§ 4. НЕВЫРОЖДЕННЫЕ ДИФФУЗИИ |
271 |
условию (4.18), так как
gmqTlp gpmXiq = —j gpq — gmq (;p ) — gpm{/g ) ■
— JZTl (gmq&l bp— gmqglpbm+ gpmbfbq — gpmglqb ) =
= — J=2\ (glqbp— bqg,p + g,pbq— g;qb,) = 0.
'Гак же
4*№(Ь*1 - г}*) = - j — g ' ^ ^ - g , ^ ) =
(П) Спачала мы отметил! следующее тождество для любой аф финной связности (Г]*}, совместимой с g: если [Т)и1 — тензор кручения и S}k = gimgjnTmh, то
|
rj/i = {/л! +~пT}k+ -j (Sjh + |
|
|
(4.36) |
||||||||||
Действительно, в силу |
|
(4.18) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
<>hg-V— g A |
— g>mTl:} —0, |
|
|
|
|
|||||||
|
|
< ) х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
j g«h — gm h Tjs |
|
tfsml jh — 0, |
|
|
|
|
||||
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— ~ ^ g jl t + gm hi'Tj + /ТдпГГь = 0. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Поэтому, согласно |
(4.19), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
I i i |
\ J s f д |
|
|
0 |
|
d |
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
(^ft 8у -r ~ i 8sk - |
^ &*) - |
|
|
|
|
|
|
||||||
= 4 gisgm}(IT. - |
n ) |
+ \ g isgmh(г™ - |
г™) + i. (r|tj + rj„) = |
|||||||||||
= — Y (SJ><+ s h) + 4 |
( Г'Ь' + |
rjft) = |
— \ (s )h + |
$!<]) + |
rjk — ~ |
T)h. |
||||||||
г1'ем |
самым (4.36) |
доказано. Так |
как |
g1 7 )к = |
0, |
то |
(4.34) |
вы |
||||||
полняется в том и только в том случае, если |
|
|
|
|
||||||||||
|
g’kSjk = |
gjkS’jlh |
для всех |
г = |
1, 2, |
|
|
|
|
|||||
т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
gi"gimg;n (тптк- |
Т'£) = gim(Tnmn - |
T’Z ) |
= 0 , |
i = 1, 2, . . . , |
d. |
|||||||||
Наконец, это эквивалентно следующему: |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
gbigin {Tin - |
7’mn) = |
{Tin - |
|
Til) = |
0, к = |
1, 2, ... , d. |
|
||||||
272 |
ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ |
|
|||
Отсюда легко убеждаемся, |
что соответствие |
между V = |
(Г]/,} |
||
и -Ъ, |
определенное |
равенством |
(4.33), является |
биекцией, |
если |
d = 2, |
тогда как при |
d > 2 оно |
является много-однозначпой |
сюръ |
|
екцией. |
|
|
и А — дифферен |
||
Пусть М — дифференцируемое многообразие |
|||||
циальный оператор второго порядка на М, выражаемый в локаль ных координатах в виде
Aj (г) = 1 |
(х) - f L , (х) + |
V (х) М- (*), |
/ е F (М), |
(4.37) |
* |
дхгох* |
Ох1 |
|
|
где {а’3{х)) симметрична и неотрицательно |
определена*). |
Если |
||
(а<3(х)) строго положительно определена, т. е. |
|
|
||
а<3(х)%{%} > |
0 для всех х |
и | = (| ()е= Rtf\{0>, |
(4.38) |
|
то оператор А называем невырожденным. Соответствующая Л-дцф- фузия также называется невырожденной. Теперь любая невырож денная диффузия на М может быть построена но теореме 4.2. Дей ствительно, пусть А — невырожденный дифференциальный опера тор. При замепе локальных координат (ai}(x)) и (Ъ\х)) преобра зуются соответственно по формулам
а11(х) = |
дхг дх1 |
|
(4.39) |
|
а'“ ( х ) ^ |
|
|||
|
|
дхк Ох1 |
|
|
И |
|
|
|
|
|
|
i)xhaxl |
(4.40) |
|
|
|
|
||
Из (4.39) следует, |
что |
(а,3(х) ) — тензорное |
поле типа |
(2, 0), и |
поэтому обратная |
к нему матрица (gij(x)) |
определяет |
тензорпое |
|
поле тина (0, 2), которое также симметрично и положительно
определено. Таким образом, оно определяет римапову |
метрику g |
|
на М, н поэтому М — риманово многообразие. Далее, имеем |
||
|
А = \ А м + Ъ, |
(4.41) |
где b = Ь1(х) —г задается равенством |
|
|
|
дхг |
|
|
bi { x ) = h i{x) + \ g li\ii\ |
(4.42) |
Очевидно, |
Ъ— векторное поле па М. Выберем теперь |
аффинную |
связность |
V = {Г]„} на Л/, совместимую с g, такую, что**) |
|
Ь1( х ) = ^ тк({т1и} - Т 'тк).
*) |
Эти свойства (atj (х)) не зависят от выбора локальных координат. |
**) |
gmk — amk ,10 определению. |
§ 4. НЕВЫРОЖДЕННЫЕ ДИФФУЗИИ |
273 |
Ото всегда возможно в силу предложения 4.3. Л-диффузия теперь строится так же, как и в теореме 4.2.
З а м е ч а н и е 4.2. В этом построении Л-диффузии мы восполь зовались аффинной связностью. Л-диффузию можно также построить с использованием лишь римановой связности Vя. в этом случае мы
сначала |
строим |
поток диффеоморфизмов |
r(t) = (r(t, |
г, |
w) ) |
на |
|
()(М) |
как решение стохастического дифференциального |
уравнения |
|||||
|
|
|
dr(t) = Ea{r(t))°dw,‘ (t) + L0(r{t))dt, |
|
(4.43) |
||
где (£,, |
Г 2, ..., |
L<i) — система канонических горизонтальных |
век |
||||
торных нолей, соответствующая связности Vя, а векторное поле |
|||||||
сноса |
.Г,, — горизонтальный лифт (относительно связности |
Vя) |
век |
||||
торного |
поля Ъ. Тогда Л-диффузия Х(1) |
получается проектирова |
|||||
нием: X(t) = n\r(t)\ |
|
|
|
|
|||
Исследуем, наконец, некоторые задачи, связанные с инвариант ной мерой невырожденной Л-диффузни. Для простоты будем пред полагать, что М компактно и ориентируемо. Как мы видели выше,
без потери общности можно предположить, что М — риманово |
мно |
гообразие и Л имеет вид |
|
Л = Ам + Ь, |
(4.44) |
где Дм — оператор Лапласа — Бельтрами и bsS( M) . Пусть ( P J — система диффузионных мер, определенная оператором Л (т. о.
Л-диффузия). |
Р* — вероятностная |
мера |
на*) |
W(M). Переходная |
|||||
полугруппа Т, |
Л-диффузии определяется равенством |
|
|||||||
(7 V )(z)= |
j |
Hw{t))Px{dw), |
/ е С ( М ) . |
(4.45) |
|||||
|
|
|
W(М) |
|
|
|
|
|
|
Пусть Q — область |
(т. |
е. |
связное |
открытое |
множество) |
в М, в |
|||
определим p°ipe\V(Q), |
n;e\V(M), |
равенством |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
если |
t < |
T Q {W ), |
|
|
|
|
|
|
|
если |
t > |
T Q Or), |
|
|
где т0(ш)= inf {/: |
w(t)^Q}. Мера-образ |
меры |
Px (те£1) |
при ото |
|||||
бражении р° обозначается через Р*. Эта мера является вероят
ностной мерой па W(Q). Как легко |
видеть, 1Р*1жга определяет |
|
диффузию на Q; эта диффузия называется минимальной Л-диффу- |
||
зией на Q. Переходная полугруппа этой диффузии определяется |
||
равенством **) |
|
|
(T?f)(x)= .f f(w(t))PQx(dtv)= |
f |
Hw(t))I{XQ{w >t]Px(dw), |
\V(Q) |
\V (M ) |
/ e C b(Q). (4.46) |
_______________ |
|
|
*) 'Гак как .V компактно, то W(A/) = |
W (M) — множество всех непрерыв |
|
ных путей (траекторий) в М.
**) Мы полагаем /(А) = 0 для / е Сь(Й). 18 с. Ватанабэ, Н. Икэда
274 |
ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ |
|
||||||
О п р е д е л е н и е |
4.3. Борелевская |
мера, р (dr) |
па М называет |
|||||
ся инвариантной мерой Л-диффузпи (Рх), если |
|
|
|
|||||
|
| ТJ (х) р (dr) = |
i/(r)p (d r) |
для |
всех |
/<=С(М). |
(4.47) |
||
|
м |
|
А/ |
|
|
|
|
|
О п р е д е л е н и е |
4.4. (I) Л-диффузия (Рх) называется симмет- |
|||||||
ризуемой, если существует борелевская мера v (dr) |
на М такая, что |
|||||||
j |
Т </(х)8 (х) v (dr) = i |
/ (г) (Ttg) (х) v (d x ) |
для |
всех |
/, g е |
С(А/), |
||
ы |
|
м |
|
|
|
|
|
(4.48) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(II)Л-диффузия {Рх} называется локально симметрируемой,
если (d*j |
симметризуема для всякой одпосвязной области Q c f , |
|||
т. е. если |
существует |
борелевская мера |
v°(dr) на |
Q такая, что |
j T?f(x)g (х) vQ(dx) = |
f/ (x) T®g(x) v° (dr) |
для вссx |
/ , g e Q, (Q). |
|
h |
s> |
|
(4.49) |
|
|
|
|
|
|
Ясно, что если {P*} симметризуема, то мера v в (4.48) является инвариантной мерой.
Дифференциальная 1-форма ©6 определяется по векторному нолю Ъравенством
©b — bi(x)dx\ |
(4.50) |
где Ь= Ъ1— и bi — gtjb’ в локальных координатах. В силу хоро
д х х
шо известной теоремы де Рама — Кодаира [39] он допускает сле дующее ортогональное разложение *):
ю6 = dF + б? + а, |
(4.51) |
где F^F(M), ^ — 2-форма, а а — гармоническая 1-форма. Напомним некоторые основные понятия. Внутреннее (скалярное) произведе ние определяется па совокупности АР(М) всех р-форм равенством
|
|
|
|
|
(а, р ),= |‘ <а, (J>dc, |
(4.52) |
|
|
|
|
|
м |
|
где |
а = |
2 |
■<ip |
ai1Л)»- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р = . |
. 2 |
. |
Р |
|
i dx |
|
i |
|
-<>р |
*1’*2’’*' |
|
|
|
|
|
|
|
Jpl |
|
|
=8 |
|
|
|
|
|
|
*) Относительно внутреннего произведения, определенного ниже равенст вом (4,о2).
|
|
§ 4. НЕВЫРОЖДЕННЫЕ ДИФФУЗИИ |
|
275 |
|||
й dx — элемент объема, определенный равенством |
|
|
|||||
|
|
dx = ydet (gjj(x) )dx'dx2 ... |
dx*. |
|
|
||
Оператор б: Л„(М)-> A„_,(M) |
определяется равенством |
|
|||||
(da, |
РЬ = (а, бр)Р- „ |
а е А Р-,(М ), |
ре=Лр(Л/). |
(4.53) |
|||
Лапласиан |
де |
Рама — Кодаира |
□: |
АР( М ) А Р(М) |
определяется |
||
равенством |
|
□ = _(rffi + |
Sd). |
|
|
(4.54) |
|
|
|
|
|
||||
а^Ар(М) |
называется гармонической, если |
Da — 0. |
Совокупность |
||||
всех гармопических //-форм обозначается через 11Р(М). Известно,
что Da = 0 |
тогда |
и только |
тогда, когда |
da = 0 и 8а = 0. |
Для |
||||
/ е F(M), g |
r a |
d |
(М) |
определяется равенством |
|
||||
|
|
|
|
grad/ = gij^ - ^ |
|
(4.55) |
|||
|
|
|
|
|
|
ох' дхг |
|
|
|
и для X e J ( f ), |
div X ^ F ( M ) |
определяется равенством *) |
|
||||||
|
divX = |
-6<ex = |
47= L = ^ I (X i / Ш С ) . |
(4.56) |
|||||
|
|
|
|
|
|
У det G |
д х ‘ |
|
|
Тогда оператор Лапласа — Бельтрами |
(4.32) также задается в виде |
||||||||
|
AAf/ = div(grad/) = —bdf |
для |
f^F( M) . |
(4.57) |
|||||
Легко видеть, что р — инвариантная мера А-днффузии (Рх) тогда |
|||||||||
и только тогда, когда |
|
|
|
|
|
|
|||
|
[ Af (х) р (dx) = |
0 |
для |
всех |
/ е F (М). |
(4.58) |
|||
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
Действительно, согласно теореме 3.1 мы знаем, что u(t, x ) — T,f(x), |
|||||||||
f^F(M), является единственным решением уравнения |
|
||||||||
|
|
|
15 = Ли(*’ х)' |
|
|
|
|||
|
|
|
I |
lim |
u(t,y) = |
f(x). |
|
|
|
|
|
|
U l 0,2/-»* |
|
|
|
|
|
|
К тому же мы видели в доказательстве теоремы 3.1, что Au(t,x) =
= Tt(Aj)(x). Поэтому, если выполняется |
(4.47), |
то диффорепци-* |
||
рованием но t получаем |
|
|
|
|
f Т( (Af) (х) р (dx) = 0 |
для всех |
/ е ^ (М). |
||
м |
|
|
|
|
Устремив НО, |
получаем (4.58). |
Обратно, |
если |
удовлетворяется |
•) С = (Su) и |
X = |
|
|
|
18*