266 |
ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МНОГООГ.РАЗИЯХ |
|
(И) |
g положительно определено, т. е. g>,{x) |
> 0 для всех х |
и |^0 eR '*).
Тензорное поле g называется фундаментальным тензорным по лем или римановой метрикой (тензорным полем). Оно определяет скалярное произведение на каждом касательном пространстве ТХ(М) посредством
<£, '»!> = Я у(*)бУ .£ = V |
и *1 ” ^ ( ^ ) х- |
<4-17) |
Аффинная связность V = {Гу} называется совместимой с римановой метрикой g, если скалярное произведение сохраняется при парал лельном переносе касательных векторов, т. е. для каждой гладкой
кривой |
c(t) и касательных |
векторов V (t)—: |
и 1]’ (4) —- в |
с(1) |
|
из равенств |
|
дх1 |
Ох1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
d |
(/) |
0 и ^ + Г ] , ( ( с ( 0 ) ^ т / ! (0 = |
0 |
|
# +г|»И<>) |
dt s" (f) |
||||
следует, |
что |
|
|
|
|
£ (* u (* (0 )5 ‘ (f)V (f)) = 0.
Отсюда легко |
заключить, что |
v совместима с |
g тогда |
и |
только |
тогда, когда |
|
|
|
|
|
А ёи = |
ёцТ'м + ё\Л) |
Для всех г, у, /с = |
1, 2. . . . , |
d. |
(4.18) |
о хн |
|
|
|
|
|
Совместимая с g аффинная связность пе единственна (см. пижеслсдующее предложение 4.3), по если мы предположим допол нительно, что она симметричпа, то такая связность будет един ственной. Действительно, из (4.18) вместе с соотношением
Гу = Гд следует, что
Гу = |/ ‘Д + — — Ц ghm. (4.19)
Эта связпость называется римановой связностью или связностью
Леви-Чивита: |
{ / j] называются символами. Кристоффеля. |
равен |
||
Пусть 0(М ) — подмногообразие |
GL(M) , |
определенное |
||
ством |
|
|
|
|
0( М )= {г = (х, а) е GL(M); е — ортопормальный базис ТХ(М) }. (4.20) |
||||
В системе |
локальных координат |
(хг, е}) |
многообразия |
GL(M) |
r . e O (f) тогда и только тогда, когда |
|
|
|
|
|
ёые\е) = |
8У, |
|
(4.21) |
*) Свойства (I) и (II), очевидно, не зависят от выбора координат.
|
§ 4. НЕВЫРОЖДЕННЫЕ ДИФФУЗИИ |
267 |
|
я л и , эквивалентно, |
S |
е1Л = gy, |
(4.22) |
|
d |
|
|
где (giS — обратная л (£,,) |
матрица. Эквивалентность |
соотноше |
|
нии (4.21) и (4.22) легко проверяется следующим образом. Поло
жим е = (ej) |
и |
G = (ga) . Тогда |
|
|
|
|
|
||||
(4.21) |
<^ e *G e = I ^ e * |
GuzGme = / -w (Gl/ie) * = |
|
|
|||||||
= (Gl/2e |
) |
-*=> G>/2ee*G1/2= / |
ee* = |
G -I/2G~1/2 = |
^ |
(4.22). |
|||||
Ортогональная |
группа 0(d) |
действует |
па |
0(М), и |
0 ( М ) — глав |
||||||
ное расслоение над |
М со структурной группой 0(d); |
0(М) |
назы |
||||||||
вается расслоением |
ортонормальных реперов на М. Пусть v — аф |
||||||||||
финная связность, совместимая с g, а с: [я, |
Ь] -*• М — гладкая кри |
||||||||||
вая в |
М. |
Если |
г = (с(0), |
е ) е О ( 1 ) , |
то |
горизонтальный |
лифт |
||||
c(t) = (c(t), |
e(t)) |
кривой c(t) принадлежит 0(М), т. к. e(t) — орто- |
|||||||||
нормальный репер в c(t). Аналогично, горизонтальное векторпое по ле X векторного поля Х^Х(М), суженное на 0(М), является век
торным нолем на О (М) |
и канонические |
горизонтальные векторные |
|||||||
поля Lm, m = 1, 2, .. ., d, |
являются векторными нолями на |
0(М). |
|||||||
Пусть |
М — рнманово |
о |
многообразие |
и |
V = |
(Гу)— аффипная |
|||
связность, |
совместимая |
римановон метрикой |
g. |
Связность |
V |
||||
позволяет нам «катить» |
М вдоль кривой |
j (t) в |
Rd, |
с тем |
чтобы |
||||
получить |
кривую с{1) в |
М в качестве следа кривой f(t). |
Интуи |
||||||
тивно, бесконечно малое перемещение кривой c{t) |
совпадает с |
бес |
|||||||
конечно малым перемещением кривой Ч(t) |
в касательном простран |
||||||||
стве, которое можно идентифицировать |
с |
R* посредством |
выбора |
||||||
ортопормального репера, а бесконечно малое перемещение репера задается посредством связности, т. е. параллельного переноса вдоль
кривой |
c(t). |
Точнее, |
пусть |
Y: (0, оо) з |
t y ( t ) е |
Rri — гладкая |
кривая |
в Rd. Пусть |
г = (х, |
е )е 0(М) , и |
определим |
кривую c(t) = |
|
—(с(1), |
е(1)) |
в 0(М) |
посредством равенств |
|
||
V. <?(*) = О, |
(4.23) |
||
С (() |
' ' |
|
|
с |
(0) = |
х , |
|
е |
(0) = |
е . |
|
В локальных координатах
i — 1, 2, . . . , d,
(4.24)
г, а.= 1, 2, . . . , d.
268 |
ГЛ. Л'. ДИФФУЗИ01ШЫК ПРОЦЕССЫ и л МНОГООБРАЗИЯХ |
Уравнение (4.23) можно переписать так:
1 # < о - г . (? < о ) $ « > .
(4.25)
| с (0) = г,
где {ZTt, Е2, ..., Ed — система канонических горизонтальных век торных полей. Кривая c(l) — n(c(t)) в М зависит от выбора на чального репера е в х; эту кривую мы обозначим так: c(f) = = c(f, г, 'f), г — (х, е). Немедленно получается, что
c(t, Tar, 1f) =c(f , г, ay), f e [ 0, оо), a e O ( d ) , |
(4.26) |
где кривая ау в R'1определяется равенством
И ) ( 0 = «Т(0- |
(4-27> |
Теперь пусть w(t) — (wa(t) ) — каноническая реализация d-мер- оIого вииеровского процесса. Стохастическое исчисление позволяет нам определить в М случайную кривую X(t) аналогичным образом. Пусть r(t) = (r(t, г, и?))— решение стохастического дифференци ального уравпения
dr(t) = Lx (r(t)) о dwa(t),
(4.28)
г (0) = г.
r(t, г, w) — поток диффеоморфизмов на 0(М), соответствующий каноническим горизонтальным векторным нолям Е„ Ег, ..., Ел и векторному нолю сноса*) Го355 0. В локальных координатах (4.28) эквивалентно следующему:
|
|dXl (f) = |
e1a ( 0 od«jCt(0. |
|
|
|
г |
= 1,2, . . . , d , |
|
||||||
|
1 d 4 ( 0 - ~ |
r L ( X (t))e!Ut)°dXm(t), |
i , a |
= i,2, . . . , d , |
( *' |
|||||||||
где |
r(t) = (X*(t), <?a(0)- |
To, |
что |
|
решение |
r(t) = |
(X:(t), |
ela (t)) |
||||||
принадлежит O(M), |
если только |
r ( 0 ) e O ( I ) , |
очевидно, |
так как |
||||||||||
|
— векторное |
поле |
на |
О(М). Конечно, |
можно также |
непосред |
||||||||
ственно проверить, что d ( ^ X ( O K ( 0 4 ( 0 ) = o |
с |
применением |
||||||||||||
соотношения (4.18). Теперь случайная кривая |
X(t) = (X'(t)) |
на М |
||||||||||||
определяется |
равенством |
X(t)= я[г(£)]. |
Согласно |
(4.26) |
имеем |
|||||||||
(записывая X(t) = (X(t, г, и>))) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
X (t, Tur, w) = |
X (t, г, aw) для |
t~^ 0, |
а е |
О (d) |
и |
ше=\У/. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.30) |
Но |
aw= (aw(t) ) — другой d-мерпый |
виперовский процесс, |
и поэто |
|||||||||||
му |
вероятностный |
закон |
Х(*, |
Tar, |
w) |
не зависит |
от |
a е |
0(d). |
|||||
*) 13 стохастическом дифференциальном уравнении (1.1) векторное поле
Ло называется векторным полем сноса.
§ 4. НЕВЫРОЖДЕННЫЕ ДИФФУЗИИ |
269 |
Другими словами, вероятностный закон Х(*, г, w) |
зависит только |
от х = п(г). Мы обозначаем этот закон через Рх. Строго марковское свойство системы {Рх} легко выводится из аналогичного свойства для г(-, г, w).
З а м е ч а н и е 4.1. Конечно, r(f, г, w) можно определить как Поток диффеоморфизмов на GL(M) для любой аффинной связпости, но его проекция на М в общем случае не является строго марков ской системой, так как не всегда верно, что закон я[г(-, г, и?)] зависит только от х — п(г). По этой причине мы ограничились аф финной связностью, совместимой с g и потоком диффеоморфизмов на О(М).
Таким образом, мы имеем диффузию {Рх) па М. Мы теперь покажем, что эта диффузия совпадает с Л-диффузионным процес сом, где дифференциальный оператор А задается равенством
А = ±-Ам + Ь. |
(4.31) |
Здесь Ам — оператор Лапласа — Бельтрами на Л/, задаваемый равенством *)
Адif = Л ' Ч Н/* = gl |
<rf |
Ai IА Л1 |
(4.32) |
с:х1д х ' |
()хV |
а b = Ьг (х) — : — векторное поле, задаваемое равенством
д х 1
Ь' = у Г Ч 1 т \ ) - Г ) „ „ ) . |
(4.33) |
Действительно, рассматривая f(r) = f(x) для г = (х, е), получаем
/ ( X |
(#)) — / ( X ( 0 ) ) = / (Г (< )) - / (Г ( 0 ) ) = |
|
,( |
|
|
t |
г |
I |
|
= |
f ( L j ) (г (s)) о d,S (.9) = |
f LJ (r (s))dwa(.9) + |
i - j |
2 A* (В Д (r(s))ds. |
|
0 |
II |
0 |
a L |
Следовательно, достаточно показать, что
d
у2 ^ a ( l j ) = A f .
а—i
Заметим, что оператор А, задаваемый |
равенством (4.31), можно |
также записать в виде |
|
А |
l> d xh ' |
д х гдх* |
*) |
риманова связпость. |
270 ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ
Согласно предложению 4.1
L 'a (Т'а/) ^ |
v /)а — (Д У v/)aa = (V jV j/ ) ваСа* |
Поэтому |
|
2 2а (2 а/) |
= 2 (V;V;/) ciei = |
а-^ 1 |
a^i |
всилу (4.22). Ниже подытоживаются вышеприведенные результаты.
Те о р е м а 4.2. Пусть М — риманово многообразие с аффинной связностью v, которая совместима с римановой метрикой g, и
пусть Lt, L2, ..., JEd— система канонических горизонтальных век торных полей. Рассмотрим стохастическое дифференциальное урав нение (4.28) на О(М). Решение определяет поток диффеоморфиз мов r(t) = (r(t, г, w)) на 0(М), и его проекция X(t) = n(r(t)) определяет диффузионный процесс па М, соответствующий
дифференциальному |
оператору Л, задаваемому |
равенством (4.31). |
||||||
О п р е д е л е н и е |
4.1. Процесс |
r(t) |
из теоремы 4.2 называется |
|||||
горизонтальным лифтом .4-диффузии X (t). |
Л-диффузия |
|
X (t) |
|||||
О п р е д е л е н и е |
4.2. В |
случае А = Ам/2 |
|
|||||
называется броуновским движением на М. |
броуновского |
|
дви |
|||||
Таким образом, горизонтальный лифт1 r(t) |
|
|||||||
жения X(t) на |
М строится |
посредством римановой связности. Те |
||||||
перь мы докажем следующее |
(I) |
Для |
всякого |
векторного |
|
поля |
||
П р е д л о ж е н и е |
4.3. |
|
||||||
на рим-ановом многообразии М существует аффинная |
||||||||
связность V = |
(Гу] |
на Л7, |
совместимая с римановой метрикой g, |
|||||
такая, что выполняется (4.33). |
|
|
|
|
|
|||
(II). Две |
аффинные |
связности |
V = |
(Г?;) и V' = |
(Гу ), |
|||
совместимые с римановой метрикой g, удовлетворяют условию |
(4.34) |
|||||||
/Т ‘,;=g»Tii |
для |
всех |
i = 1,2, |
. .., d |
|
|||
тогда и только тогда, когда
/1 |
__ |
т ' п |
i— 1,2, |
|
Г i n |
— |
* |
it.j |
|
где (Гу) и \Тi}} являются |
|
тензорами |
||
V и V' соответственно. |
(I) |
Определим |
||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
||||
..., d,
кручения
(4.35)
связностей
|
|
г}* = (Д} + |
7^-i (b}bh- g }hbi), |
|
|
где |
bi = gnb}. Далее, так |
как b)bk — gjhbl являются |
компонентами |
||
(1, |
2)-тензора, то |
V = |
(Гр,) |
удовлетворяет правилу (4.7) и по |
|
этому определяет |
аффинную |
связность ([188]). Она |
удовлетворяет |
||