Материал: Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

296

ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ

U(t ,

r) = (£/j(f, г)) на О ( М ) :

если г =

(х, е) е

дО (М),

где Г<г(ж)<= Rd ® Rd определяется равенством

r d(x) = ({dM (a:))-

Если U(t,

г)— 0(с7)-эквивариантная функция, то отсюда

следует,

что U(t, г) = еО (ж), г = (ж, е), где £7 (ж) — гладкая К^-эпачпая функ­

ция на М, и, следовательно,

Таким образом,

в случае эквивариантных функций

задача

Коши

(6.33) сводится к задаче Коши (6.11). Построим полугруппу, соот­

ветствующую задаче Коши (6.33), посредством

применения

МОФ

М.

Пусть

Со(0(Д/)-*- Rd)— множество

всех

ограниченных

непре­

рывных функций F(r) на О ( М )

со значениями в R* таких, что

Pe_,F (r)= 0 ,

если

г = (ж, е )е дО(М).

(6.34)

Для F е С0(О(М) -► RJ) и £ 3* 0 положим

(HtF ) ( r ) = Er[M(t, w)F(r(t, и;))].

(6.35)'

Т е о р е м а

6.4.

(I) Ш,}

определяет однопараметрическую полу­

группу операторов на С0(О(М) -*■Rd) .

функция,

то

и

HtF та­

(II)

Если F — 0(й)-эквивариантная

кая же

для

всех

£ 3^ 0.

лемме

6.3

Д о к а з а т е л ь с т в о . Если г^дО(М), то согласно

Pe~l(HtF) (г) =

0. Непрерывность по г функций

HtF(r), t >

0,

сле­

дует из непрерывности отображения*)

г --*■ Prе

5я (W (О (М))),

что

со своей стороны является следствием единственности решений сто­

хастических дифференциальных уравнений. Полугрупновое свойст­

во для (ЯД очевидно, так как М является МОФ. Наконец,

(II)

сле­

дует из лемм 6.1 и 6.4.

функция на

Т е о р е м а

6.5. Пусть F (t, r) = (Fi(t, г))— гладкая

[О, °°)Х О(М)

со значениями в Rd такая, что

для

каждого

£ 3s 0,

r>-bF(t,r) представляет собой функцию из С„(Р(М))

Rd).

Тогда,

s 6. СЛУЧАЙ С ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ

297

С вероятностью единица,

t

М (i) F (t,r (t)) - М (0) F (0, г (0)) =

J М (и) (LaF) (и, г {и)) dBa (и) +

О

t

+ jjtf ( « ) ( [ £ (и, г (и)) +

у {k0(M)F (и, Г(и)) + J (r(u))F(u, r(w))}]jdu+

О

t

+JМ (и) е (и) Qe (it)-1 та (“ * r (w)) — т т (w> г (“ ))

{А } (X (и))

(ц)+

о

д х

дет

+

е (и) r d (X (и)) е (w)-1 F (и, г (w))| d<p (и).

(6.36)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Как мы

отмечали выше,

диффузия

(r(t))

М>)А*

I

(6.37)

I

g (s) df (s,

(«)) =

j g (s) dj (s, r (s)),

где интеграл понимается

в

смысле

стохастического

интеграла по

семимартингалу s-< * •

/ (

«

.

А(«)Д(

)

) определяется,

подобно^

тому,•

г ( s

как и в замечании

6.2, а сумма

понимается

как

предел по

ssD

вероятности конечной суммы

• при е I 0.

A (s ) - A (s - )> e

Спачала мы докажем следующую лемму.

Л е м м а 6.5. Для любого t такого, что !Х( е

М,

dM(t) = ± M (t)J (r (t))dt,

(6.38)

т . е. если » E D, т о

для всяких

s < t таких,

что

[s,

f ] c ( 4 ( t t - ) ,

Л(и)) имеем

М (t) — М (я) = i-jМ (и) / (г (н)) du.

(6,39)

§ 6. СЛУЧАЙ 0 ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ

299

.4»метив, что P e(t)-lF(t, г) = 0, если г^дО(М ), и что

г(Л(н))«=

-

К2 (Л ( * - ) ) <?е(Л (.9

- ) ) _1 F (Л (S - ) ,

г (Л (.9 - ) ) ) ] .

(6.42)

В силу

(6.20)

и того факта, что

f

0^ находим

\1дм(Х (u))du =

о

d,K* (и) =

К (и) [е (u)-1 de {и) + - j R (X (и)) йм] Q —

— К(и)е (и)-1 de (и) 1Ш(X (и)) Q.

Поэтому, ясно, что d{K2(u)Qe(u)~'F(u, г(и))} имеет вид

gi(u)de(u)+ g2(u)du + gs{u)d{e{u)-‘l)+ g^(u)dF(и, r(u ))~

— IdM(X(u))K(u)e(u)~tde(u)Qe(u)~iF(ut r(u )),

где к »

g{ (и),

i = 1, 2, 3, 4, являются непрерывными справа

(IFi)-

опять

общей формулой (6.37), находим, что второй член в

(6.42)

заменяется выражением

А (8) А*

2 *

f

d[AL2(H)(?e(n)-1 P(M, r(u))l =

i

t

t

t

= j gi (u) de (и) + f g2 {u) du +

j g.4 (u) d (e (u)"1) +

j gt (u) dF (и, r (M)) =

о

о

о

0

= K 2(t) Qe (ty 1 F (t, r (0) - A:2 (0) Qe (0)“ ’ F (0, r (0)) +

t

+ J I<JM(X (и)) К (и) e (u)_1 de (u) Qe (w)-1 F (u,r («)).

О

В силу

(6.12) и поскольку

1ди(Х(и) )Pe(a)~‘F(u, г(и ))= 0,

полу»

чаем

t

j 1дм (X (и)) % (и) е (w)_1 de (и) Qe (w)~1 F (и, г (и)) =

О

t

=

— ]оК (и) е (и)-1 е (и) Г* (X (w)) е (u )'1 F (и, г (и)) dcp(и) =

t