§ 6. СЛУЧАЙ С ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ |
291 |
Согласно этой лемме мы находим, что X (t) определяет диффуиионный процесс на М и таким же образом, как в § 4, легко убе диться в том, что X(t) определяется оператором Дм/2 с граничным
условием ^ = 0 па дМ. Эта диффузия пазывается броуновским
движением на М с отражающей границей или просто отраженным броуновским движением на М,
Пусть Rd ® R" — алгебра всех d X d-мерныхdдействительных мат-
рпц а = (aj), спабжспная нормой ||аЦ2= 2 1 я] Г- Для наших
г.7=1
целей удобно определить умножение в К* ® Rd по следующему пра
вилу *): для а = (а-) и b = |
(bj), |
аЪ = (с]), где |
|
|
cj = |
a^L |
(6.19) |
Пусть Р = Ы ), где |
если |
i = d и / = |
d, |
1, |
|||
Р) = О |
в противном случае, |
||
и=
Вдальнейшем мы зафиксируем борелевскую вероятностную ме ру [1 на О(М) и сосредоточим наше внимание на вероятностном
пространстве (W (О (М)), |
fF, Рй). Определенный выше процесс |
r(t, w) = ( X (t, w), e(t, w) = |
w))) (также обозначаемый просто |
через r(t) = (X (6.12) c B(t) ваем следующее
(t), e(t) = (e|(2)))) является решением уравпения и ф(f). Следуя X. Апролту [2], мы рассматри стохастическое дифференциальное уравнение для
R" ® R d-3Ha4Horo процесса К ( t ) = |
(X j (t, ю))> |
|
которое описывается |
||||
следующим образом: |
|
|
|
О |
|
|
|
(I) для |
любого t > 0 |
такого, |
что |
|
|
(6.20) |
|
X (t)^ M |
|
||||||
dKl (t): = dK (t) P = |
К (t) \e {t)~4e (t) + |
j |
R (X (*)) dt}px (6.20)„ |
||||
где R (x) = (/?) (я)) — тензор Риччи; |
|
|
|
|
|||
(II) для |
любого t > 0 |
|
|
|
|
|
|
dK* (t): = dK{t)Q = К (f) [e (*)-1 de {t) + j R |
(X (*)) dfj I^ (X (f)) Q; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
(6.20)b |
(III) с вероятностью единица, отображение |
t >->■K l (t) = |
К (t)P |
|||||
непрерывно справа и имеет пределы |
слева. Кроме того, Kl(t) = 0, |
||||||
если X(t)^dM, и начальное значение задается равенством |
|
||||||
|
Kl{0 )^ I M(X{Q))e{Q)P, |
К2(0)= e(0)Q. |
(6.21); |
||||
*) Это соглашение используется только в этом параграфе. |
|
||||||
U* |
|
|
|
|
|
|
|
292 |
ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ |
||||||
З а м е ч а н и е |
6.1. (а) |
Точная формулировка |
(6.20)а следующая: |
||||
если непрерывный процесс У (t) определяется |
семимартингальпым |
||||||
интегралом |
|
« |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У (I) = |
J К (s) |е (s)-1 de (s)+ |
± R (X (s)) ds} P, |
||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
то, с вероятностью единица, |
|
|
|
||||
|
|
|
K 4 t ) - K l(s )= Y (t) - Y (s ) |
|
|
||
для всех s < |
|
|
о |
|
|
[st £]. |
|
t таких, что Х(и) е М для всякого и е |
|||||||
(Ь) |
Из |
(6.20) (II) |
автоматически |
следует, |
что функция |
||
K2(t) непрерывна с вероятностью единица.
Как показывает следующая лемма, вышеприведенное стохасти ческое дифференциальное уравнение можно также выразить в эк
вивалентной |
форме стохастического интегрального уравнения. |
||||||
|
Л е м м а |
6.2. |
Согласованный с |
потоком |
R'1® W -значный |
||
процесс K(t) |
является решением вышеприведенного стохастическо |
||||||
го |
дифференциального |
уравнения |
(6.20) |
с |
начальным условием |
||
’6.21) тогда и только тогда, когда |
|
|
|
||||
Kl {t)\ = К (i) Р = |
|
|
|
|
|||
= |
/<*<« [е (0) + |
J К (и) [в (и)"1 de (и) + ± |
R {X (и)) du]j Р + |
||||
|
+ I{t>О) [ |
К {и) [е (и)-1 de (в) + |
y f l {X (и)) dwj Р, (6.22) |
||||
|
|
|
т’(/) |
|
|
|
|
K2(t): = K (t)Q = |
|
|
|
|
|||
|
|
t |
|
|
|
|
|
= |
е (0) Q + |
JК {и) |е (u )-1 de (и) + |
- j R (X (и)) duj I ^ (X (u)Q, |
||||
где |
|
о |
|
inf {s; X (s) e dM}, |
|
||
|
|
|
|
(6.23) |
|||
|
|
|
а = oo, если |
{ } = 0 , |
|||
— момент первого достижения границы дМ для X(t), а |
|||||||
|
|
|
|
fsup {s; s |
t, X (s) е |
дМ}, |
|
|
|
|
Т ^ ~~ (О, если { } = 0 , |
|
(6.24) |
||
|
|
|
|
|
|||
— последний момент ухода с дМ до момента времени t.
З а м е ч а н и е 6.2. [ |
• попимается, конечно, как Y ( t ) — Y ( x ( t ) ) , |
x\t) |
t |
где У (/) — непрерывный процесс, задаваемый равенством У (t) = J*.
|
|
§ 6. СЛУЧАЙ С ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ |
|
293 |
|||||||
Доказательство просто и опускается. |
|
|
|
процессов |(£) = |
|||||||
Пусть S — совокупность всех R'1® Л^-значных |
|||||||||||
»» (|(£, w)j), определенпых на (W (О(М) ), |
|
Р) |
и согласованных |
||||||||
С (STt) |
таких, что t >-*•£ ( f) — непрерывная справа |
функция, |
имею |
||||||||
щая пределы слева п. н. и удовлетворяющая условию |
|
|
|||||||||
|
|
sup |
Ец [16(01*] < ° о |
для всех |
Т > |
0. |
|
(6.25) |
|||
|
|
< е [ о , Т ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определим отображение Ф : S |
S равенством |
|
|
|
|
|
|||||
ф 1(|)(*):=Ф (| ){t)P = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
АоХ) |
(°) + J £ (М) [ « (и)-1 de (и) + |
~ R (X (и))du j |
Р + |
|
||||||
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ho<t> J S (и) [e (w)“ 1cfe(n) + |
-j i? (X (u))dn |
P, |
(6.26), |
||||||
|
|
|
x(0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф2(|)(0: = Ф(5)(0<? = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
eQ + J £ (u) |
e (u)~Jde (u) + |
- j R (X (u)) du /о |
(Х(и))<?. |
(6.26)b |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
Пусть |
A (<) — непрерывная справа, |
обратная |
к |
t —►<p (i) |
функция. |
||||||
Положим |
, |
D = { s > 0 ; |
4 ( s - ) < 4 ( s ) } . |
|
|
|
(6.27) |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
Если t > 0 фиксировано, то т(£)=/1(ср(г)— ) п.н. Согласно ниже следующей теореме 6.6 находим, что если g(t) — (&~t)-вполне изме римый процесс такой, что t >->- [g (f)2] — локально ограниченная функция, то
j g(s)dBk(s) |
|
Г |
|
|
42' |
|
a |
2 |
,f |
g(s)dBh(s)\ |
|
||
|
|
_USD 1д(и-)Д4 |
|
J |
|
|
|
|
|
|
Ev |
( g (s)2 ds |
(6.28) |
|
|
|
|
Lo |
|
|
Отсюда легко показать, что для всякого |
Т > 0 существует |
констан |
||||
та К = К (Т )> 0 такая, что |
|
|
|
|
||
ЯвЦ Ф СШ ОГК -К ^ |
+ j |
|
для |
всех *€=[0, Т]. |
||
|
|
|
|
|
|
(6.29) |
Этим доказывается, |
что Ф(^) еВ, |
если | е В . |
Воспользовавшись |
|||
294 |
ГЛ. У. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ |
||||
опять |
(6.28), имеем для g, |
|
|
||
|
|
|
t |
|
|
Е» [||фт (t) - |
ф 00 (t) li2] < к | Е» [\ U s)-У ] (s) f ] ds, |
t s [О, Л . |
|||
|
|
|
О |
|
(6.30) |
|
|
|
|
|
|
Т е о р е м а |
6.2. |
Стохастическое |
дифференциальное |
уравнение |
|
(6.20) |
с начальным условием (6.21) |
имеет одно и только одно ре |
|||
шение К ( ( ) e S . |
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть | „еЕ , п = 0, 1, . . . определяются |
|||||
так: g0= 0 и |п = |
Ф(£п- 1 ), п = 1, 2, |
.... Воспользовавшись (6.30) |
|||
можем показать, что существует процесс £ е 2 такой, что
EU sup ||£«(0 — Ш И -*-0.
Тогда, очевидно, g — решение уравнения (6.22). Единственность также следует из (6.30). Рассуждения стандартны и подобны рассуждепиям из гл. III или гл. IV и потому мы опускаем детали.
' Пусть |
К (t) = (К) («, гг)) |
— решение |
уравнения (6.20) |
с на |
чальным |
условием (6.21), и |
определим |
М (t) = (М ) (t, wf) |
равен |
ством |
|
|
|
|
|
М {t, w) = К (t, w)e{t, гг)-1, t ^ 0 . |
(6.31) |
||
Т е о р е м а 6.3. M = {M(t, |
w)} является К1® Позначным |
МОФ |
||
{мультипликативным операторным функционалом) горизонтального
броуновского |
движения |
на 0{М) |
с отражающей границей-*) |
т. е. |
|||
(I) M(t, w) (&~,)-согласован, |
|
|
w)M(t, 0S, w) |
n. |
|
||
(И) для всяких t, |
0, M{t + s, w) = M(s, |
|
|||||
где оператор сдвига 0S: W(0(Hf)) -»-W( 0 ( . V ) ) |
определяется равен |
||||||
ством (Qsw) {t)= w{t + s). |
|
|
|
|
|
||
Д о к а з а т е л ь с т в о |
(I) очевидно. Чтобы доказать (II), за |
||||||
фиксируем s |
и положим R (t)= K(t + s, |
w), X(t) = X(l + s, |
w) |
и |
|||
e (t)= e(t + s, |
w). Тогда |
ясно, что |
R(t) |
удовлетворяет вышеприве |
|||
денному стохастическому дифференциальному уравнению (6.20) |
от |
||||||
носительно |
(X(l), e(t)). С другой стороны, применив оператор сдви |
|||
га 0, к K(t) находим, что K (t)— K(t, |
dsw) удовлетворяет тому же |
|||
уравнению |
относительно (А'.(I, |
Q,w), e(t, Q3w) = (X(t), e(t)). Если |
||
положим |
K'(t) = K(s, |
u-)e(s, |
w)~lK(t), |
|
то |
||||
|
|
|
||
K' (0) = К (s, w) e(s, w)~l (/^ (X (.9, w)) e (s, ir) P + e(s, w)Q) = |
||||
|
= К (S, K>) |
(R (S, If)) P + (?) = К (9, w) |
||
*) CM. [142].
§ 6. СЛУЧАЙ С ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ |
295 |
II силу (6.20) (III). Следовательно, R(t) и R'(t) удовлетворяют од ному и тому же уравнению с одинаковым начальным значением. Поэтому R ( t ) = R r(t) в силу единственности решения. Таким образом
K(t + s, w)=‘ K(s, w)e(s, w)~'K(t, 0,и?).
Умножая |
обе части этого |
равенства |
справа |
па |
e(t + s, |
w)~l = |
||||||
"°e(t, Qsw)~l получаем |
(II). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следующие леммы описывают некоторые свойства МОФ |
|
|
||||||||||
|
|
M = {M (t, и?)>. |
|
|
|
|
|
|
||||
Л ем м а 6.3. Если X (0) е |
дМ, то |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Pe(0)~'M(t)= 0 |
для всех |
t > |
0. |
|
|
|
|
||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Достаточно доказать, что |
Ре(0)~'К^)= 0 |
||||||||||
для всех t > 0. Если Х ( 0 ) е дМ, то |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ре (О)-1 К (0) = Ре (О)-1 (7^ {X (0))е (0) Р + е (0) Q) = |
PQ = 0. |
|
||||||||||
Так как |
R(t) = Pe(0)~lK(t) |
удовлетворяет |
уравнению |
(6.20), то в |
||||||||
силу единственности решения R(t)= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Л ем м а 6.4. Имеет место формула |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
М (t, Taw) = |
аМ (t, w) я-1, |
t ^ 0, а ^ О (d). |
|
|
|
||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Так |
|
как*) |
X(t, |
Taw) — X(t, |
w) |
и |
|||||
e(t, Taw)= ae(t, w), то |
сразу |
находим, |
что |
K(t, |
Taw)— aK(t, w) |
в |
||||||
силу единственности решения |
уравнения |
(6.20). |
Таким |
образом |
||||||||
M(t, Taw )= aK(t, w)[ae(t, н?)]-' = |
aK(t, w)e(t, w y'cr' |
= |
aM(t,w)a~\ |
|||||||||
чем и заверн1 ается доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Теперь мы можем решить уравнение (6.11). Прежде всего усло
вимся |
о следующем |
соглашении в |
дополнение к |
правилу |
умно |
|
жения |
(6.19): для d-мерного Ь = (Ь{) |
и а = (я]) е |
Rd ® Rd, |
аЪ= е |
||
является d-мерным вектором с = |
(с,), |
определенным равенством |
||||
|
|
Ci = |
а\Ьу |
|
(6.32) |
|
При этом соглашении |
(6.11) переписывается в виде |
|
|
|||
|
^ = \{b<KM)U + JU), |
|
|
|
|
|
|
U\l=0 = Ff, |
|
|
|
|
(6.11) |
^Ре~Ли + Qe~1 = 0 , если г = (х, е) е дО (М).
Болес общим образом, рассмотрим следующую задачу Коши для уравнения теплопроводности относительно R'-зиачных фупкций
*) В (2.31) это обозначалось через e(t, w)a. Здесь мы принимаем правило умножения (6.19) и поэто.му следует писать ae(t, w).