§ 6. СЛУЧАЙ С ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ з и
Л’ (б (е)) = о (1) •Далее,
/ ? « |
|
2 |
|
# |
(А <s |
PA(s- ) X ' Рм>f0A(*-)^]) + |
|
|
|
|
|
||||||||
|
seDp,s«t(h) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
°(®А(.‘=-)А’Р е |
|
+ |
/ 22 (T ^ I). РЧг1)Х ’ Рев [94 fj)X ] ) : = |
+ |
712* |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
где |
x(ti) = |
А (ф(^)—)• Согласпо формуле последнего ухода, |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
f, |
|
|
|
I |
г сг(ю')Л(<2~*) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Е(ПщВ)~Е |
f |
F x(psX)rf(p(s) |
f |
) |
|
|
|
|
w')dw'd(u)Ф И и |
»| |
рх |
Д |
|||||||
|
|
|
|
.о |
|
|
|
1)Г(0) |
|
|
|
|
|
|
■] |
|
|
||
|
|
|
|
X^{a(u)')>eV(f1 -» )}^ 2 (Ptl—3й7 ) П |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
reV(fi-s) |
|
|
|
|
^ |
-1 |
|
|
|
|
|
Е |
|
/ч (р Д ) drp(s) I f |
|
f |
Ф1(и, psX, w')dwd(u) |x |
|
|
|
||||||||||
|
|
.0 |
|
|
|
|
|
ljr\D) L |
о |
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
I{o(w ')> e\ i(i2 ( |
p ( |
j) _n |
s |
w(dw^ |
) j |
= |
|
|
|
|
||||
|
|
-h |
F! |
( |
p |
|
[ |
rP t-4) |
|
|
|
|
1 |
|
( |
« |
, р |
||
|
- Е |
[ |
Дd(f (a)) |
|
f |
|
|
|
w')fdwd(и) ФX * |
||||||||||
|
|
.о |
|
|
|
|
(yr\D) L |
о |
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
2 (P(l_ sw ) ” A<S> |
+ |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Г" |
11 |
(рД) d Ф(*) |
J |
J ф* (U| рД , и,') rfu/d(и) - |
|
|
|
|||||||||
|
+ |
E |
J |
F , |
|
|
|
||||||||||||
|
ii—8 |
|
|
|
|
|
|
I{a{w')>e)F2( |
p |
f l |
_ wZ(s)w |
(du/)j' |
|
|
|
||||
- |
j |
Ф*в(и,рвХ, w^dw^u) |
|
|
|
||||||||||||||
Тогда, очевидно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
> |
! |
( e |
) |
+ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
£ ( /ц Я ) + а 1(8 )= £ |
|
|
- |
|
|
|
PM,^X, рав[0А(8_Д])|Я^ |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
s S D p ,3 « p ((,) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
a (9A ( s - ) ^ ) > 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Согласно |
лемме 6.9, |
a2(e) — о(1), |
что |
и |
завершает доказательство |
|
|||||||||||||
оценки |
(6.76). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
S(s). ограниченный ступенчатый процесс. Согласно |
|
|||||||||||||||
лемме 6.6, |
|
! |
|
|
|
* |
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|||
|
|
S8(t) |
|
|
(s) + |
|
|
|
|
при |
e -> 0 |
|
|
|
|
||||
|
|
J g (s) dB |
j g (s) dq> (s) n. H. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
312 |
ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ |
|
и поэтому |
t |
|
|
t |
|
|
Yt (t) = Se(t) |
(s) dBd (s) + f g (s) d<t (s) - M (t) |
|
о |
e |
по вероятности при e 0. Согласно лемме 6.9 легко заключаем, что- t
этот предел имеет вид |
\h(s)dq>(s) |
для некоторого |
ограниченного- |
|
|
|
о |
|
|
согласованного процесса h(s). Следовательно, |
|
|||
I h (s) d<p (s) = |
|
t |
t |
|
j |
g (s) dBd (s) + |
j g (s) i<p(s) — M (t). |
||
|
0 |
0 |
|
|
Отсюда мы выводим, что |
t |
|
||
|
t |
|
||
f h{s)dy(s) = |
j |
g(s) dq(s) и |
§ g(>s dBd(s) = |
M(t). |
|
0 |
|
0 |
|
Перейдем к случаю общего процесса g(s). С этой целью выберем последовательность {^(s)} ограниченных ступенчатых процессов таких, что
Г < |
-> 0 {к оо). |
Е J I gh(*) — 8 (*) I3 |
|
.о |
|
Легко видеть, что процесс Mh(t), построенный по процессу gk(s), стремится к М (t) и, следовательно,
t
M (t)= \g(s)dBd(s).
о
Л е м м а 6.11. Пусть g(s)— W ,(W (В))}-согласованный процесс
такой, что функция s*-*g(s) |
непрерывна справа и имеет пределы |
||||
слева, а функция s *-*•Е [gf(.'?)2] локально ограничена. Пусть |
Уе(<) |
||||
определяется равенством (6.72). Тогда |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
е->- 0. |
(6.77) |
Y e(t) -*• § g (u)d<f(u) |
по вероятности при |
||||
о |
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Предположим |
сначала, |
что |
g(s)— ступен |
||
чатый процесс. Тогда, согласно лемме 6.6, |
|
|
|
||
t |
t |
|
|
|
|
Se(t)-+ j g (и) dBd (и) + j g (u) d(p (и ) |
n. н. |
|
|||
0 |
0 |
|
|
|
|
и, согласно лемме 6.10, |
|
|
|
|
|
t |
|
в < |
|
|
|
Ma{t)^\g(u)dB d{u) |
|
|
|
||
§ 6 . СЛУЧАЙ С ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ |
313 |
Том самым (6.77) выполняется. Теперь перейдем к случаю общего процесса g{s). Согласно лемме 6.7, мы можем выбрать последова тельность Igfc(s)} ступенчатых процессов, таких, что
gh (s) — i/k < g (s) < gh(s) + 1/fc.
Так как Ye(t) можно также выразить в виде
|
t |
л |
Г а(ш ')А ( t -s )A e |
|
|
|
|
||
У 8 (t) = |
J d(f>(s) | |
|
|
j |
Ф4.(«, и>, w') A (8 , u, w' («)) du X |
|
|||
|
0 |
3T(D) L |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X / {a (io ')> e } |
nxW(du>')t |
||
то имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Yi (t) - |
- i |
Ф (t) < Ye (t) < Y\ (t) + -i- ф (t), |
|
|
|
||
где Yg |
соответствует |
процессу |
gk. Если сначала положить |
е |
О, |
||||
а затем к |
°°, то получим требуемое заключепие. |
равенства |
|||||||
Теперь мы готовы к тому, чтобы дать доказательство |
|||||||||
(6.65). Согласно лемме 6.10 и лемме 6.11 Se(t) = Mt(t)+ |
Ye(t) |
стре- |
|||||||
|
|
|
|
|
t |
t |
|
|
|
мится |
по вероятности |
к |
f g(s)dBd(s) + £ g(s)d(p(s), что |
и дока- |
|||||
зывает |
(6.65). |
|
|
о |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Доказательство (6.64) следует немедленно из следующего рас суждения. Предположим, что задало семейство пепересекающихся
открытых |
неслучайных |
интервалов |
{еа} |
в [0, °°) |
такое, |
что |
||||
J0,oo) \ 1J |
имеет меру пуль. Тогда очевидно, что |
|
|
|
||||||
а |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 * |
j |
|
g {и) dB{ (и) = j g (и) dB{ (и). |
|
|
||||
|
“ |
[«,7]Пеа |
|
о |
|
|
|
|
||
Действительно, |
если |
Е — объединение |
всех |
еа |
таких, |
что |
||||
\еа\> 8, то |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
g (и) dBl (и) = |
|
|
|
|
||
|
2 |
|
.f |
[ I E(») g («) dBl (и), |
|
|
||||
|
|ва|>е1®>ОП*а |
|
|
® |
|
|
|
|
||
так как ea — неслучайные интервалы; более того, ясно, что |
|
|||||||||
t |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
j* I E («) g (и) dBl (и) -*■J g (и) dBl(и) B j ? 2 (P) при |
e -*• 0. |
|
||||||||
e |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Так как (Л (к)} |
определяется только через |
{Bd(t)}, то оно не зави |
||||||||
сит от Ш'(£), i = |
l, 2, |
..., d — 1>. Согласно |
теореме |
Фубини интер |
||||||
314 |
ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ |
валы |
(.4(s—), A (s)) можно считать неслучайными интервалами и |
поэтому получаем (6.64).
Ь) Общий случай. Доказательство утверждения (1) подобно до
казательству в случае (а). Что касается доказательства (II), |
то за |
|
метим, что можно считать d = |
r. Действительно, если r< d , |
то тог |
да положим |
|
|
о* {х) == 0 |
для г < к <1А |
|
и затем присоединим d — г независимые винеровские процессы Br+l(t), Br+Z(t), ..., Bd(t). Если r > d , рассматриваем r-мерный процесс ( Yl(t), У2 (г), ..., YT~d(t), Xl(t), ..., Xd(t)), полагая, папример Yl{t)= Bl(t), Yz(t)= Bz(t), ..., Yr~d(t) = Br~d(t) . Рассмот
рим сначала случай o),(s)s=8t и bd(x )^ 0. Тогда [.B‘ (i), Bz(t), . . .
..., Bd~'(t), Xd(t) — Xd(0) + -В‘'(г) + ф(г)] — отраженное броуновское движение и применимо доказательство случая (1). Затем рассмат риваем случай ot (х) г= 82. Тогда, посредством нреобразовапия сноса (гл. IV, § 7), этот случай сводится к первому случаю. И, наконец, мы рассматриваем общий случай. Этот случай сводится ко второму случаю посредством следующей замены координат и преобразова
ния броуновского движения. Поскольку a'J(x) принадлежит |
классу |
|||||||||||||||
С3 по допущению, то можем найти С2-фупкцию f(x) на |
D |
такую, |
||||||||||||||
что / ( я ) > |
0, f(x) = 0 тогда и только тогда, когда x ^ d D |
и |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
аб (х) —. —. = |
1 на 0D. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
их1дх} |
|
|
|
|
|
|
|
||
Для |
3t =(X(t), |
B(t) |
M(t), |
ц>(1)) |
положим |
£ =( %(t ), |
B(t), |
M(t), |
||||||||
<p(f)), где |
$ ‘ (t) = |
X'(t), |
|
1, |
2, |
..., d - |
1, и |
Xd(t) = j(X(t)). X со |
||||||||
ответствует [о, |
b, |
x, |
c ad,l(x) = |
1. В силу преобразования броунов |
||||||||||||
ского движения из B{t) |
в B(t) |
|
(гл. IV, |
§ 7), можем предположить, |
||||||||||||
ЧТО |
Ofe (х) = bdh. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство теоремы 6.6 завершено. |
|
как |
и |
выше, |
||||||||||||
Пусть £ =( X( t ) , |
B(t), |
M(t), |
ф(г)) |
задается |
||||||||||||
a j(t, ж)— гладкая функция на [0, |
°°)Х 5 . Тогда f{t, X(t)) |
являет |
||||||||||||||
ся непрерывным (й**?)-семимартингалом. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Т е о р е м а |
6.7. Пусть g(t) — @~t - согласованный |
процесс |
такой, |
|||||||||||||
что функция t |
|
g(t) |
непрерывна справа и |
имеет |
пределы |
слева, |
||||||||||
а функция t^E[g(t)~] |
локально ограничена. Тогда |
|
|
|
||||||||||||
|
А(«)Д( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 * |
J |
S iu) dj (Wj X (и)) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
*S D A (s -)A ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
‘l-1 |
* |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
g(«) dj (и, X (u)) - |
2 2 |
|
|
(w>X (“)) TS(X (M)) dMl(и) — |
|||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
f=1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 6. СЛУЧАЙ С ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ |
315 |
|
- 1 ^ { 2 ( р‘ (А м ) - |
|
|
^ |
х (“ » + |
|||||
|
|
|
а- 1 |
|
|
2 |
|
] |
|
|
|
|
+ Т |
2 |
|
aij (Х (“ )) |
|
Х И К |
(“ )• (6-78) |
||
|
|
|
i , j ~ |
L |
|
|
|
J |
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть А |
и |
L определяются |
равенствами |
||||||
(6.45) и (6.46). Согласно формуле Ито, |
|
|
|
|||||||
g ( u ) d f ( u , |
X (и)) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= g (и) |
|
|
d |
|
г |
|
|
|
(и ))Oh { X (и) ) d B h (и) + |
|
{и, X |
(и)) d u + |
|
|
g ( u ) |
{и, |
X |
||||
|
d — 1 s |
г=1 к=1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
(«)) t{(X (и)) AM1(и) + |
|
|||||
|
+ |
2 2 8 (и) д х 1 |
(«. * |
|
||||||
|
|
|
7 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1= 1 ;=i
+g(u)(Axf)(u,X(u))du + g(u)(Lxf){u, X(u))dcp(u).
Всилу теоремы 6.6, левая часть соотношения (6.76) равна выражению
' а d г г ' 1
(и) §(■(«, X{u))du + |
2 |
2 |
) z w £ l ( u’ X(u))ol(X(u))dBk(u) + |
|||||||||||
0 |
|
|
|
|
i==1 ,t=l 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
V * |
V 4 |
Г |
. |
df |
v , |
.. al (X («)) о* (X («)) |
J . . |
|
||||
|
+ |
i=l*=1' |
|
|
(«’ x (*)) — |
add ( X (и)) |
|
d<p(u) + |
|
|||||
|
2 |
2 |
U м |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
i g{u)(Axf)(u, X(u))du = |
|
|
|
|||||
A |
|
|
|
|
|
« -i s A |
|
|
|
|
|
|
|
|
■J g (И) df (u, X («)) — 2 |
2 12 (“ ) 5 |
i |
(“X))T' (X (“ ) ) ( |
“ ) — |
||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
1=1,=10 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
j f w [ « , « . * ( . » - |
2 |
$ § “ |
й < “ . x и ] * ( “ )• |
||||||||
Так как |
V» adi(ж) <?/ . . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
r ,, |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
- |
2 |
{i»‘ и |
- |
7 ^ - ] |
5 |
- <u’ *> + |
T J |
, |
( I ) |
(и * *> • |
||
то получаем желаемое заключение.