ±

- ТУ(х) X' (х) el ± ,

(4.11)

если Х ^ Х Ч х ) —..

Для заданной гладкой кривой с: I э t

c(t) s

У ' дх'

s M

гладкая

кривая

с: /

э

£ >-*•c(t)^GL(M)

называется горизон­

тальным лифтом

кривой

с,

если

(I) - j f (t)

горизонтально

и (II)

n(c(t)) =

c(t)

для

( е / . Очевидно,

если задано

г = (х, е = [е,, е2, ...

. . .,

еД),

где

х — начальная точка

кривой с,

то

существует

и един­

c{t) = (c(t),

e(t) = [e,(l), e2(t), ...,

е(,(/)]), где ef(£)s Гс(()(М)

полу­

чатся из е, параллельным

переносом вдоль кривой с.

Для каждого

j = 1, 2, ... ,d существует единственное векторное поле Г

е ! {GL(М))

такое,

что

(£j) , — горизонтальный

лифт вектора е}<=Тх(М)

для

всякого

г = (х, е = \е„ е2,

..., еД). В системе локальных координат

(я1, ej)

Г, можно выразить так:

г

i о

TI7 h г о

(4.12)

L}~ e}d x i ~ T",eiepr f

§ 4. НЕВЫРОЖДЕННЫЕ ДИФФУЗИИ

265

{Г|, С2, .

.

называется

системой канонических горизонтальных

векторных полей или базисных векторных полей ([7] и [136]).

Пусть и (х) =

{и)1]2

— (Pi

Я

-тензорное

поле.

Определим

систему

гладких

функций

Fu (г) =

{.F V 4 "\р.^ (г)| па

GL(M)

ра­

венством

и (х) =

F

(г) е{

® е,

®

®

<?,• ® е1} ® <?'2 ®

®

<?’®

(4.13)

для г = (х,

е =

[е,, е2,

..., е,(]),

где

=

. ..,£*]

является

№

>

(г) =

и(Хр у

; м

*

■••е'% ч ;> . .. /;/\

(4.14)

и 1 \ П ~ Ч

i p s — lq

i , J 2

) q

кд n2

«p

где

(/j) — обратная к

(e)) матрица. Fu(r) =

|/ги^2' ^''(г)| называется

скаляризацией

тензорного

поля

и(х)

или

системой

ком-

понентов тензорного

поля и(х),

прочитанных

в репере

е.

F .W

является GL(d, JX)-эквивариантным в том смысле, что

F 'iV

]р(r) =

Е

12*

. аУЬ'лЬ1* •••Ь'.ч

(4.15)

3 q '

'

11 'Л -

ftp ^

J2

>ч

для всякого

а =

(aj) ^GL(d, R);

(&j) — обратная

к

(aj)

матри­

ца.

Обратпо,

всякая

GTj{d,

Н)-эквивариантная

система

F(r) —

= {F\Fz "\р (г)1

гладких

функций

па

GL(M)

задается как

F = Fu

{

h*2‘"3q

)

для некоторого одиозиампо определенного тензорного ноля и.

П р е д л о ж е н и е

4.1.

(4-16)

для всяких

i,,

г2,

.. •,

ip,

jt, h,

•••,

h u m — 1,

2, ...,

d,

где

{£,„} —

система канонических горизонтальных векторных полей.

Доказательство предоставляется читателю.

Для аффинной связности

V =

|Гу| Гу =

Г у —

являются

компонентами

тензора

Т типа

(1.2).

Т называется

тензором кру­

венством

Y) = VAY _ V YX - [ X , Y],

X, Y e £ (M ) .

Т(Х,

Аффинная связность

V = [Гу]

называется связностью без круче­

ния или симметричной связностью, если

тензор кручения

равсп

Iylt

T»/I

ij =

1 И*

класса С“

называется римановым многообра­

Многообразие

М

зием,

если на

М

задано тензорное поле

g = (ga) типа (0,

2) та­

кое,

что