280 |
ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ |
|
|
|
|
|
|
вектор п ( х ) = n i (x ) ^ i i задаваемый равенством; |
|
|
|
|
n,(x) = gti{x)/1gti(x), i = 1, 2, |
d, |
(6.1) |
называется внутренне направленным единичным нормальным век тором в точке х. Для определенной в U гладкой функции /
IL{x)==ni{z)lL(x), |
|
X <==дМ, |
(6.2) |
|||
называется нормальной производной |
функции |
/ в |
точке х. Пусть |
|||
„ijij.-.ip |
__ |
fij'S.-' . |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
°h>2~’p — |
|
|
|
|
|
|
a ei1»2...id— кососимметрическое |
(0, d) -тензорное |
поле, определен |
||||
ное равенством |
|
|
|
|
|
|
гНЧ- Ч(J ) = |
V |
det (*tf(*)) $ Х |
Л-Ч‘ |
(6.3) |
||
|
||||||
Для р-формы а присоединенная к ней * а форма есть (d — p) -фор ма, определенная следующим образом. Если а выражается в виде
а(х) — |
2 |
a*l i i‘o'••i p ( * ) |
||
ТО |
|
•■<ip |
|
|
|
* |
|
||
*а (х) = |
2 |
( x ) |
||
а h i у -id |
||||
|
|
|
||
p
dx' i Д |
dx'2 Д . . . |
Д ^ х Ч |
(6.4) |
dx 'i Д |
dx'2Д . . . |
Д r/.ri<(-p |
(6.5) |
где
* |
|
2 |
|
,(*) |
l!2 -iP(x) |
(6.6) |
“ jpj.-.jrf--P(*) = |
P |
|||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
; |
lh (r)•• . g'pip |
|
|
|
|
абч- |
'P (x) = |
(OCj : |
}p(x). |
|
||
|
|
|
•'l'2 |
|
||
Пусть 6 есть р-форма. Через 0ian обозначим сужение 0 на дМ и назовем его касательной компонентой формы 0. Нормальную ком поненту формы 0 определяем равенством
|
0ПГГП |
0 * 0tan> |
|
|
|
Пусть Т1(ж)— дифференциальная 1-форма такая, что |
|
|
|||
|
т|Ьм(ж)= r\i{x)dx\ xezdM, |
|
(6.7) |
||
где тр(а:)= gu{x)ns(x), а п’ (ж) |
определен |
равенством |
(6.1). Тогда |
||
легко видеть, |
что сужение |
(— l),'w“ ,,,‘H' 1 [* (*0 |
Д П] А П Iэм |
||
/ьформы ( — |
[* (*0 < т])] Д ц |
единственным |
'образом |
||
определяется по 0 и совпадает с 0nOrm. |
|
|
|
||
|
|
§ 6. СЛУЧАЙ С ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ |
287 |
|||||
О п р е д е л е н и е 6.1. Будем |
говорить, |
что дифференциальная |
||||||
форма |
0 |
удовлетворяет |
абсолютным граничным |
условиям, |
если |
|||
0„„гга = |
0 |
И (<20)norm = |
0 ([148]). |
|
|
(5.4) с абсолют |
||
Мы хотим решить уравнение теплопроводности |
||||||||
ными граничными условиями, а именно решить задачу |
|
|||||||
|
|
|
д а |
|
|
|
|
|
|
|
|
dt = |
Т |
|
|
|
(6. 8) |
|
|
Я [/—0 = |
/> |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Я цоггп = |
0 , |
(<2а)погт = |
О, |
|
|
|
где |
|
является |
заданпой р-формой. |
Чтобы |
избежать |
неже |
||
лательные осложнения мы ограничимся случаем |
1-форм. |
Вблизи |
границы мы можем выбрать координатную окрестность U и систе |
||
му локальных координат х = (х\ х2, ..., xd в U |
так, что |
выпол |
няются следующие условия: *) |
|
|
(I)х'1> 0 для всех x^U\
(II)i e f /П дМ тогда и только тогда, когда х' = 0;
(III) |
тензор |
|
метрики |
g{x) = ( g a ( x ) ) |
удовлетворяет |
равен |
|||||||||
ствам gi<i(x)= 0 для г = 1, 2, |
..., <2— 1. |
Легко видеть, что в этой |
|||||||||||||
системе локальных координат |
0 e A t(A/) |
удовлетворяет |
абсолютным |
||||||||||||
граничным условиям тогда и только тогда, когда |
|
|
|
|
|||||||||||
Qd(x) = |
0 н г^ОН*) = |
0, |
i = |
1, 2, |
. . . , d — 1, х €= U П дМ. |
(6.9) |
|||||||||
|
Лт" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Действительно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 П О Г И 1 === |
( * ^ ) ^ |
® ( d 0 ) n o r m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
откуда и следует |
|
(6.9). |
|
|
ортонормированных |
реперов |
над |
М. |
|||||||
Пусть О(М) — расслоение |
|||||||||||||||
Если F»(r)= ([Ее];(г)) |
является скаляризациен |
1-формы |
0, |
т. |
е. |
||||||||||
|
|
|
[^eli (г) = |
0j (■*)е\, |
г = |
(z\ |
е]), |
|
|
|
|
|
|||
то (6.9) |
выполняется в том и только том случае, если |
|
|
|
|
||||||||||
fa l^elj (г) = |
0 и |
1\^ |
f/'’оЬ (') = |
0, |
г = |
1, 2, |
. . . , |
d — 1, |
(6.10) |
||||||
где (/]) |
является |
обратной |
|
к |
(ej) |
матрицей. Таким |
образом, за |
||||||||
дача Коши (6.8) |
|
для дифференциальных 1-форм эквивалентна сле |
|||||||||||||
дующей |
задаче |
Коши |
для |
|
R '-зиачпых |
эквивариантных |
функций |
||||||||
*) См. [92], [148].
288 |
ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ |
|||||
|
г)) на О(М): |
|
|
|
|
|
|
|
г) = ^ { A 0(M)Ui(t, г) + |
J\(r)Uj(t, г)}, |
|||
|
и г(0, г) = (Ff)i (г), |
|
|
( 6 И . |
||
|
ох |
г)\тМ) = 0, |
г = |
1, 2, . |
d — 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fWj (t, г) |йО(д/> = |
0, |
|
|
|
|
где |
[j{ (г)) — скаляризация |
тензора |
Риччи |
|В\(а-)] и дО(М) = |
||
= {г = (х, е )^ 0 (М )‘, х ^ дМ). Мы теперь решим эту задачу Коши с
использованием горизонтального броуновского движения r(t)) |
па |
|||||||||||||
О(М). (r(t)) |
можно |
получить посредством решения стохастических |
||||||||||||
дифференциальных |
уравнений |
с |
граничными |
условиями |
(§ 7 |
|||||||||
гл. IV). Так как конструкция решений может быть локализована, |
||||||||||||||
то мы без колебания принимаем следующие предположения: |
|
про |
||||||||||||
П р е д п о л о ж е н и е |
(А). |
М — верхнее |
полупространство |
|
||||||||||
странства R'': |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
М = {х; х |
— (х1, х2, |
. . . , xrf) е Rd, хй^ 0} |
|
|
||||||||
и |
|
|
|
|
дМ = |
{х е= М; xd —0). |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
П р е д п о л о ж е н и е |
(В). Тензор римановой метрики (gu(x)) |
|||||||||||||
при системе координат х = |
(х1, |
х2, |
.. ., хЛ состоит из С^-функций, |
|||||||||||
ограниченных |
вместе |
со всеми своими частными производными. |
||||||||||||
Кроме того, (gu(x)) равномерно положительно |
определена и удов |
|||||||||||||
летворяет условию gu,{x) = 0 для i = 1, 2, . . |
d —1. |
|
|
|||||||||||
Мы рассматриваем следующее стохастическое дифференциальное |
||||||||||||||
уравнение |
для процесса |
(X(t), |
e(t)) |
па |
R + X R<( ’• |
|
|
|||||||
dX\ = |
e)t{t)odBh{t) + |
blcld^{t), |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
del{t) = |
- \ i h\{^{t))eho:(t)^X l (0 = |
|
|
|
|
|
||||||||
|
= |
- |
[lih {X {t))^ {t)e}m{t)odBm{ t ) - |
{dM(X(t))ei(0d«P(0. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i, a = l , 2, . .. , |
d. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 6. 12) |
|
Здесь |
(п<Кх) — символы |
Кристофеля, |
a B (t ) - (B '( t ) ) — d-мерное |
|||||||||||
броуновское движение; |
|
|
— непрерывный |
неубывающий процесс, |
||||||||||
который |
возрастает |
только |
тогда, |
когда |
X(t)^dM. Система |
(6.12) |
||||||||
является частным случаем систем стохастических дифференциаль ных уравнений, рассмотренных в гл. IV, § 7, и поэтому, согласно теореме 1V-7.2, мы знаем, что для любой борслсвской вероятност
ной меры р на R+ X Rd", существует единственное решение (X(t), e(t)) уравнения (6.12) с начальным распределением р. Таким же
|
§ 6. СЛУЧАЯ С ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ |
289 |
|||
|
|
|
|
|
|
образом, как и в § 4, мы паходим, что если |
|
|
|||
то для всех |
15= О |
gki (Х(0))е-(0)е'(0) = |
6и, |
|
|
gk,(X{t))eUt)e](t) = |
8„ |
|
|||
|
|
|
|||
выполняется |
почти |
наверное, |
т. е. если |
(-Х'(О), е(0) ) е О(М), то |
|
(X(t), e(f) ) е О(М) |
для всех |
t > 0 п. н. Таким образом, мы имеем |
|||
диффузионный процесс r(t) = (X(t), е (t)) |
на О(М). Этот процесс |
||||
называется горизонтальным броуновским движением на расслоении
ортонормалъных реперов О(М) с отражающей границей. |
Пусть |
|
Еи Ег, ..., |
Ed— канопические горизонтальные векторные поля: |
|
(LmF) (г) = |
егт^г (г) — \ki}(x)eme'j'^(r), (г = (х, е = (е}))), |
(6.13) |
|
и i |
|
т= 1, 2, . . d,
иопределим горизонтальный лапласиан Бохнера равенством
|
|
d |
^ |
|
|
&0(М |
= |
Em(Lm'). |
(6.14) |
Положим |
|
m=i |
|
|
|
|
|
|
|
add (г) = |
gdd (х), |
(г) - |
- ekm(A l (*) gM(*). |
(6.15) |
Т е о р е м а 6.1. |
Пусть |
r (t) = |
( X (t), e{t) = (em(t))) — горизон |
|
тальное броуновское движение с отражающей границей, по строенное выше по решению уравнения (6.12).
(I) |
Для любой гладкой функции F(t, г) |
на [О, |
°°)ХО(М) |
|||||
dF (t, г (0) = (LmF) (t, г (()) dBm(0 + |
|
|
|
|
||||
|
+ (Y (Ао(М)Р) (t, г (t)) + j f ( t , r |
(i))| dt + (l |
dF ) (t , r (f)) dip(t)f |
|||||
где Xd —- горизонтальный лифт векторного поля Xd— |
задаваемый |
|||||||
в явном виде равенством |
|
|
|
|
|
|||
|
{X dF)(t,r) = |
d^-d(t, r) + |
« т*(г) |
d F |
|
(6.16) |
||
|
|
|
дха ' |
a dd (г) |
dem |
|
|
|
(И ) |
dXd (t)-dXd(t) = |
udd(r(t))dt |
|
|
|
(6.17) |
||
[dXd (t)-dem(t) = |
ofi? (r(t))dt, |
m, i = 1 , 2 , . . . , |
||||||
|
d. |
|||||||
Доказательство |
(I)’ получается непосредственно из формулы |
|||||||
Ито. |
(II) легко |
доказывается, если |
только заметить, |
что |
||||
2 < 4 ( 0 < 4 ( * ) = / Ч Х (*)>•
19 С. Ватанабэ, Н. Икэда
290 |
ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ |
|
||||
Из |
теоремы 6.1 следует, |
что процесс |
(r(f)) |
па |
О(М) |
опреде |
ляется |
дифференциальным |
оператором |
4“^о(л/) |
с граничным |
||
условием XdF = {) на дО(М). |
Из (6.17) следует, |
что |
процесс |
(г(£))' |
||
является нормально отраженным диффузионным процессом в смыс ле пшкеследующего определения 6.2.
Чтобы получить решение уравнения (6.11) нам пужно построить мультипликативный операторный функционал (МОФ) так же. как и в предыдущем параграфе. Пусть {r(f, w), w е W (0(M ) )Pr) — капоническая реализация горизонтального броуновского движения
на О(М) с отражающей |
грапицсй |
W (0(M ) ) = С([0, |
<*>)-»• О(М)), |
Рг — вероятностный закон |
па W ( 0 ( M ) ) решения r(t) уравнения |
||
(6.12) с г(0) = г, и r(£, w)— w(t) |
для ш е \ У (0 (1 )). |
Для борелев- |
|
ской вероятностной меры р па О(М), Р„ определяется равенством*)
РДР) = |
P r (P)p(dr), |
Ве=$(\\(0(М ))). |
Пусть ST= |
||
|
ООП_______ |
|
|
|
|
|
р |
для |
любой |
вероятности |
р |
— Л $ (W (О(Л/))) м п SFt = |
|||||
существует В» такое, что В„ е J?( (W(0(J7))) |
и Р„(Л А /?,,) = 0). |
Мы |
|||
теперь фиксируем р и проводим последующие рассуждения па ве
роятностном пространстве |
(W (О(М)), ST, Рм). Записывая r(f, |
w )= . |
|||||||||||||||||
— (X(t) = X(t, |
w), |
e(t) = |
e(t, w)), |
мы |
|
положим |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
_ |
cp(t) = |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
lim 1 f/ [0,е) (X d (s)) g lhi (X (s))ds |
|
|
|
|||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
el0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Bi (t) = |
С[e («Г 1]! • [dXH(s) - |
fi3dq> (*)1. |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
{B‘(t)} — d-мерное |
t)-броуповское |
движение |
и |
{r(t) = |
||||||||||||||
— r(t, |
w), ф(£)} удовлетворяет уравнению (6.12). |
относительно |
дей |
||||||||||||||||
|
Л е м м а 6.1. |
{Pr) |
является |
инвариантным |
|||||||||||||||
ствия |
Та, |
а е |
0(d), |
т. |
е. |
если |
Taw ^ W (0 (M )) |
определяется |
для |
||||||||||
w ^ W (0 (M )) |
равенством |
(Taw) (t) = Ta(w(t)) |
и |
если |
Та(Рг) — |
||||||||||||||
мера-образ |
меры |
|
Рт при |
отображении |
w |
Taw, mo |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T*(Pr) = PTaT. |
|
|
|
|
|
|
(6.18) |
|||
с |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть |
r(t) — решение |
уравнения |
(6.12) |
||||||||||||||
В (t) |
и |
ф(£) |
такое, |
что г(0) — г. |
Тогда |
для |
а е 0(d), |
r(t) = |
|||||||||||
= |
Та(г( 0 ) — решение |
уравнения |
(6.12) |
с |
B(t) = a~!B(t) |
н |
<p(i) = |
||||||||||||
= ф(£) |
такое, |
что |
r(0) = Tar. B (t)~ другое |
d-мерное броуновское |
|||||||||||||||
движение и, следовательно, (6.12) выполняется |
в |
силу |
единствен |
||||||||||||||||
ности |
решения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
*) Л(\У(0(Д/))) и 3S,(W(0(M))) определяются обычным образом.