Материал: Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

 

 

 

§ 8. ПРОБЛЕМА ГИПОЭЛЛППТИЧНОСТИ

 

 

 

 

341

Пусть ah=

*2 + 2 (к — 1) ^

*,

* -

1 , 2 , . . . ,

2,(Р;

о). Тогда

интер­

вал ё, должен быть одним из интервалов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[< % 0> Ы . <ми0>(а> + c- / q 3 °]: =

/ft.

 

 

 

 

Таким образом,

 

 

29{^~Ъ Г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 , Pj(0

:

 

 

 

 

}

 

 

 

 

 

 

 

 

у

{а1 к(В )< ЬКв{>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и согласно лемме 8 . 6 *)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р ( 4 р . ( 0 ) < / 2 2,(Р;'

3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< 2"К ец>( —

 

 

что и доказывает оценку (8.39).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Положим А’ {!) =

U

 

 

U

4,Р,-(0.

 

9 > ? о -

где

Р; = 5 X 4Ч~’ -

 

 

 

2«;0<V 2<i<y0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда, учитывая (8.37)

и

 

(8.38), из и»

 

^

(J Л, (Z)

получаем,

что

I 1

(w, I) = | 2 [/•/Aa]2

(^(s))ds^

c3 e9 6>гДе с6 =

5 X 4Л'. Согласно лем-

 

 

еч “

 

 

 

 

векторов

h,

h, ...,

£v,

таких,

что

ме 8 .4 , найдутся v единичных

v < c 7 e^C6 <d-1 ) < e ^ C8,

и

таких,

что

из

w(£Aq [} ^ U ^^

9 (/*)^ : =

Ач

следует

inf I 1 {w, l ) ^ c szCq /2. Согласно

(8.32)

п (8.39), имеем

 

 

 

M=i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р (Л,) <

м1 / 2

(eq) + 2 exp (—

 

+

Ц *9 exp { — с4 /е,} <

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<

wJ/2 (е9) +

е Г 10 ехР { -

<7 i/e,}.

(8.47)

Построение

величин tq, t?

и Ая со

свойствами (8.26)

и (8.27)

за­

вершается замечанием, что

V d/

i

n

 

f

 

I).

 

 

 

 

 

Закончим паше доказательство. Положим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сс'Ц(w) = J /лр(г3)/л р(7) ds.

 

 

 

 

 

Тогда а(9) =

У (fi) a(9) У (fo)*-

Следовательно,

||a

1 f;

 

 

<

sup Ц у'Ч о!!2aI (9) I

 

 

для всякого q. Так

как Р(Ач — 0(2~яЬ

:) Заметим, что (tnv у (я,,) является моментом остановки для B(t).

342 ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ ПА МНОГООБРАЗИЯХ

для всякого L >

0, то

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

ь

 

 

 

 

 

 

 

Л1хА2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A jT t А 2О *• *П-<4д_

 

 

 

 

 

 

 

V\o<t<l

 

 

И

^9-1

 

OO

J

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< 1,(E ( sup

1^ “ * (0!i4/')V

 

C1SS 2

2 peq- {q~ i)L/2

<

OO

 

 

 

 

 

 

 

\ \ 0 < f < l

 

 

 

. ' /

 

9— 1

 

 

 

 

 

(выбрав

L>2cp). Тот факт, что E l

sup | Y

' (t) |4 ,:<; °o уже

отме-

чался в доказательстве леммы 8.3.

 

Таким

образом, £(11а-1Нр) < <»

для

всякого

р ^

1

и

согласно

лемме

8.3

доказательство

теоремы

завершено.

 

 

8.1. Пусть й — подалгебра Ли алгебры Ли вектор­

З а м е ч а н и е

ных

полей Т(К''),

порожденная злемеитами A t, Л2,

..., Аг. Предпо­

ложение

теоремы

выполняется,

 

если

dimй* = d, где

й*= {L *e

е Т*(Щ :Ь е й>. Предположение

теоремы

 

констатирует,

что

мно­

жество

{у : dim й„ < d) разрежено в точке х

в определенном вероят­

ностном смысле. Это предположение неулучшаемо, если вектор

сноса Ао — 0

(см. Хермандер [177]). Если Ло^ 0 ,

то

предположение

не является неулучшаемым, как это видно на следующем примере.

П р и м е р

8.1

(Колмогоров

[89]). Пусть d — 2,

г = 1

и A t(x) =

_ д

л

t \

 

\

Я

Очевидно, йх =

1 для всех х и предположение

=

 

лч\х) = х

 

 

теоремы не удовлетворяется. По существует С°°-плотность

вероят­

ности

перехода.

Действительно,

соответствующая

диффузия

 

Xt =

= (X }, X f) задается равенствами

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

XI = х1 + Bt, X2t = х2 + хЧ + j В4 .4,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

где Bi — одномерное

броуновское

движение. Следовательно,

вероят­

ностный закон процесса (Xt) есть

гауссовское распределение на R2

со

средним

(х\

х2 + х'1 )

и

ковариационной

матрицей

 

V (t) —

 

 

 

 

j.

Так

как йе1У(1)=7^0

для

всякого

£ >0, то

это

рас­

пределение

имеет гауссовскую

плотность.

Легко

проверить,

что

матрица o = (a,J(u;)) для винеровского функционала [X], X]) по­ стоянна и совпадает с V(t).

Г Л А В А VI

ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

§ 1. Теорема сравнения для одномерных процессов Ито

Предположим, что заданы следующие объекты:

 

 

(I) строго возрастающая функция р(х),

определенная на [0, °о)

такая, что р (0) == 0 и

 

 

 

 

 

 

 

jp ( | ) - 4 | = o o ;

 

 

 

(1.1)

 

 

CH-

 

 

 

 

 

OI) действительная непрерывная функция o(t, х), определен­

ная на [0,

оо) XIV такая, что

 

 

 

 

 

\a(t,x)~ o(t, г/)|<р(|х — г/|), , г , г / еВ \

0;

(1.2)

(III)

две действительные

непрерывные

функции

b,(f, х) я

b2(t, х), определенные на [0, °°)X lC такие, что

 

 

 

 

 

bx(t, х) < 62 (I, х),

0,

I E

R1.

 

(1.3)

Пусть (Q,

8Г,

Р) — вероятностное

пространство

с

потоком

(Р'<) (>0-

Т е о р е м а

1.1.*) Предположим, что заданы следующие случай­

ные процессы:

 

 

 

 

 

 

(1)действительные (^”()-согласованные непрерывные процессы xx(t, о)) и x2(t, со);

(2)одномерное (@~t)-броуновское движение B(t, о)) такое, что

ЩО) = 0 п. н.;

(3) действительные (STt)-согласованные вполне измеримые про­

цессы р,(1, со) и [}2(1, м).

 

 

 

условиям:

Предполагается, что они удовлетворяют следующим

с вероятностью единица

 

 

 

 

 

 

t

 

t

 

 

 

Xi (t ) — Xi (0) =

j O(s, Xi (s)) d B (s) + \ ^ (s) ds,

г =

1, 2,

(1 .4)

 

0

 

0

 

 

 

x x (0 )< x 2 (0),

 

 

 

 

(1 .5 )

Pi (t) ^

6, (t, x l (t))

для

всякого

 

0,

(1 .6 )

Рг (t) ^

b2 (t, x.2 (I))

дл я

всякого

t > 0 .

(1 .7 )

*) Эта теорема охватывает предшествующие результаты, получеппые Ско­ роходом [1501, Ямада [185] и Малливаиом [115].

344

ГЛ. VI. ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИИ

 

Тогда с вероятностью единица

 

 

Xi(t)*S: xt(t) для всякого VS* 0.

(1.8)

Кроме того, если выполняется условие потраекторпой единствен­ ности решений по крайней мере для одного из следующих стохас­ тических дифференциальных уравнений:

 

dX(t) = o(t, X(t))dB{t)+b,{t, X{t))dt, i = 1, 2,

(1.9)

то (1.8)

имеет место при более слабом условии

 

 

 

bi(t, x ) ^ b z(t, х)

для

t^O,

i e R

‘.

(1.3)'

Д о к а з а т е л ь с т в о * ) .

Обычное

рассуждение

локализации по­

зволяет считать, что o{t, х)

и bi(t, х )— ограничены.

 

Ш аг

1. Предположим, что bi{t, х) — лнпшицевая функция, т.е.

существует постоянная К > 0 такая, что

 

 

 

 

\b1 (t,x) — b1 (t, у) К

/Г \х — у\,

X J G

R1.

 

Выберем последовательность ф„(гг), га=1, 2, ..., непрерывных функции так же, как при доказательстве теоремы IV—3.2 и положим

 

 

 

 

0,

 

 

х sg; 0,

 

 

 

 

фпМ

*

У

 

 

 

 

 

 

 

J dy J

(u) du,

х > 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

«

 

 

 

 

Легко видеть,

что

фп^С^К1),

фп(х) = 0

для

 

0 ^ ф ^ (г )^ 1

и cpn(x )t х+ при п

оо. Применение формулы Ито дает

 

 

 

<fn{xi(t) -

xz(t)) = It(n)+ h{n) + I3 (n),

 

где

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л (n) =

J ф', (Xj_(if) — x2 (if)) (a (s, xt (if)) — a (s, x2(s))} dB (if),

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

=

t

(^1 (s )—j

x‘i (

ф *

(sп) )—)

{

dsP P i 2

( * ) }

h in)

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

■%

 

 

 

 

 

 

 

h (n) =

4- |Фп (*i (*) — x 2

(«)) (CT( S , Xt ( s ) ) — a (s, x2 (s))}2 ds.

Ясно, что E (/, (n)) = 0 и

 

 

 

 

 

 

E ( h H )

<

 

(■*! (®) _

* * (S)) P (I X1 (*)

— X*-(S) l2) ds j

*) Приводимое доказательство принадлежит T. Сига [180J.

§ 1. ОДНОМЕРНЫЕ ИТОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ

345

Также

 

t

 

 

 

 

(« ( « ) <

j

фП(*i (s) — Ч (*)) {Ъ1 («, *i («)) — Ь2 (s, a:2(s))} ds =

 

О

 

 

 

 

 

f

 

x 2 (.?)) {& ! (s, a:! (s)) —

&! (s, X2 (if))} d s

 

=

j

Фп (.ti ( S) —

+

 

0

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

+

J

фп («1 (*) —

* 2 (*)) { b l (S- *2 (*)) —

b2(*, -r 2 («))}

<

 

0

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

<

j

Фп ( Ч (я ) —

z 2 (s)) (Ь г (s, 24 (s)) —

Ь г (if, z 2 (s ))} d s

<

 

О

 

 

 

 

 

t

 

 

 

t

 

< к j / lKl(S)>,2(,)] |X! (.9) — хг(if) |ds <

К j (хг ( s ) — X%(s))+ ds.

 

о

 

 

 

0

 

Следовательно, устремив re -*- «>, получаем

 

 

E [(xt (t) -

* 2 (t ))+] <

f (* t (s) -

z2 (s))+ d sj =

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

-

A: f я

((*I (* )-* ,(* ))+)<fc.

Отсюда можно заключить, что

 

 

 

 

т. е.

Е [(хг(£)— ■т2(£))+] =

0

для

всех

£ ^ 0 ,

 

 

 

для

всех

О,

 

Р (xl (t)^ .xi (t)) =

I

и в силу

непрерывности

траектории

заключаем, что (1.8) выпол­

няется.

Если предположить, что липшицевой является функция Ь2(£, х),

то аналогичное рассуждение привело бы

к тому же выводу (1.8).

Ш аг 2. В общем случае выбираем b(t,

х)

так, что

bi(t,

x)< b (t, х)<bi(t,

х)

и b(t, х) — липпшцевая

функция. Пусть

X (t) — единственное ре­

шение стохастического дифференциального уравнения

dX (£) =

ст (f, X (£)) dB (t) + b (t, X (£)) dt,

X (0) =

x„ (0).

 

 

Тогда из результата шага 1 следует, что X(t) ^ x2 (t) и xt(t) <1 X (£) для всех О 0 п. п. Следовательно, можно заключить, что (1.8) вы­ полняется.

Смотрите также:

«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных