Материал: Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

316 ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ ПА МНОГООБРАЗИЯХ

С л е д с т в и е . Тождество
А(j)At						t
2 *	i	g (и) df (и, X (и)) =				J g ( u ) df (и, X (и))		(6 .7 9 )
s e D A ( s - ) M						О
справедливо для всякой гладкой функции / (и, х )							на [0 , °°) X	D тог
да и только тогда, когда
ati (х) =	0 и	р*(х) =	adJ —		тождественно		на dD,	(6.80)
			a	(J.)
		i, / =	1, 2,		... ,d — 1.
О п р е д е л е н и е		6.2. Процесс X называем нормально отражен
ным диффузионным		процессом,		если		выполняется условие		(6.80).

§ 7. Стохастическое вариационное исчисление Малливэна для винеровских функционалов

Как мы видели выше, сильные решения стохастических диффе ренциальных уравнений являются функционалами от броуновских движений. Такие функции часто называются винеровскими функци оналами или броуновскими функционалами и изучались многими авторами с различных точек зрения (см., например [82], [67], [85] и [21]). Недавно П. Малливэн ([106], [107]) дал новый подход к анализу винеровских функционалов, в частности, к анализу силь ных решений стохастических дифференциальных уравнений. Затем он применил этот метод к проблеме С” -гипоэллиптичности уравне ний теплопроводности. В этом параграфе мы дадим введение в эту интересную работу Малливэна, ограничиваясь случаем евклидовых пространств. Малливэн определил понятие производных для вине ровских функционалов в терминах процессов Орнстейна — Уленбека над винеровскими пространствами. Нам удобпее здесь восполь зоваться формулировкой, данной Шигекава [182].

Прежде всего дадим точное определение нроизводпых для вине ровских функционалов. Что касается r-мерного винеровского прост

ранства (w„r,^ ( w O ,P w), то оно уже было введено в этой книге:


WJ — совокупность		всех непрерывных функций w : [0,	°°)	Rr та
ких, что w{0 ) = 0 с		топологией равномерной сходимости на ограни
ченных интервалах, Ш(W J)— топологическое о-поле и			P w — вине-
ровская мера	па (W Q, $ (W#)). В этом параграфе мы		ограничива
емся случаем	конечного временпого интервала [0, Г],		где	Т > 0 —

произвольное, но фиксированное			число. Мы пользуемся тем же обо
значением WJ		для совокупности всех непрерывных функций
w: [0, Г]	Rr	таких, что w(0)	= 0. Пространство	W p — бапахово
пространство	с	нормой *) \|)ш\| =	max \|w( t ) \|. Через	$ (W J ). будем
________________		0«!«Г

*) Все векторные пространства предполагаются вещественными.


§ 7. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ МАЛЛИВЭНА		317
обозначать пополнение о-поля	(WJJ) по мере Pw. Любая измери-

мая функция, определенная па винеровском пространстве (Wj,,

a {w i ),p w), называется винеровским функционалом. Два винеровских фупкционала F, и F2 (определенные на одном и том же прост ранстве) отождествляются, если Ft (w )= t\(w) для Pw-почти всех

w. Пусть II — подмножество WJ, определенное равенством

5 = { ic e	WJ; каждая компонента вектора w
	абсолютно непрерывна и имеет интегрируемую
			в квадрате производную).
Н — гильбертово пространство со скалярным				произведением			(7.1)
Н — гильбертово пространство со скалярным				произведением
		т
	<W, v>H =	\W(s) •V (s) ds,*)	w,v<=H.				(7.2)
		О
Очевидно, Н — линейное подпространство пространства WJJ и							инъ
екция г: И-*- WJ непрерывна с плотной областью определения.
Пусть Е — банахово		пространство. Функция E(w):Wl~*- Е					на
зывается	Фреше-дифференцируемой в точке ш0 е				WJ,	если сущест
вует **)	Т = TWoе 3? (Wo, Ё) такое, что
	F(iv + w0 — F{w0 = Т(w )+ о(\\шЦ			при	IIH?II-> 0.		(7.3)
TWt обозначается через		F' (w0 , a ТЮо ^	_ через		(F(w0), w).		Ес

ли функция F Фреше-дифференцируема в каждой точке, то F на зывается просто Фреше-дифференцируемой. Если F Фреше-диф

ференцируема и		F'(w) :W j-> SB(W j, Ё)	Фреше-дифференцируема,
то	определяется	F" (w): W j-v SB( W	^ (W j£ )) = S ’2 (W j, Ё).
Вообще Fin)(w),		если оно существует, является функцией Е(п)(ш):
w	(Wo,	(WJ, Е)) = й ” » (w ;, Е\ a <?n(W ', Е) -б а н а

хово пространство во всех непрерывных полипейпых (мульти-

липейпых) отображений из W QXW^X . . . x W «					в Е с	операторной
			П
нормой.		Функция	F(w):Wo->- Е называется II-дифференцируемой
в точке и?0е WJ,			если существует S =	& (Я, Е)		такое,	что
для ***)		h ^ II
		F(w0 + h) — F(w0 = S(h)+ оШ\\н)		при	НАН* -*• 0.		(7.4)
*>	!	Т~
*>	(s) =■ —j~sw (s),a w(s) •v(&’) — скалярное произведение вRr.
**)		,Ё) —банахово пространство всех непрерывных линейных опе
раторов изWJ в £ с операторной пормой.
***)	II/гIIл = Г<А, h)u, h<=H.

318	ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ ИЛ МНОГООБРАЗИЯХ
Sn,B обозначается через DF(w0 ,		a SWi)(h)— через		(DF(w^), h).
Если F //-дифференцируема в каждой точке,			то мы просто скажем,
что	F Н-дифференцируема.	Аналогично	можно	определить

DnF е SEn(H, Е). Очевидпо, что если Ftu> существует, то и D“F су

ществует и DnF (w) =

F(n) (w) 1нхтг._ун _

В дальнейшем мы всюду предполагаем, что Е — R1;

2 я (Wo, R1)

и 2

n(1I,

R')

обозначаются просто через 3?п(w;) и 3 ’”(Н),

соответ-

ствеппо. Заметим, что 2? 1 (Wd) =

(Wj,)*

и 3?1 (Н )= Н *

(дуальные

пространства).

Пусть

3?(г){Н)—

подкласс

пространства

2 >п(Н),

образованный

всеми полинейныыи формами У: Я х Я х

такими, что

IIУ IH S

, Ain) 2< o o ,

(7.5)

где

{hi)— ортонормальпый базис

(ОНБ)

пространства

Н.

Хорошо

известно, что выражение в (7.5)

не зависит от выбора ОНБ. Число

ЛУНиа пазывается нормой Гильберта — Шмидта формы V

)(Н).

i?"2) (Н) — гильбертово

пространство

со

скалярным

произведением

(^1, V2 HS =

М Ч

’ Ч ’

•»

^tn) ^2

(7.6)

где

{й<}

представляет

собой

ОНБ

II.

9?*2 (Я)

совпадает с

Н* 0 Н* 0

. . .

И*,

а 3?\2)Н =

Н*

можно отождествить с II оче-

видным

V ^H *

отождествляется

с hv ^ H

посредством

образом:

V (h) = (hv, й>н для всякого h е

и ИУ11П* =

IIAFIIH.

О п р е д е л е н и е

7.1. Функция

F: W 0r-> R называется

гладким

функционалом,

если

для

некоторого

п 3* 1 существует

С"-функция

j(x 1 , х2,

, хп) на И", удовлетворяющая нижеприведенному усло

вию (Р)

и последовательность

0 *£ tt ^

t2 ^

^ fn

Т такая, что

F(w) = f(w{tl),

w(t2 ,

....

w(tn)).

(7.7)

Будем говорить, что / удовлетворяет условию (Р), если для любого мультииндекса а = (ai, а2, ■■. ап) , at > О, существуют положитель ные константы Ка и Na такие, что

|£)“/ (я)

1 + Ы л“ ) для всякого х (= Rn,

т. е. / и ее производные имеют не более чем полиномиальный порядок роста.

§ 7. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ МАЛЛИВЭПА

319

Ясно, что если F — гладкий функционал, то Fw существует для всякого п и, следовательно, существует DnF для всякого п. Кроме

того,	DnF (w) f=	(Н) дня		всякого	w e WJ			и Ш’!Р(и;) HIiS имеет
моменты любого порядка относительно виперовскон меры Pw.
Пусть Е — банахово			пространство		с	нормой		1М1В.		Как	обычно,
через	2 >p(Pw; Е), р ^		1, обозначаем		совокупность всех Zf-зпачных
виперовских функционалов F таких, что						: ^	P	w	(	^	) j 1/p< o o
		\|Р\|;„ =	J	f ! ! ^	H
Если	I? = R, то	3?p{Pw\ Е)		обозначается			просто		через		2 ’p(Pw).

Следуя Шигекава [182] мы теперь определим понятие слабой про изводной для веществешюзначного виперовского функционала F.


О п р е д е л е н и е 7.2. Пусть Р:				W o-> R — винеровский функцио-
нал и пусть jB0,		рг, ..., рт>	1.	Скажем, что F e f f (р0, ри ..., рт >
если существует последовательность гладких функционалов
такая, что
(I) F	e ^ o ( F ,v) п Fh^ F		в	Z Va(P w),
(И)	Ш7ц (щ) } — последовательность Коши в S?Vi (Р 1v; s u m )

для i = l , 2 , . . ., т.

Из нижеследующей леммы вытекает, что

Нщ DlFh в

(Ри »

k—юо

S (2) (Щ)

единственным образом определяется по F. Таким образом,

мы можем сформулировать следующее определение.

О п р е д е л е н и е

7.3. Для F е Я (/)0, /ц,

...,

рт мы полагаем

DlF (W ) =

lim D'Fu (w) в

S V (P w, &\t) (II)),

i =

1, 2,

(7.8)

и называем

DlF (w) e

3?iti (Pw\SB\D (# ))

i-й слабой производной

функционала F.

последовательность

гладких

функционалов

Л е м м а

7.1. Если

{Fk(w)}

удовлетворяет условиям

(I) Fh(w )+ 0 в

& Ро(Р"'),

(II)

1УРк(и>)+в,(и>)

в S V.{PW^U )(H ))

для i = 1, 2,

..., тп,

то G i { w )

= 0 для (Pw)-n. в. w , i = 1, 2, ...,

тп.

рассмотреть

случай

Д о к а з а т е л ь с т в о

([182]).

Достаточно

/ = 1 ;

общий случай легко можно

свести к этому случаю посредст

вом

рассмотрения

(l, D'F/t(w)), Z e

(Щ*ш Отождествляя H о

H* так же, как и выше, мы получаем

w;* cz Н* = II cz w0r.

Выберем /is W j* так, что Ш н = 1 и положим Я 1 = {ah; a e R 1).

320	ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ ПЛ МНОГООБРАЗИЯХ
Пусть / / 2	— ортогональное дополнение Hi в II и пусть Н2 — его за
мыкание в W Q.		Тогда ясно, что имеем следующее разложение в
прямую сумму W Q= Нх ® Н г, задаваемое равенством *)
		н>=(Л, w)h + {w — (ft, w)h}.
Заметим,	что (ft,	w) = 0 для w ^ H 2. Пусть я: w >-+n(w)= w — (ft,

w)h — проекция на H2, a P — образ меры Pw на Я 2 при отображе

нии я. Записав w = th + v, f e R 1, v e н 2, немедленно находим,											что
Pw (dw) — —$=. e~fi^dtP (d\).				Далее,
	j \Fh(w)f*Pw (dw) = \gh(^P(dv),
где	<
где			09
			09
	Sh(v) =		J I Fh (th + v) \|po			e- ' * / 2		dt.
Согласно предположению, g,h(v)->-0 в 2?i(P)							при	к -*■ °o,	и,	следо
вательно, выбирая		при	необходимости		подпоследовательность,						мы
можем предположить, что
	gh(v) - *0		при	к -*■ аз	для	v е Н2 (Р).					(7.9)
Согласно предположению, имеем также
	j \| DFk (w) — G1 (w )$iP w (dw)-*-0						при	ft->oo
и,	w;
и,	следовательно,
f	\|(DFk(w), ft>„ -	<fix (w), ft) \Pl P w (dw) =
	j P (dv) j \|(DFk(fft+v), ft>H-<G1(iA +					v), Л>нГ1^ е			- ‘а/а^ ^ О
	2 *	'						при		fc-> oo,
								при		fc-> oo,

Поэтому, выбирая опять при необходимости подпоследовательность, мы можем предположить, что

JСО |<DFk(iA+ v),A>H-<G1(ift + v)lA>Hri^ e “|,/4*-*-0

— OO	_ ^	(7.40)
	при k-+<x> для v ^ H 2 (P).	(7.40)
*)	(h, w) — билинейная функция от fe e VVj и w e W 0. Если w s	Я, то
(fe, u>)	совпадает c <fe, ш>я-

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных