|
§ 5. СТОХАСТИЧЕСКИЙ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕПОС |
281 |
|
Пусть |
Т (х) — (T’jj}*.. Jq (г)) является (р, |
q) -тензорным |
полем, |
•ft FT(r) = |
(г)) — его скаляризацня. |
Это система |
гладких |
-функций на О(М). Пусть А — оператор Лапласа — Бельтрами, дей ствующий на тензорных нолях, определяемый равенством
(л г)‘х с ; ; = е » (v |
|
|
g ^ : : . ^ |
, |
(5.9) |
||
где VT — ковариантная производная |
тензорного |
поля |
Т относитель |
||||
но рвмановой связности. Согласно предложению 4.1 имеем |
|
||||||
т)'Х- 'Х ) (г) = |
F bT iX 'X (г) |
дл я в ся к и х |
|
|
|
||
|
|
|
*2» |
' * Ч |
/l» 7*21 |
* •М7<J' |
(j»lO) |
Действителыго |
|
|
|
|
|
|
|
А 0(М) { F - X X X ) = 2 |
(F ^ ; ; ; > |
) |
= 2 |
T|T2...Tp |
|
|
|
/■ v vTiJ?2...i<?aa ~ |
|
||||||
= | |
ei&ejft- ■.e}y\\fk\. ■-f^T )X X 'X = |
|
|||||||||
|
|
= i[eji... e)yl\A .. .faATife*? = |
|
||||||||
так как ^ ielae,a = |
gii. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a |
|
|
|
Qf)-тензорного |
поля / = (/(т )) |
определим си |
|||||
Для заданного (p, |
|||||||||||
стему функций |
|
U |
|
г) |
|
на |
[0, |
°о)ХО(М) |
равенством |
||
uifcXit, о - 4(^)Й::йис г , «;»] |
(5.и) |
||||||||||
для всяких ii, 12, |
..., |
iP, ]\, / а, |
..., |
/, = |
1, 2, ..., d |
Согласно |
теоре- |
||||
мо 3.1 |
|
— единственное |
решение уравнения теплопровод- |
||||||||
ности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W |
|
1 |
|
А |
Л7 |
|
|
|
|
|
|
щ ~ Т Л0(М)У, |
|
(5.12) |
|||||
|
|
|
|
VI , . . = |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
\ |
))j j ?2 * • ■•? q |
|
|
||||
|
|
|
|
U—0 |
|
|
|
||||
Так как F/ = {(F/)}’}*" |
|
является 0(й)-зквивариантпым, то с |
|||||||||
использованием |
|
(5.7) |
и (5.8) |
легко можно доказать, что |
U(t) = |
||||||
— \Puil- -jq (*• |
•)} |
О(й)-эквивариантно для всякого <S* 0. Следова |
|||||||||
тельно, существует |
единственное |
(р, |
д)-тензорное |
ноле u( t , - ) ~ |
|||||||
- {“ Й -'-’Й (*» •)} |
такое>чт° |
|
|
|
|
|
|
|
|||
282 |
|
ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МПОГООНРАЗИЯХ |
|
|
||||||||||||||
Согласно |
(5.10) |
ясно, |
что |
u(t, |
•) — единствеишое решение |
уравне |
||||||||||||
ния (5.1). Таким образом, |
уравнение |
теплопроводности |
(5.1) для |
|||||||||||||||
т ензорных полей решается единственным образом. |
|
|
||||||||||||||||
Далее рассмотрим уравнение |
(5.4) |
для дифференциальных форм. |
||||||||||||||||
Пусть |
а |
(х) = |
|
|
i |
х )(dx1•Д d x Д••• |
Д d xl‘' |
является р-формой. |
||||||||||
Так как |
риманова |
связность есть |
связность без кручения, |
то имеем |
||||||||||||||
|
|
|
( ^ |
Л ..Лр_г = |
J W |
|
l)v—1Vi ot. |
- |
i-l |
|
(5.13) |
|||||||
|
|
|
|
' . |
tv 4--.iv |
|
|
|||||||||||
где знак |
~ |
обозначает |
пропуск. Комбинируя |
это |
соотношение с |
|||||||||||||
(4.53), |
легко |
видеть, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(И г^-.Л р-! = |
- |
jrif,V/£0Ciii...ip_ i: = |
- |
|
|
. |
(5.14) |
||||||||||
В силу |
(5.13) |
и (5.14) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ЯГ |
|
< *«)., V |
, |
- |
2 |
( - |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
( |
|
S |
|
d |
|
a |
|
|
) |
|
V |
V iva i i r |
..?v ...ip* |
|
|||
Далее, ясно, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(U a)i1i2...ip = |
У У{агрг .Лр — ^2 (— 1) |
(У |
|
У Угу) ан,..Ду.-Л |
||||||||||||||
Отметим тождество Риччи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.15) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
(v,vh- |
y ky l)oLilit...i{l = |
Д |
^ |
|
: ;осч...ч,_1Лч.+1...{р |
|
|
||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B)hl |
= —%f/’j l ----—, (ft*;} |
+ |
(Ь |
|
it U’a) |
(A jl |
li’al) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
d x |
|
|
O x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
является компонентой тензора кривизны и B\j-i = ghaR)ai [30] Применив это тождество к (5.15), находим, что (5.15) можно пере писать в виде
(— a)i1i.r ..ip — |
^2 ( |
1) R-h-ivahi1...?v...i |
|
|
- 2 |
|X<VS |
( - i r v< 4 * , M 1r . . V . Vу |
Vv |
(5Л6) |
Соотношение (5.16) называется формулой Вейтзенбока |
[132], |
[39]. |
||
Для 1-формы а = аi(x)dxi |
|
|
|
|
C .ja)i = (Аос)» + В\а:, |
(5.17) |
|
$ 5. СТОХАСТИЧЕСКИЙ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС |
|
283 |
|||
1'Др |
/ / { = R 3.'h.\- В точности |
таким же образом, |
как и |
выше, |
па- |
|
КОДИ'М, что уравнение |
(5.4) |
эквивалентно следующему |
уравнению |
|||
ДЛн |
альтернирующих |
и 0(й)-эквивариантных |
систем |
V(t, |
• — |
|
*- |
г)\ функций на О(М): |
|
|
|
||
тг) ~
- |
4 - Ь |
к |
ы |
У |
, Г) - |
4 |
2 |
( - |
l)V f,(r) К |
я |
|
, (I. г) - |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V—1 |
|
|
|
|
|
|
у |
|
|
|
- 2 |
< - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о : |
- - ! - n |
o i » |
V |
) 1 A ...l,<«, г), |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.18) |
|
|
|
|
|
|
|
|
( 0 , f ) = |
( ^ / ) i 1i 2. . . i p (О » |
|
|
|
|
|
|
||||
где |
{/^(г)) — скаляризация тензора Риччи |
R\~R\‘^.'b |
а |
(/];'(г)} — |
|||||||||||||||
скаляризация тензора кривизны |/?!)?/}. Заметим, что в силу |
(5.16) |
||||||||||||||||||
^0(ЛГ)^а ™ |
а |
ДЛЯ |
ОС ^ |
А р ( Л / ) , |
|
уравнения |
(5.18) |
модификацией |
|||||||||||
Мы хотим |
построить |
решение |
|||||||||||||||||
математического |
ожидания |
в |
(5.11) |
весом |
типа |
Фейнмана — Каца. |
|||||||||||||
Д ля |
этого |
удобнее выразить горизонтальное броуновское движение |
|||||||||||||||||
r(t) |
па О(М) |
в |
каноническом |
виде. Пусть W (0 (M )) = C([O, |
<»)-*• |
||||||||||||||
'-О(М) — множество |
всех |
непрерывных |
функций |
|
w: |
[0, |
«>)-*■ |
||||||||||||
-*0(М ), & (W (0 (M ))) — о-поле |
на W (О(М)), |
порожденное |
боре- |
||||||||||||||||
лсвскими |
цилиндрическими |
множествами, |
a |
&t(W (0(M ))) — |
|||||||||||||||
о-ноле ца W (О(М)), |
порожденное борелевскими цилиндрическими |
||||||||||||||||||
множествами до момента времени £. Пусть Рг, г^О (М ), |
есть |
веро |
|||||||||||||||||
ятностный закон на W (О(М)) |
случайного процесса |
|
t —- г (£, г, w). |
||||||||||||||||
Пусть для каждого w е \\(0(М)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
M {t, w) = |
{M \ £ ;X (t, и-)} |
|
|
|
|
|
|
|||||||
является |
решением |
следующей |
системы |
уравнении: |
|
|
|
||||||||||||
|
ЧУ-'р |
(t) |
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
( - |
1)vM !S :::^ jv ,i" ip( o / i i (^(0) |
|
|
|
||||||||||
|
dt |
|
|
Y |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
V = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,2....... V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
- |
is |
( - |
l)11+vAf |
|
**+2''‘iv'iv+1'■ |
(t) A i' (W(*)), |
|
(5.19) |
||||||||||
|
|
H<v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м й :::2 (0 ) = б | ;^ ...б ^ . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ясно, что |
система |
уравнений |
(5.19) |
имеет |
единственное |
решение. |
|||||||||||||
Я силу единственности |
решения |
можем легко |
заключить, |
что для |
|||||||||||||||
284 |
ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
всякой перестановки а |
|
|
|
|
|
|||
|
|
M°(h)°(i2) - °(ip)' ’ U7/ |
J” V 2 -,PV ’ h |
|
(5.20) |
|||
|
|
|
|
|
||||
более того, решение системы |
|
|
|
|
|
|||
dyV 2"j/> |
|
|
|
|
|
|
|
|
di |
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
l’ S ” ( - |
|
|
( t) j f t (W(0), |
|
(5.21) |
||
|
| X < V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дгО^-^/о\ = а}1}*-{р |
|
|
|
|
|
|
|
|
■‘vi1V " lplUl |
‘lV -’P |
|
|
|
|
задается равенством |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
■й,для всяких ?i« **« •••’ **« h |
J |
v - ’U- |
|||
|
|
|
|
|
|
|
(5.22) |
|
Отсюда можем заключить, что*) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
+ |
* , « * ) - л й Х Х к , w })M ktfe::%(s, «о, |
(5.гз> |
||||
где |
<= W (0(A /)) |
определяется равенством |
(н;^) (<) = |
«;(£ + |
s). |
|||
Действительно, |
{л/ j ^ ” "^ (f + s, H7)J является |
решением (5.21), |
где |
|||||
w(t) |
заменено |
через wt (0 = w(t + s) и |
|
|
|
|
||
^ й :::^ (о ) = л /^ :;:^ (,).
Аналогично можем заключить, что |
|
|
|||
М \% Х(1, Taii') = |
Mh%\Xp(t, w b\\b\\- --biySal;. ••«,£ |
(5.24) |
|||
для а = (aj) е |
О (d)\ |
(bj) — обратная к |
(а)) матрица. |
Пусть |
|
(^/)i i i (/*)}— |
скаляризация |
заданной |
р-формы |
f(x) = |
|
=Д £&с*а Л •••Л dx'P.yi определим систему функций.
Uilir ..iv {t,r) на [0, ос)ХО(М ) равенством
|
|
(*’ г) = |
И |
Й - 4 (*. “О |
J* (w(0)(• |
(5-25) |
||
Из |
(5.20) |
очевидно, |
что |
(£/{да..д (£, 0 } — альтернирующая |
по |
|||
(i,, |
г2, ..., iP |
система, |
а |
из |
(5.24) следует, что она 0(й)-эквива- |
|||
M(t, |
*) .¥(<, w) |
является |
также |
,#<(\У(6>(ЛГ)))-измеримьш. Таким образом, |
||||
(т)-частный случай мультипликативного операторного функционала |
|
[142]. |
||||||
§ 6. СЛУЧАЙ С ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ |
285 |
риантна. Следовательно, единственным образом определяется семей ство р-форм а, (ж) - Д dxl* Д •••Дс£г,/>) такое, что Vixir ..ip{t, г) = ( ^ ) i lj2...i;)(0- Если !FiiV ..i?)(C г)} — система глад ких функций, определенных на [О, °°]Х О (М ), то по формуле Ито
гГ"Ч> |
|
н;) v i |
ц;( 0 ) - |
EilV ..ip(0, г) = мартингал + |
||
t |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
+ |
T Ao<M)E;lj2...;p)(s, w(s)) ds - |
О |
|
|
|
|
|
|
/, |
f |
г> |
. . |
|
|
|
{ |
E |
( |
- |
|
к о ^ > ( * ) ) ^ , и *» + |
|
0 |
'v”=> |
|
|
|
|
|
+ h '2% |
V ( - i r |
+^ / f e : : j |
! I',j*‘+s- iv'Jv и - ^ (a, W) J H 1 (W is)) X |
|||
j i < |
v |
|
|
|
|
|
|
|
x |
V}i}r..}ll(s, |
H7(s))Jda = мартингал + |
||
|
|
t |
|
|
|
|
+ |
|
|
M i |
v + |
i |
^ « 4 л . л , < * ” W>*' (5'20) |
Воспользовавшись этой формулой, можем так же, как и в § 3, за ключить, что и (t, г) = |^г,г2...г„(С г)\ — единственное гладкое решение уравнения (5.18) и, следовательно, at(x) — единственное решение уравнения (5.4).
Малливэн [111] воспользовался вышеприведенным рассуждением и получил интересное обобщение теоремы Бохнера об обращении в нуль [188] для гармонических 1-форм.
§ 6. Случай с граничными условиями
Мы теперь обсудим аналогичное .вероятностное построение ре шения уравнения теплопроводности (5.4) для дифференциальных форм в случае многообразия с краем*).
Пусть М — римапово многообразие размерности d с гладкой гра ницей. Внутренность и граница многообразия М обозначаются че
рез М и дМ соответственно. Вблизи границы мы можем выбрать
координатную |
окрестность |
U и |
|
систему локальных координат |
ж = (ж\ ж2, ..., жД в U так, что xd^ |
0 для всех x^U, а ж е ( / П дМ |
|||
тогда и только |
тогда, когда |
xd= |
0. .Касательный в точке ж дМ |
|
) Материал этого параграфа заимствован из [58] и [16].