306 |
ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НЛ МНОГООБРАЗИЯХ |
|
Теперь докажем (II). В случае (а), формула (6.49) принимает вид
|
ЩЫ |
|
_ |
t |
|
|
2 * |
j |
g (и) dBl(п) = |
J g (и) dBl(и), |
i = 1, 2, . . . , d — 1, |
(6.64) |
|
SSD A(s-)At |
|
0 |
|
|
||
И |
|
A(s)Af |
|
j |
* |
|
|
|
|
|
|||
|
2 * |
j |
g(u)dBd(u) = j g(u)dBd(u) + Jg(M)dcF(a). |
(6.65) |
||
|
5=0 А(8-)Л( |
|
о |
о |
|
|
Докажем (6.65). Будем называть g(s) |
ступенчатым процессом, если |
||||||||||||||
существует |
последовательность |
(j?f (W (D))) -моментов |
остановки |
||||||||||||
00 = |
0 < |
О! < а2 < |
•. •< |
On . . . |
°° |
|
и |
(W (£>))}- измеримая слу |
|||||||
чайная |
величина |
gi |
такая, |
что |
g(s) = gu |
если s <= [ощ1+1) |
для |
||||||||
1 = |
0, 1, .. . |
6.6. Пусть |
g(s) — ступенчатый |
процесс. |
Тогда |
(6.65) |
|||||||||
Л е м м а |
|||||||||||||||
имеет место. |
|
|
Если, |
например, g(s)*»l, то (6.65) спра |
|||||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|||||||||||||||
ведливо тривиальным образом. Действительно, |
|
|
|
|
|||||||||||
A(s)A* |
|
A(sjA* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f |
dBd (и) = |
J |
dXd( t ) ^ X d(A {s)/ \ t)-X d(A(s-)/\t) = |
|
|||||||||||
A(s-)A« |
|
A(S-) A* |
|
|
s e |
Dp, |
A (s) ^ t или |
|
A (s — ) |
|
|||||
|
|
|
0, |
|
|
|
|
, |
|||||||
|
|
|
X d(i), |
|
|
|
S G D p, |
A (s — )sg^£ < A ( s ) |
|
|
|||||
|
|
|
xd(aAi)-xd(0), |
s = |
0, |
|
|
|
|
|
|
||||
и поэтому левая часть равенства |
(6.65) |
совпадает с Xd(t) — Xd(0)=* |
|||||||||||||
= Bd(t)+ ср({). Аналогичное рассуждение применимо |
и |
в |
случае |
||||||||||||
общего ступенчатого процесса g{s). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Л е м м а |
6.7. Пусть g {s )~ ^ ((W (D))-согласованный процесс та |
||||||||||||||
кой, что функция s *—*■g (s) непрерывна справа и имеет пределы сле ва. Тогда для всякого е > 0, существует ступенчатый процесс ge(s) такой, что
|gE(s) — g (s) К |
e для всякого s. |
(6.66) |
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть |
{а„} определяется следующим обра |
|
зом: do = 0 и |
|
|
On = inf{ * > оп- й \ g { t ) — g (О п -1)|>е)Д тг .
ОО
Тогда а„ t оо и ;gE(s) = 2 8 (®n) 1\оп,оп+л («) имеет требуемые свойства.
Л е м м а |
П—0 |
1 |
J |
6.8. Для %^-dD и t > |
0 положим |
||
р}'1(В) = |
nl (B \ a > t)= |
[В; а > 3 - для В е=Я {Ж {0)). (6.67) |
|
|
|
(0 > |
f) |
§ 6. СЛУЧАЙ с ГРАНИЧИВШИ УСЛОВИЯМИ |
307 |
Тоеда р5-*— марковская |
мера |
на Ж(В), сосредоточенная на |
(w е W (D ) ; w(0 )= | , o (w )> t } |
такая, что |
|
{ш; w (tj) «= Еу, w (t2 s |
E2, ... ,w (t„) <= En} = |
|
= | dxx Jdx2 ... J |
(tu Ху) П P {ti, хй ii-м, xi+1) |
(6.68) |
|||||||
E ! |
E 2 |
E „ |
|
i= i |
|
|
|
||
Зля 0 < tt < |
t2 < ... < |
t„ < t и Ei& 38(D). В |
вышеприведенном |
со |
|||||
отношении |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Kl (s,x) = |
K~'r (s, x — |)h(t — s, x) |
s > 0, |
x<=D, |
|
|
||||
|
|
|
K(t) |
|
|
|
о |
|
|
p(s, x; u, y) = |
h (t - и, |
у) |
Q |
|
0 < |
s < и < t, x, у e |
|
||
h (l — s , x ) E |
(u — s, X, y), |
D, |
|||||||
|
|
j> (s, |
|
ca |
|
|
|
||
h (s, x) = |
|
^7= ] |
elp{ - i} j 4 |
|
|
||||
и |
|
D |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д (0 |
= |
f « + (tI *)da: - |
Л |
|
|
||
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
где K+(t, x) |
и p°(t, x, у) |
определяются так же, как и в гл. IV, |
§ 7. |
||||||
Доказательство леммы легко следует из свойств меры п. |
|
|
|||||||
С л е д с т в и е . Процесс |
* |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bd(s) = wd(s)— j |
A(t, и, w(u))du |
(0< l s < t ) |
|
|
||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
является одномерным броуновским движением относительно веро ятностной меры рЛ‘ на W(D), где
/ 0
y—dh ( t - u , x)
А (t, и, х) =
h(t — и, х)
—(х"'У’
ехР12(Г=Д)
(6.69)
|
|
|
|
j exp{-2TT=T)}dt) |
|
Л е м м а |
6.9. |
Пусть |
g (s )~ ограниченный |
Ш,(\\(0)))-вполне |
|
измеримый процесс. Тогда для фиксированных |
s, w ^ W (D ) и лю |
||||
бых е 3* |
е' > |
0 |
|
|
|
р/ |
|
|
|
|
|
f j |
Ф ? (“ » |
» ') diy'd («) Ло(»')>в)П"(*) (dir') < |
( | / * - | + 1) 1glU |
||
|
|
|
|
|
(6.70) |
ede ! g |* — sup |g(n, w) (, |
а Фв определяется равенством (6.60). |
||||
20*
308 |
ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Согласно следствию к лемме 6.8, |
j |
] |
(и, w, w') dwd (и) |
Ло(«c')>e>^,0(S) (dw') ^ |
|
|
|
|
|
|
|||||||
JT(D) |
о |
( 8f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
I |
| j Ф*g ( u , w , w ' ) d b d (u) |
^ ’e (dw’) n ' « s)(e(w ’) > |
z) + |
|
|||||||||||
|
ar’(D) I о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' 8' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
j j |
|Ф ,* ( и 1и > ,и ;')4 (в ,и , |
|
H |
) | d J |
^ |
(S)’6(du;' ) и№(8) |
|
|
|
|
|||||
IF’(D) lo |
|
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< | S | , e ' . / = y ^ |
+ |
l s U < ( |
/ |
I |
+ 1 ) , sU> |
|||||||
где мы воспользовались следующими фактами: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
« |
Ч |
° |
И |
|
> x)dx*=е ) =У |
|
[ |
я |
|
+ |
(е, |
|||
|
\А (е, и, w(u))du |
И*’8 {dw) п1(о (w) > |
е ) < |
|
|
|
|
|
|
|||||||
yp(D) L о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
j А (e, и, w(u))du |
(xs,E(dw) n£ (a (w) > e ) |
= |
|
|
|
||||||||
|
|
W(O) Lo |
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
= |
( |
Wd (e) nl (dw) = J *dK+ ( e , x - t ) d x |
= 1. |
||||||||||
|
|
|
|
)T(D) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть |
теперь |
g(s)— {$, (W (D) )} — вполне |
измеримый |
процесс |
||||||||||||
такой, что функция |
s<-+ b(g (sf) |
ограничена |
на |
каждом |
ограни |
|||||||||||
ченном интервале. Введем следующие обозначения: |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
s e(t)= |
|
2 |
|
A(s)\t |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.71) |
||||
|
|
|
|
|
A(e)-A(e-)>e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
t |
г |
Го(ш')Л((-«) |
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
-I |
||
Y e(t) = ]d<f(s) |
j |
j |
|
Ф |
> , |
w, w') dwd(u) h a w ^S n ^’^dw') , |
||||||||||
|
0 |
Lr(D)i |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.72) |
|
|
|
|
|
Me(t) = |
St( t ) - Y . ( t ) . |
|
|
|
|
|
(6.73) |
|||||
Л е м м а 6.10. При e I 0 M e(t)~^ \g(s)dB^(s) в 2%(P).
§ 6. СЛУЧАЙ С ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ |
309 |
Д о к а з а т е л ь с т в о . Положим (f-*)Ao(ti>')
/2 (s, w, w') |
= |
j |
Фg{u, w , w |
(s) + w ') d w 'd{u) |
для |
OsS^ss^f, |
|||||||||
|
|
|
0 |
|
|
» s W ( D ) |
и |
|
|
|
|
(6.74) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
w’ e = T 0 (D). |
||||||||
Тогда, очевидно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
сЛ t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M, (f) = |
j |
g (U dBd(и) 7(0>e) + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0 |
|
|
<P(0 |
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f 4 A (s~ ), PA(S—)^* w ) ^{<т(®')>8) Яр ([dsdw ) |
|||||||||||
|
|
|
+ |
i |
|||||||||||
|
|
|
|
о |
жуо) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(uo доводу |
стохастических |
интегралов |
см. гл. II, |
§ |
3). Следова |
||||||||||
тельно, |
для |
каждого |
фиксированного t |
M,(t)-+- M(t) |
|
в 2%(Р) при |
|||||||||
е -*■ 0, где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a/\t |
|
|
|
<р(0 |
|
|
|
|
|
|
|
__ |
|
|
м (t) = |
J |
g (и) dBd (и) + |
j |
) |
ft (A (s - ) , |
p ^ X |
, |
w') Nv {dsdw') |
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
0 |
JjP0(D) |
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
|
|
"oAi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
E(M{t)2 = E |
f |
g(ii)2du |
+ £ jdq>(s) |
(/! |
(s, psX, w')\2n{dw')j = |
||||||||||
|
|
|
L 0 |
|
|
|
Lo |
r |
0(D) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
E \g(uf du\. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.0 |
J |
Предположим, что процесс g(s) ограничен и докажем, что M{t) является {9St(W (D) ) }-мартингалом. Достаточно показать, что для любых ограниченных измеримых по Борелю функций Fl{w), F2(w) на W (D) и 0 < ti < £2
где |
E(M{t2)H) = E{M{tl)H)1 |
|
(6.75) |
||
|
|
|
|
|
|
НИ |
= F, (Рл^)-)®) F*(Р*1-А(Ф((1)-) [вА(Ф((1)-)Ю]). |
|
|||
Для доказательства (6.75) |
установим следующую оценку: |
|
|||
|
E{Mi{tt)H) = E{Mt(tl)H )+ o {l) |
(е 1 0). |
(6.76) |
||
Во-первых, ясно, что |
|
|
|
|
|
/°Л<2 |
\ |
/вЛ*1 |
|
\ |
|
Е [ j g {и) dBd (и) / {а>е}Я j |
= Е Ц |
g{u)dBd {и) 1{0>В}Нj + |
о (1). |
||
3 10 ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ
В силу мартингального свойства стохастического интеграла относиТЛТП.ИП /V^ *
твльно Nr,
rf(f2)
L e |
5Го<"> |
|
|
|
w' ) I<ouo')>t)Np{dsdw')H |
|
|||||
|
|
|
/i*(4 |
(» - w) .) ho{u>r)>t) Np(dsdu/) fl"j. |
|||||||
|
*('i) |
|
|
||||||||
|
L оI |
r„(D) I |
|
||||||||
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<Р(«!) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
)>e}Np(dsdw') = |
|
|||||
о JT0(D) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=Оа,««Г((]),О(0д(,_)Л)>е^ 2 ( Л ( 5 ' |
) |
’ Р д ( * - ) х |
- P a D |
f 0 A ( S - ) X |
] ) - |
|||||
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
0 d(p (S) y$ iD/ ‘ (Sl P*X ’ “О |
|
|
(dw'): = |
/ ' _ |
|||||
где |
рсш[0л(.-)Х] = |
рав[еЛ( |
|
х ] - Х и (9 -- д \ |
|
г, |
в < Ъ — Ъ и |
||||
|
то |
|
|
|
|
v |
) ) • |
|
Е сли |
||
I" |
/>2 (s>Р-Д> w ) 1{а(и>')>е)П (dw') = |
|
|
|
|
|
|
||||
3ri(D) |
" (J2—*)AtrCic') |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
j p \ D ) |
3 |
Ф# (^i рД, w )dw'^‘( и ) |
Ti<HV)>einXW (dw') = |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
- |
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
j Фg(M>рД , w')dw'c (u) |
|
|
||||||
|
|
|
ЖФ) |
|
(cfo/) |
||||||
и поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
j йф <s) |
f ; |
(s, pA , |
KJ') / И(„ , >вд* („ ^ |
|
+ |
|
|
|||
Pi-*) |
|
- I |
Ф П «-р8Х 1!о- |
0 |
) dw d(U)j |
Если обозначим второй член через лс
0 ve), то, согласно лемме 6.9,