Материал: Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

			§ 8. ПРОБЛЕМА ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ		331
удовлетворяет равенству
(0Х <Д h) =	j	о' (x<:;>(s))		h) dw (s) +
	о
		t		t
	+	f	b' (XZs>) (DX%%, h) ds + j‘ a « > ( „ ) dh (s),		h<=H,
		о		0
а поэтому, если мы обозначим				t
			(ОХ[n), h ) =	t
			(ОХ[n), h ) =	О
				О
то y /°(v ),	t		удонлетноряет равенству
	t
Y\u (V) =	f		a'(x<">5)) Y ^ s)(,)dw(s) +

^ „ ( v ) A t

+i b' (^iy,,)) Yi^ ) ( \ ) ds + о (X(pn(v)). (8.6)

4f„(v)At

Здесь Wn{v)=k/2a, если v ^ ( ( k — l)/2 ", к/2я], к = 0, 1, 2,.... При

менив незначительную модификацию леммы 2.1 к							(8.5) и (8.6), мы
получаем для всякого р > 1
			Е ( sup	\| j e > - X sn ^ 0				М
и			V»G[0,(]		j
и			E( sup \| y ^ ( v) - y s( v ) n - > 0					(8.8)
			E( sup \| y ^ ( v) - y s( v ) n - > 0					(8.8)
			\ «S [v,f]		J
при n -* oo, где y,(v) определяется посредством
			t	i
У, (v) =			J о' (X,) y , (v) dw (s) + f b' (Xt) У* (v) ds + a (Xv).					(8.9)
			V	V
Сходимость в			(8.8) является ограниченной по v. Повторяя этот про
цесс шаг за шагом, мы находим, так					же как	и	в доказательстве
предложения 2.1, что если
П % п)(ки }12, ...,/ц) =
t	t		t
- Л	0	-	.f Z(/° (v„v 2, .	v4) К Ю	h2(va) ... hi (vj) dvjdva ... dvj,
0	0		0
TO
E ('	snp		\|zin) (v l> V2>	Vj)— Zs(va, v2		..., Vi) \|pj -> 0
\,VI Vv2V...\/V							при	n -*■ OO,
							при	n -*■ OO,

3 32	ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МЕЮГООБРАЗИЯХ

где Zt(vi, v2, . . Vi) определяется по индукции. Эта сходимость ог раничена по (Vi, v2, . . Vi). Поэтому имеем

	t	t	t
	f j		. . . JI	(vb	v2, . . Vj) — Zt(vlf va, .		. Vj)\|a x
	0	0	0			1P/21
					X OVjdVj . . . dv;	1P/21	при	n-*~oо
					X OVjdVj . . . dv;	E-+-0	при	n-*~oо
и
( r f x j f h u h , ,			. .. ,h, ) =
t	t	t
= j	j •••j		Zf (vlt v2,	.	VjjA^Vx) h2 (v2) . . . ^(vJdvjdvjj			. . . dv{.
0	0	0

Тем самым доказано, что			Xt(w) s II (р, p,			..., p)		для всякого р > 1 и
всех i. К тому		же, так	как L	X		i		в терминах ядер
всех i. К тому		же, так	как L	X	выражается			в терминах ядер
D2Xt и DXt, то легко можно доказать, что X t(w)<= Н(р; р)											для лю
бого р. Таким		образом,	X, (ш) е //» с: /?„.				Повторяя		аналогичные
рассуждения, можем заключить, что X, удовлетворяет прсдположе-
нию (А.1).	,				в общем случае.				Пусть X, =
Дадим	теперь явные формулы				в общем случае.				Пусть X, =
= (Xf, X 2,		X'/) —- решение		следующего			уравнения			в	форме
Стратононича:
dXlt =		Oa(Xt)odwa(t) +		bl (Xt)dt,			i = 1, 2, ...,			d,	( 8. 10)
XQ=		ЕГ,									( 8. 10)
XQ=		ЕГ,
где предположения относительно коэффициентов те же										самые, что
и выше. Пусть		У (i) =	У (i)j— решение уравнения (2.26)'. Тогда*)
			t
	(DX{„ h) =		fd,p(v)^(v)dv,			/г = (йр) е Я ,					(8.11)
			о
где
С*,э(v) = (У (<) У 1 (v))jo£ (X,),				i =	1, 2,	...,	d, P = 1, 2,			...,	Г , t > v.
											(8.12)

*) Как обычно, опускается знак суммирования для повторяющихся ин дексов.

§ 8. ПРОБЛЕМА ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ

333

К толу же

LX\ = | у

(О)У*1 (*)£,

Ста ( X

. )ji^(v)i',g(v)dv —o£(Xs)| о duF (s) +

+ J Y M Y - H s t y

f b

w ( X . ) J l ? . £ ( v ) | ‘.i

( v ) d v +

a2 (*«) <4 <X *)} ds *)•

(8ЛЗ)

В принципе, все производные от X]

и их ядра можно выразить в

терминах X, и У(s) для s е

[О, Г], но выражения усложняются для

высших производных.

(А.2).

Согласно

(8.12), о’Ци) =

Исследуем

предположение

= (DXli,DX\yH**), i, j =

...,

задаются

равенством

О» И

j* (У (О Г " 1 (*))jc ] (X.) ( У (0 у - 1 ( * ) ) Ц

( X

. ) (8.14)

Как и в

r, =( X, ,

Y(t) ) — процесс

на расслоении

GL(W) ли

нейных реперов

над R*1, и, пользуясь обозначениями из

§ 2, имеем

oil (w) = j' У (Of'/лр (rv)Y(t)\ /др(гу) dv.

(8.15)

“

Здесь

— векторное поле па R*1, определенное равенством

Ар(X) =

(

)

Э =

1, 2, ....

г.

(8.16)

Положим

аИ(ш) =

(rv) fAp(rv) dv.

(8.17)

—

Л е м м а

8.3.

Предположение

(А.2) удовлетворяется

тогда и

только тогда, когда det(a’J(w )) > 0 для Pw-n. в. w и каждая компо нента матрицы (ai3(w))~l е 3?p(Pw) для всех р > 1.

Д о к а з а т е л ь с т в о .	Мы зпаем,	что***) sup\|iy (f)!\|е 2 ’p (P w )
для всяких Г > 0 и р >	1. Ктому	t e [ n , j ]
для всяких Г > 0 и р >	1. Ктому	же Z(t) = Y(t)~l определяется

*) Черточки под а и р подчеркивают, что символ суммирования опус кается и в том случае, когда аир расположены па одпои лилии.

**) Как обычно, Н* отождествляется с И. d

***) Для d X ^-матрицы а — (a j) fl a f --= 2 |аj |“-

334	ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ ПА МНОГООБРАЗИЯХ
из	уравнения (2.27). Поэтому, по той				же причине,				sup\|\|Z(J)\|le
е 2	’\|,(/,'г) для всяких		Г > 0 и р > 1 .		Так		как	а = Y(t)aY(t)* и
о-1 = Z(t)*a~lZ(t), то			утверждение получается					немедленно*).
	Следуя Малливэну [114], определим семейство векторных полей
2j для каждого / = 1 , 2 , . . . ,				равенством
	[^ Р 2‘ ’ ‘ [^ P j-!»			^ P j]]‘ ‘ ‘ ] ’ Ри		Рг>	•••!	А/	1> 2* .	г)
										(8.18)
и			2j = 2i US2 U... U2j.							(8.19)

Для каждого J G R1положим % (х) = {Lxе						Тх(К*1) ; L е 2Д и
		Фj М = 2 (<let((L,)*, (Lt)x,				...,	(Ld x))\			(8.20)
где суммирование происходит но всем					наборам			из	d касательных
векторов (Lt)„		(L2)x, .. -, (Ld x^ %(х).
	Т е о р е м а	8.2 ([114]). Пусть ^ e R 1' задано и Xi = (X(t, х, ш)) —
решение уравнения (8.10). Для е > 0 ,					U> 0,		натурального числа N
и окрестности D точки х положим **)
	ut0,x,D («) = р (фл (Х<) < е для всех					t е= [0, t0 Д т^]),				(8.21)

где TC = inf{<; Xt&D). Предположим, что мы можем выбрать отно сительно компактную окрестность D точки х и натуральное число N так, что для всякого U> 0

щ (е) =	И(0,д’,п(е) =		о(е'<)	для всех k = 1,		2 при г \0. (8.22)
Тогда для	всякого	t > 0		система	винеровских		функционалов
X(t, х, w) — (Xl(t, х, w),			X2 (t, x, w), ..., Xrt(l, x,			w))	удовлетворяет
предположению (Л.2)		и поэтому вероятность перехода
	P(t,	х,	d y ) = P(X(t,		х, w ) ^ d y )

имеет С“ -плотность p(t, х, у) относительно меры Лебега.


Для доказательства			мы воспользуемся			следующими			леммами.
Л е м м а	8.4. Пусть К > 0 и QK — множество всех положительных
квадратичных форм q(l)~ qi}VV				на Rrf	таких, что		II7I=
К. Тогда для всякого е > 0				можно найти N (К, б)				точек		{(,,} на
единичной сфере		в R*	таких, что из N(K,			г)=^ (cK/&)d~1 и				q{lk) ^
>&{q^QK,	k =	1, 2,	..., N(K, е)),		следует,		что	inf	q (l)^ e j 2 .

Здесь с — константа, зависящая только от d.

*) а = (aij), а = (aiJ).

**) В последующем P w обозначается просто через Р.

§ 8. ПРОБЛЕМА ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТИ

335

Д о к а з а т е л ь с т в о . Для q s QK и l, i 'e R 1* таких, что НЛ1= 1, имеем

\ q ( l ) - q ( l ' ) \ < 2 K \ l - l ' l

Поэтому достаточно выбрать 4 так, чтобы гаар с центром 4 и с ра

диусом е/(АК) покрывал единичную сферу.

непрерывный

Л е м м а

8.5. Пусть К > 0

X (t) — одномерный

семимартингал

X(t) = Х(0) + m(l) + Л(1)

такой, что

<m}(t) =

= Сa (s) ds,

A (t) = j P (s) ds

|a(s)|<X ,

|^(s)|sgX.

Тогда

для

не зависящую

от а, Я

всякого a >

0 можно найти константу с >

и К такую, что

Р ipа< Я) ^ е~с,,г1кх для всех

Я е

(0, аЦ2К) ,

где оа = inf { t : |Х(£)— Х(0) I >

а}.

теореме П-7.2',

существует

Д о к а з а т е л ь с т в о . * )

Согласно

одномерное

броуновское

движение b(t)

(6(0) = 0)

такое,

что

X(t)~ X(0)=b{<m>(t)) + A(t).

Так

как

{| Х (0~ Х(0) I > а) е

<= {|fe (<т> (г)) I >

а/2) U{|Л (t) I >

а/2),

то

имеем

оа^(а/2К) /\

А (о«/»/к),

где

ов / 2 = inf it;

\b{t)\> а/2).

Поэтому,

если

0 < Я <

< а/2К, то имеем

Р (Оа<

Я) <

Р (Sali <

K l) < у = =

J в - ^ Ч х <

—еа*1Юь

' “ *

а/2

Этим и завершается доказательство.

Прежде чем сформулировать следующую лемму, введем неко торые обозначения. Для конечного интервала I и квадратично ин тегрируемой функции a(s), определенной па /, мы полагаем


	<Л («) =		j- j- \| j \ а	Ф )2— fl2] d s ,
где а = j-jrj j	a{s)ds. Легко		видеть,	что ai{a1 + a ^ ^ o iia ^	+	Oj(a2).
Л е м м а	8.6. Пусть	b = (b(t))— одномерное броуновское				движе
ние. Тогда для всяких а > 0 и г > О
	р (°[п,«] Ф) < еХ			У 2 ехр		(8.23)
Д о к а з а т е л ь с т в о .		Без ограничения общности можем пред
положить, что 5(0) = 0.		Используем следующую хорошо			известную

*) Доказательство, в сущности, было проведено в теореме 4.2.1. Мы повто рим его в силу его важности.

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных