Материал: Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

270	ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ
270
(4.58), то
	О =		j (Аи) (t, х) р. (dx) =				J Ttf (x) \x {dx).
			M				M
Следовательно,		(4.47)		выполняется для f^F(M)					и поэтому		выпол
няется и для / е		С(М).			Справедливо			равенство*)
П р е д л о же ни е				4.4.	Справедливо			равенство*)
где **)		(Л/,		h)o = (/,		A*h)t ,	U	h = F(M),
где **)
	A*h =		-------bdh +			b(hu>b —		Amh — div (hb).			(4.59)
Доказательство			получается непосредственно						из	определения.
П р е д л о ж е н и е				4.5.	Инвариантная мера				p(dx)	А-диффузии

существует и единственна с точностью до мультипликативной кон

станты; более того, p(dx)	задается в	виде	v(x)dx, где v^F(M)
является решением уравнения
	A*v = 0.		(4.60)
Д о к а з а т е л ь с т в о .	Уравнение	(4.58)	эквивалентно урав

нению Л*р = 0 в смысле распределений Шварца па М. Так как А* — эллиптический оператор, то, согласно лемме Вейля [1], любое ре шение должно иметь вид p = vdx, v^F(M) . Более того, А, — 0 является наибольшим собственным значением задачи нахождения

собственных	значений		( А —А)ср		= 0; оно простое, и	(сср„:	c e R } —
собственное	пространство,			где	ср0(х) =1 . Поэтому	Я = 0	является
также наибольшим собственным значением задачи						(Л* — А)ср = 0;
оно простое,	и	связанное		с ним	собственное пространство		задается
в виде {с(р0:		c e R \| ,	где	ср*	можно выбрать так,	что	ф0 (ж' ) > 0

для всех х е М * * * ) . Следовательно, все инвариантные меры Л-диф

фузии	задаются		в виде р = ccp*dx			для		некоторой		константы с > 0.
Выберем U ( x ) ^ F ( M )				так, чтобы			Л*(е~р) = 0,			т. е.	e~udx яв-
ляется инвариантной мерой. Так как							•			1
ляется инвариантной мерой. Так как							•	Л* (е~и) --------^-bd(e-u) +
+ 8(е~-ищ) =		0,		-j						для	некоторых
+ 8(е~-ищ) =		0,	то е~ищ ---- ^ d(e~u) =							для	некоторых
Pi е Ао (М) и а, е			/7, (М), т. е.
			e~uidb=	-i- d (e~v) +				6Pi +	а,,		(4.61)
*)	(/, £')„ ■-	J / (rl g (.r) dx,		dx		"l/(let G dx1dxi ,.. dxd.
		м							<1*1A ' ^ ' 1 Л
**)	Для / e	F (M) и a ^ A p (M),			a		a {	f	<1*1A ' ^ ' 1 Л		f\dx'p,
fa определяется равенством fa				(fa.	,		.	4 dx{1f\ dxi2 Д ■••Л rfxtp.
				\			•*/>/

***) Этот факт хорошо известен и также является следствием теория по ложительных операторов [93].

				§ 4. НЕВЫРОЖДЕННЫЕ ДИФФУЗИИ					277
9Д0	&1 ^Л 2(М)		и	Й1^/7\|(Л/).		Обратно,	если		U удовлетворяет
(4.61)		с некоторыми ^			и ccj, то
		A*(e~L) =		8^е~го)ь-----^-d(e~l )j =			6(6^	+	а х) == О,
и поэтому e~U(x)dx				является инвариантной			мерой. Формула (4.61)
надает разложение				де	Рама — Кодаира 1-формы			е~и<аь.
Т е о р е м а			4.6.	(I)	Л-диффузия симметризуема тогда и только
тогда,		когда
					6р — а = 0 в (4.61)*),				(4.62)
а это		условие	эквивалентно следующему.
					6^ = а1 =	0 в (4.61).			(4.63)
Условие (4.62) или (4.63) эквивалентно условию,									чтобы Ъ задава
лось	в виде				b = gradF,	F^F(M),			(4.64)
					b = gradF,	F^F(M),			(4.64)

и в этом случае инвариантные меры имеют вид константа X e2F(x)dx. (II) А-диффузия локально симметризуема тогда и только тогда,

когда

	6^ = 0		в	(4.51).			(4.65)
Это условие эквивалентно следующему:
	dcob =			0.			(4.66)
	(III) Мера cdx (константа	с >		0)	является		инвариантной	ме
рой А-диффузии тогда и только тогда, когда в							(4.51) dF = 0;	это
условие эквивалентно следующему.
	бсоь =	—div Ъ= 0.					(4.07)
■ва	С л е д с т в и е . А-диффузия	симметрична				относительно римано-
	объема dx (т. е. симметризуема и мера v					в	(4.48) совпадает с
dx)	тогда и только тогда, когда		она		представляет собой броунов
ское движение па М.			U0(x)^F{M)				определяется усло
	Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть
виями
	f е~ио{x)dx =	1	и	Л* (е~ио) = 0.
	м
Тогда м ерае-1 ,“('т)Фг------ единственная					инвариантная вероятностная

мера ^4-диффузии. Если мы введем другое внутреннее произведе ние на F(M) посредством равенства

<u, v> = [ и (х) v (х) e~v°{x)dx,	(4.68)
м

) См. [91] и [131].

278	ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ ПА МНОГООБРАЗИЯХ
то легко видеть, что
где	<Аи, v> = <и,	Лу>,
где
	! v = 2 AMV — (Ь +	grad U0 v.	(4.69)

Предположим, что Л-диффузия симметризуема. Как мы отмечали выше, мера v из (4.68) является инвариантной мерой, и поэтому, если мера v нормирована так, что она является вероятностной ме

рой, то мы должны иметь

v (dx) = е~1oKXdx.

Таким

образом,

(Т,и, v> =

<u, 7Vv> для и, v^F( M)

в силу

(4.48), и поэтому диф

ференцированием

по

t получаем

ы м и , v> =

<и, TiAv).

Устремив

110, имеем

<Ли,

v> =

<и, Лу>,

и ,

следовательно,

Лу =

= Ах для всех v^F(M), т. о.

Ь= — (fe + grad t/(,).

(4.70)

Поэтому

b =

- - j

grad U0.

Обратно,

если

b = grad/<’, F^F(M),

то

m — dF,

и поэтому

e2Fcob= y d ( e Jf).

Следовательно,

U =

—2F

удовлетворяет

урав

нению

(4.61)

c 6P! = oc = 0. Поэтому e~vdx — инвариантная

мера и

U = U a + c

для

некоторой

константы

с.

Следовательно,

имеем

Ъ— —

j grad U0,

отсюда

следует, что Лv = Лv, v^F(M) . А в

общем

случае Л-диффузия {Pi)

Л^диффузия

(РЛ связаны друг

с другом через свои переходные полугруппы Tt и Tt соответственно

.соотношением
	<Т,и, v> = <и,	T/v),	и, v^F(M) .
Действительно,
£	< TtKu, 7>> = < - ЛТ,-л, 7\v> +		<Г(- 8и, 2Tsv} =
	=	— <2"\|-4и, Л7>> + <Г(_4н, 2 f,v > = 0
и,	следовательно,	(
		(
	<7>, v> — <и, f,v> = —		<Т( - sw, Tsv} ds = 0.
	A	О
	A

Поэтому из ^4—	Л следует, что	<7\и, v> = <u, Ttv)	и, следователь-
но, Л-диффузия	симметризуема.	Доказательство (J)	завершено. До-

§ 5. СТОХАСТИЧЕСКИЙ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС	279
киантельство (II) можно провести аналогично. Наконец, мера	dx

ннлнется инвариантной мерой тогда и только тогда, когда функ


ции	U	в	(4.61)		постоянна, т.		е.	соь = бр + а	для	некоторых
[1 е Л2 (М) и а е				Я, (М).					дать вероятност
З а м е ч а н и е				4.3. Представляется интересным					дать вероятност
ную	интерпретацию				для	условий	типа	«в (4.51)	а = 0»,	«в (4.61)
оц = 0»		или	«в	(4.61) ^ 1		= 0». В	этой	связи Маиабэ 1116] получил

следующий результат. Сначала он определил «стохастический сим

вол Кронекера»		7(Х[0,	f], с)	между d — 1 цепью с		в М и орбитой
А'[0,	i] = {X(s);	s e [0 ,	f]> Л-диффузии X(t)		как	случайный про
цесс.	Затем он	показал,	что	в (4.61) af = 0	тогда	и только тогда,

когда для любого d — 1 цикла с

lim I (X [0, t\, c);t = 0 и. н.

tТ ° 0

§5. Стохастический параллельный перенос

и уравнение теплопроводности для тензорных полей

Пусть М — риманово многообразие и А — оператор Лапласа— Бельтрами. Тогда, как мы видели выше, единственное решение уравнения теплопроводности

ди	1 .		(5.1)
-т = т Аи'
11\|(=0 =	/
можно задать в виде		х))],	(5.2)
u(t, x) — E[f(X(t,
где X(t, х) — броуновское движепие		на М,	начинающееся в х.

Для того чтобы обобщить этот факт на случай уравнения тепло проводности для тензорных полей, Ито [71], {75] ввел понятие

стохастического параллельного переноса. Его идея состоит в сле дующем. Рассмотрим уравнение (5.1), где и и / теперь являются тензорными нолями на М, а Au = g<XiVju, где V — ковариаптпое дифференцирование относительно римановой связности. Тогда ре шение и задастся равенством

и(«,х) = £ [ /( Х ( ( ,т ) Ц		(5.3)
где / (X (£, х))* — тензор в точке	х, получаемый	из тензора
/(X (t, х)) в X (t, х) параллельным	переносом вдоль броуновской

кривой с обращенным временем. Трудность этой процедуры состоит

и получении / (X(t, x))# в качество	параллельпого переноса
f(X(t, х)) вдоль броуновской кривой с	обращенным временем. Ито

определил его в качестве предела параллельпого переноса вдоль

кусочно геодезической кривой	от X(t\ х) в х,	аппроксимирующей
броуновскую кривую с обращенным временем.		Но, как мы видели
и предыдущем параграфе, с	использованием	стохастического ис-

280	ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ
числения	можно	произнести параллельный перенос вдоль броунов
ской кривой от		х в X(t, х) в обычном смысле времени. Более-

того, мы можем фактически реализовать идею Ито, воспользовав шись только такими параллельными переносами. Вместо перенесе

ния тензора		в	X(t,	х) в	тензор х мы переносим ортонормальный
репер	e(t)	в	X(t,	х) в	ортонормальный репер е(1)	в	X(t, х)
вдоль	броуновской			кривой	и прочтем тензор в X(t, х)	с	использо

ванием этого репера e(t). Этот подход принадлежит Малливэну [112]. Теперь ясно, что процесс r(t) = (X(t, х), е(1)) является го ризонтальным лифтом на О(М) броуповской кривой X(t, х), по строенной в предыдущем параграфе. Таким путем решается урав нение теплопроводности (5.1) для тензорпых полей. Модификацией математического ожидания с весом тина Фейнмана — Каца молено решить также уравнение теплопроводности для дифференциальных форм

(	да	1	_	а'	(5.4>
	0 1 -	2	-
la\|t=o =		/.
где □ — лапласиан де Рама — Коданра				(4.54).	и О(М) — рас-
Пусть М — компактное	риманово		многообразие

слоепие ортонормированных реперов над М. Пусть (Et, Ег, ..., Ed — система канонических горизонтальных векторных полей на 0(М)

относительно римановой связности	Как и	в предыдущем
параграфе, поток диффеоморфизмов r(l) = (r(t, г, w))		па О(М) опре

деляется посредством решения стохастического дифференциальногоуравнения

idr(t)=Za{r(t))°dw*(t),

	\ г (0) = г.					V'	" '
r(t) определяет диффузионный процесс на О(М),				который	соответ-
ствует дифференциальному оператору — Ао(мь где
	До(л/) = 2		La (La).			(5.G)
r = (r(t))	называется горизонтальным броуновским движением						на
О(М), а	Л0(М) — горизонтальным		лапласианом Бохнера.		Как		мы
видели в предыдущем параграфе,			проекция X(t) = л [r(f)]		является
броуновским движением на М. Мы пишем r(t, г,				w) = (X(t,		г,	w)T
e(t, г, w)). Мы знаем, что		Tar, w) — X(t, г, aw)				(5.7)
и	X(t,
		г, aw)a	для всякого*)	а е 0(d).		(5.8)
e(l, Tar, w) — e(t,

*) См. (2.31) для определения e(t, г, гг) а.

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных