Материал: Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

§ 7. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ МАЛЛИВЭНА		321
Зафиксируем v e j / 2 такое, что	выполняются (7.9) и (7.10), и по
ложим фь(£) = Fk(th + v ). Тогда	(полагая р (dt) = —%= e^'^dt)
	у 2JX .
фk(t) ~ + 0 в 2 ,p0(R1, р) при к-*~оо
и
Ф/< (t) = <DFk (th + v), Л>н -> (G1	(th + v), h}H в <FPl (R1, p)
	при	A:-voo.

Следовательно, согласно хорошо известному одномерному результа ту, мы можем заключить, что

<.Gi(th + v),		fe>n =	0	для р ( d t ) п. в. t.
Поэтому <GI (H>), К>н =	0 для			и. в. ю, и так как & произвольно,
то G,(w) = 0 для и. в. w.
Пусть F : W Q- V R — гладкий функционал. Мы полагаем
(LF )(w )=Sv(D '-F )(w )-(F'(w ), ш),						(7.11)
где
Sp0V(ri;) =			S	F > ) ( f c i,fti),
			i=l
a i h j - ОНБ в Я *) .
Лемма 7.2. Если F		и G:\VQ-V R — гладкие функционалы, то
J LF (w) G(w) Pw(dw) =	j	F(w) LG(w)Pw {dw) =
<	К= -			f DF(w),DG(w)}HPw<	(dw).	(7.12)
Д о к а з а т е л ь с т в о		([1821).	Выберем lie W ',’ так, что			=

— 1 и пусть и? = th + v — то же разложение в прямую сумму, что и

в доказательстве леммы 7.1. Тогда заметив, что (h, g )=				0 для всех
g s	/ / 2j получаем
f	(ю) (fe, h) — (h, w) <DF (W), h}H G(w) Pw (dw) =
	°°	(
=	jp ( d v ) j	F (i/l + V) -	^(th + V )jG(th + v) ^	e~l2,2dt =*
	112

*) Хорошо известно, что это пс зависит от частного выбора ОНБ.

21 С. Ватанабэ, Н. Икэда

322 ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ

= -	[ Р ( d v ) J' \|		F (th + v) [ § ( th +				v) - t'J (th +	v) +
	Ti.t
			+ lG(lh + v ) ] ^ = - e - ‘-l!dt} =
	- -		oo						-
	- -	Ip<■) ,f 5 f<№+ ">IC(" +							-
		H2	= -		j <DF(iv),hyH(DG(w),h}HP w (dw).
			= -		j <DF(iv),hyH(DG(w),h}HP w (dw).
				Wo
Так как F и G — гладкие функционалы, то легко убедиться в том,
что можно		найти и в конечном			числе hu h2, . . .,/гд>е \¥о*такие, что
				.V
		. Sp D2F (W) =		2		И	(hi, hi),
				i ~ i
				N
		( f	(w), w ) =	2	( h i ,	W	<DF ( w ) , hi)H
				г—1
		(w), D G ( w ) y H —2				(и?), ^i)rr <D G ( w ),
				i—I
Тогда имеем						<DF (ip), DG («?)>„
	j	(u>) G ((к)	(dw) = -		f	<DF (ip), DG («?)>„			(*»),
	7*					T
	w0				w 0
что, в силу симметрии, равно					[ F (w) LG (w) Pw (dw).
О п р е д е л е н и е					w°
О п р е д е л е н и е			7.4. Пусть F (w): W j -> R1 — винеровский функ
ционал и пусть р0, pL> 1. Будем говорить, что F е								Н (ра\рь), если
F ^ 2	„ ,( P W) и если существует последовательность гладких функ
ционалов (Fk(w)} таких, что
(I) Fh-+F B & PO ( P w ) при					/с - >	о о ,
(II) {LFJ — последовательность Коши в S?VL(P W).
Если F = II(ptt; PL), то IimLFft в & VL(PW) единственным обра-
			h->оо

зом определяется по F.	Действительно, если Fk~* 0 в 2 ’,,0 (P W) и
LFk-+G в 2 ’p (Pw),	то для любого ограниченного гладкого
JL

§ 7. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ МАЛЛИВЭПА	323

функционала K(w) такого, что LK также ограничено, имеем
О = lim	f	Fk(w) LK (w) P w (dw) — lim		[ Ll<\ (w) К (w) P w (dw) =
k-*oO	r	k-*oo		w,
	w«			w,
				= f G(w) К (w) Pw (dw),
				W,
и поэтому		G(w )= 0 для Pw п. в.	w. Следовательно,		мы можем
сформулировать следующее
О п р е д е л е н и е 7.5. Для F ^ H (p a-, pL полагаем
		LF (и?) = lim LFh (w)	в	S?PL( />w ).	(7.13)
		fc-ЮО
L называется оператором Орйстейна — Улепбека *).					и (F'(w),w),
З а м е ч а н и е 7.1. Линсйпыс операторы Sp IFF(w)					и (F'(w),w),

действующие на гладкие функционалы F, пе допускают в отличие от L замкнутого расширения и они не могут быть продолжены. На

пример, рассмотрим

(F'(w), w). Пусть

Г = 1

в положим Fk(w) =

2и

— 2

[w(n/2h) — w((n — l)/2ft)]2 — 1.Тогда

FK(w)~> 0

2?p0 {P w)

N—i

1, но

для любого p0 >

(F'h (W), W)

= 2 s

[K>(n/2h) — w {(n — l)/2ft) ] 2 -> 2

n —1

в F £ v

(P W)

Для любого p i

5 =

О п р е д е л е н и е

7.6. (I)

Для p0, pu ...,

pm, pL > 1

мы полагаем

H(p0, Pi , . .

., pm\pL) =

Я (p0, Pi,

■■;

Pm n H(p0; PL) •

(II)

Hx =

[F;

f e t f ( l ,

1),

для

всех

2, F ^

2 ’p(P w),

DF e

# p (Pw; Я* = Я ) и PP e= # p (P iy)).

(III)

Я с .=

Я(р, p;p).

Ясно,

V>2

что Я » c

Нж**). Следующие-леммы легко доказываются

сначала для гладких функционалов с

последующим

переходом к

пределам.

выполняется,

‘Л е м м а 7.3. Пусть F и G^1I( 1,2; 1). Тогда (7.12)

если Fe=2?Vo(P w), Df е 2 ‘Pl(P w’, Я* = Я ),

LF е

2?Pr(P w),

G e

(P w ),

£>G <= 5%, (Р ж; II* =

Я) и. PG e

2 4

(P wj

так,

что

- + — < 1 , - + - < 1

u i - + i < l .

/;П■'0

'P1l «14

IP' L 490.

В частности,

(7.12)

выполняется, если F и G е //„ ,.

*) Э т о т оператор и сущности совпадает с бесконечномерным лапласианом наеденным Ямазаки (f lf>7J).

**) Шигекава доказал, что IIж= IIж (частное сообщение).

324

ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ ИЛ МНОГООБРАЗИЯХ

JI е Д1 я а

7.4 (правило

дифференцирования сложной функции).

(I)

Пусть F = (F\

Г-,

...,

F'1 : WJ,

RJ и F‘ e=Il(i,

2; 1), i =

= 1, 2,

d. Пусть u(x)^ C2(Rd)

такая

функция,

что

\u{x) \<

<Z£(1 + Ы )

для некоторой константы <K>

0 и первая

вторая

производные функции и ограничены.

Тогда u°F е 7/(1, 2; 1)

и мы имеем *)

D (и о F) (w) =

diU°F (w) DFl (w)

(7.14)

i=1

L (u°F )(w )=

° F (u-) (DFl(w)t DF1

(ia)>H +

.j=i

+ 2

(W) Z/F* (U>).

(7,15)

i= l

(II)

Пусть F,G e

77». Тогда F G ^ H x u

L(FG) (w)= LF(w)G(w)+2<DF(w), DG{w)>H+ F(w)LG(w). (7.16)

В [ИЗ] Малливэн определяет понятие производной для винеров-

ских функционалов иначе. Мы теперь

останавливаемся,

чтобы

вкратце исследовать связь. С этой целью введем стационарную га

уссовскую

диффузию на W Q с инвариантной мерой

Pw,

называе

мую процессом Орпстейна — Улеибека, следующим

образом. Пред

положим, что на вероятностном пространстве

(Я, SF, Р),

заданы:

(I)

Гауссовский процесс W (s,

т), s е

[0,

оо), т е ( 0 ,

7’]

такой,

что Е (PT(s, т )) = 0 и

Е (W (s, т) W (s', т)) = (s Д s') (г Д т')и

(II)

стандартный винеровский процесс Х а= (X0(T) ) T*.IO,T]

такой,

что UT(s, т)) и Х„ независимы.

и < s,

т ^ [0 ,

Г]}.

Положим

Пусть

2Г, —о{1У(и, т),

Х0(т );

М[х) =

W (s, т). Тогда

для каждого

фиксированного т М (х) ==

является непрерывным квадратично интегрируемым

(^”.)-мартинга

лом. Кроме того, ясно, что

<А7(Т), Л7(т,)>, =

(т А

т') t.

(7.17)

Для каждого фиксированного т пусть X, (т)

определяется посредст

вом стохастического дифференциального уравнения

dXt(x) = dM\T - ± X t(x)dt

(7.18)

с начальным значением Х0(т). В явном виде -ХДт) задается таким

§ 7. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ МАЛЛНВЭПА		325
		325
обрааом:
X, (т) = е—И2	е*'ЧМ™	(7.19)

Легко убедиться в том, что можно выбрать модификацию такую, что функция (£, т) >-*■Х< (т) непрерывна и. н. Для фиксированного t

IT ^IO, Т] ->-Х,(т)]	является элементом	из	WJ.	Поэтому
{Х /}\|С.[0,Ж] — непрерывный случайный процесс		на	W j.	Легко	ви
деть, что это процесс	Ористейна — Уленбека в	случае r ~ 1.			Беря

г независимых экземпляра, получаем процесс Орнстейна — Уленбе

ка на Wo-

Для простоты обозначений предположим, что г = 1 и допустим, что процесс Орнстейна— 'Уленбека {X ,},fe[0,oc) реализован на вероят

ностном пространстве (Q, У ,					Р) с	вышеописанным			образом.
Пусть F(w)— випсровский				функционал. Следуя Малливэну,						дадим
такие определения:
f	если	t-F(Xf)		непрерывно но вероятности*),						(7.20)
f	е ? 1, если	t — F (Х()		имеет н. н. непрерывную модификацию,
										(7.21)
F e ^ 1, еслп F’ e 'g 70 HS’t			(Pw) и существуют винеровскпе
	функционалы G и К такие, что G е							Пi?, (Pw),
	F e f f l & t ( P w ) ,					t		В Д > 0 и
						t
		MF(t) «	F (Xt) - F (X„) -			f G(X,) ds
						0
	является непрерывным квадратично интегрируемым
			(^*)-мартингалом с				/
							/
					<MF) t =		J [X (Xs)]2 ds.			(7.22)
							О
Здесь	G и К определяются единственным						образом (как		винеров-
ские	функционалы) по		F и		обозначаются,		соответственно,			через
L E / 2	и ИУРН. Если FG<=4?\ то <M F, MGyt =						f	X(X*)ds для некото-
							0

рого единственным образом определенного винеровского функциона ла F e ? 1ПSFi(Pw). Этот функционал К обозначается через

v /? . VG .

*) Это эквивалентно утверждению P{\F(Xt) —^(Хо)| > е}-»-0 при 11 0 для любого е > 0 в силу стациопарности Xt.

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных