Материал: Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

§ 3. ОДНОМЕРНЫЕ ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ	351

§ 3. Некоторые результаты относительно одномерных диффузионных процессов*)

Пусть / = (/, г) — открытый промежуток в R1(—°° < I < г < °°). Пусть а(х) и Ъ(х) — достаточно гладкие, вещественнозначные функ ции**) на I такие, что о2(л:)>0 для всех х^1 . Для х ^ 1 стохасти ческое дифференциальное уравнение

dX (t) = о (X (t)) dB (t) + b (X (t)) dt,
X ( 0 ) ~ *						<з л >
имеет единственное решепие	Xх(t) до	момента взрыва			е =	Птт,\|,
где т„ = inf {t : X *(f)e [я„, Ь„])	(я„ и Ъп	(п =	1, 2, ...)			П Too
				выбраны таким
образом, что К а п< Ь „ < г и я„1/ и 6„tr).			Аналогично		тому,	как и
в доказательстве леммы IV—2.1, можно			показать,	что	Jim Xх (t)

						tie
существует н равняется I или г н. и. па множестве {е < °°). Опреде
лим Х*(<) равным этому			пределу для t > e		на множестве		(е < °°}.
Пусть	Wj — множество всех			непрерывных	траекторий w : [0, «>)-»-
-*]/,	г] таких, что и ?(0 )е / и w(t)— w(e(w)) для всех t > e ( w ) ^
S3 inf \t: w(t) — l или		w(t) = r). e(w) называется моментом взрыва
траектории w. Тогда		Xх — {Xх(t) } определяет W j-значный					случай
ный элемент с е[Хх] = е.			Пусть Рх— вероятностный			закон	на Wj
случайного элемента		Xх.	Как	мы видели	в гл. IV,	Рх определяет

диффузионный процесс на W,, называемый минимальной L-диффу зией, где дифференциальный оператор L определяется равенством

			' —	т ' Ч * » ; ? - 1- <>■£■					<3-2>
Пусть с I		фиксировано и
									(3.3)
Функция s(x)		является строго возрастающей гладкой функцией на
/, удовлетворяющей равенству
				Ls(;r)s=0	на	I.			(3.4)
Т е о р е м а		3.1.	(1) Если s (!+ ) = —оо и s(r—) — °°,				то
	Рх (е =	оо) =	Рх	X (t) =	rj =	Рх jKm X (t) = lj =		1	(3.5)
*)	См. [77] для более полной информации.						что	о и	b при
**)	В дальнейшем рассмотрении достаточно предполагать,						что	о и	b при

надлежат классу С1.

352	ГЛ. VI. ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ II АППРОКСИМАЦИИ

для всякого*)		х. В частности, процесс является возвратным, т. е.
Рх(ву<	°°) — 1 для всякого х,			у^ 1 , где оу=	inf {t : X (f) =		у}.
(2)	Если	s ( l + ) > —°°	и	s(r—) = °°,	то	lim X (t)	существует
Р		Рх \| Н т X (t) =	lj = Рх ^sup X (t) <			гj = 1	(3.6)

для всякого х. Аналогичное утверждение справедливо, если поменять

ролями I и г.

и s (г—) <

то П т X (t)

существует п.н. и

(3)

Еслив(1+)> —

tie

Р , (Н т X « ) - I) -

1 -

Р , (lim X (1) -

г) -

(3.7)

Таким

образом,

процесс не

является

возвратным

случаях

(2)

и (3).

Пусть К

а < х < Ъ< г и

т = inf {£: X, е=

Д о к а з а т е л ь с т в о .

ё [а , Ь]>. Согласие формуле Ито и равенству (3.4),

fЛт

s{X x( t M ) - s ( * ) =

J S'U 'x(S))o (X K(S))d 5 (,)

и, следовательно,

Ях[в(Х(£Дт))] =

s(ar).

Устремив

ft°°,

получаем

^ [s (^ (T ))] = s(a)P*(X (t) = a) + s(b)PI(X (T )= b ) = s(a:).

Комбинируя это с 1 = Р*(Х(т) = а) + Рх(Х (т) — Ъ

находим, что

р , ( Х ( , ) - « ) _ Щ

p , (x

- n - ; - g

g .

(з.8)

Пусть

s(r—) = —s(l+) = °°.

Тогда

lim Рх(X(т) == б) =

Следова

телыю,

Рх (sup X(t)~^ Ь\ ^

ли

Ъ = 1

для

всякого

Ъ<т

lim Рх (X (т) =

И поэтому Рх ^sup X (£) =

r j

= 1 .

Аналогично Рх ^inf X (t) = Zj = 1 .

Теперь

нетрудно

вывести

утверждение

(1). Далее,

предположим,

что s ( l + ) > —°° и s(r—) = ° о. Так же как и выше, можно получить,

что	Zj = 1.	(3.9)
Рх pnf X (£) =	Zj = 1.	(3.9)
Процесс Y"'1= s (X (t Д т)) — s (l +)	— неотрицательный	мартингал,

и устремляя а\1 и 6tr, легко можно заметить, что Yt = s(X (t Де)) —

— s(l	+ ) — неотрицательный супермартингал. Следовательно, сущест
вует	н. н. конечный предел lim Yt =	lim s (X,) — s {l + ) (теорема
	ftoo	t i e

I—6.4). Поэтому lim X ( существует п.н. и в силу (3.9) имеем (3.6). tie

*) X(t) = X{t, w) — w[t),

TanHte e = e(w).

§ 3. ОДНОМЕРНЫЕ ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ

353

Д о казател ьство

у тв е р ж д е н и я

( 3 )

ан ал о ги ч н о

по это м у о п у -

в кается .

г — ф иксировано. П о л о ж и м

П у с т ь К

с <

(3.10)

*(z)=2jelp[^—

Л е м м а

3 .1 .

Пусть

и (ж ) — единственное

решение

уравнения

Е й (ж ) =

и (ж ),

и (с ) =

н '( с ) =

0 .

(З.И);

Тогда

к (ж)

и (ж)

е х р {к (ж )},

/ .

(3.12)

Доказательство.

Фупкция

и(ж)

есть решение

уравнения

(3.11)

тогдаитолько

тогда,

когда

и (ж)=

{ ds(y) j u(z)dm(z),

где

ds (у) = exp

—f

dy п dm(z) =2 exp

(»])

dr\

- ± — dz.

{

(z) J

L% °

J o' 00

Следовательно

и&(ж) с и0(ж )^1

и„(ж) =

и(ж)= 2

|ds (у) 1M„_ J(Z)X

л=о

xdm(z).

Очевидно

un(x)> 0

и,(ж )=Е(ж).

Поэтому

п(ж )>

^1 + Ui{x) — 1 + к(х). С другой стороны, если предположить, что (z)</c(z)7/i!, то

х	у				х		у
ип и (ж) = j ds (у) j		ип (z) dm (z) <		^ j- J ds (y) j к (z)n dm (z),К
							c
	- г j	* (у)* (s/)n J			( z) = 7 Г J ft№)n d iftШ =
Следовательно, и (ж) = 2			“ n И	<	2	* "f~	= 0XP {& (я)}.
З а м е ч а н и е		«=0			«=0
З а м е ч а н и е		3.1. Очевидно, что
(1)			k(r—) <		o° =*- s ( r — ) < 00
( I I )			f t ( Z + ) <		o o = ► s ( H		- ) > — o o .
Т е о р е м а	3.2.	(1) .Если k(r~) = k( l+)= °°, ro
		P*(c =	o°) = 1		для всех		ж е / .	(3.13)
(2) Если k(r—) < °° или k(l+)<						TO
		Px(e<°°)> 0			для	всех	ж е / .	(3.14)
23 с. Ватанабэ, Н. Нкэда

354	ГЛ. VI. ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИИ

(3)Равенство

Рх(1< °°) = 1 для всех х<=1

имеет место тогда и только тогда, когда имеет место один из сле дующих случаев:

(I) k(r—)< °° и к(1+)<°°.

(II)k(r—) < ° ° u s ( l + ) = —°°.

(III)к(1+)<°о и s(r—) — °°.

До к а з а т е л ь с т в о . Пусть и(х) определяетсяравепством (3.11).

Пусть К	а < х <Ъ < г и т =			inf { t : X(t) Ф (а, b) }. Согласно формуле
Ито,
de-tu(X(l)) = e-lu'(X(t))e(X(t))dB(t) + e-*(-u(X(t)) +
		+ (Lu) (X(t) ))dt = е~*и' (X(t))o (X(t)) dB(t)
и поэтому	e~li\xu {X {t/\т )— мартингал.				Устремляя		all	и	btг,	не-
медлеппо	убеждаемся, что		ехр(— tf\e)u(X(tДе))				— неотрицатель
ный супермартингал. Если				к (г—) = к (1+) = °°, то			по	лемме		3.1
lim и (я) =	Нш и (х) =	оо. Следовательно,			неравенство Рх(е < °°) > О
Х \ 1	5С\|Г	как	неотрицательный			супермартипгал				t
невозможно, так
exp (— (t /\е))и(Х (t/\e))			— ограничен		п. н.	Тем	самым		(1)	до

казало.

Далее, предположим, что к(г—) < °°. Без потери общности можно

считать,		что	с < х .	Пусть х =inf{t: X(f) = c). Согласно					лемме	3.1,
и(г—) <		оо и>	следовательно,
ехр(— t/\x')u(X(t Д т'))— ограниченный Р^-мартингал (3.15)
Поэтому			и(х)= Ех [ехр{— t/\x')u{X(t/\х'))].						(3.16)
			и(х)= Ех [ехр{— t/\x')u{X(t/\х'))].						(3.16)
Устремляя ttoo в (3.16), получаем, что
и(х) =	2?хГехр (— е) и (г —); lim				X(f) «=r] +
		L		(ТеДт'			J
					+ /?жГехр(— т')н(с);			lim	X(t) =	c].
						L		tteAX'		J
Если	£,хГехр(—e):			lim X(i) =	rl =	0, TO
		L		ПеДт'	J	lim	X (t) = с] ^	и (c).
		u(x) — u(c) Ex\exp (— x’y,				lim	X (t) = с] ^	и (c).
				L	ПеДт'		J

Это, очевидно, является противоречием. Следовательно, £\с£ехр(— е);

lim X (t) =		г] >■ 0, откуда следует, что Рх(е < °°)> 0.
(ТеДт'		J	(3). Если		к(г—)< ° °	и	не выполняется нп
Докажем,		наконец,
одно из	условий (I),		(II)	и (III), то должны			иметь,	что « (/+ )>
> —оо	и	к(1+)= о°.		Тогда	Рх ^HmX (t) =		Zj > 0.	Так	как
exp (— t /\е) и (X (t /\е)) — неотрицательный						супермартингал			и

§ 4. ТЕОРЕМА ДЛЯ ОДНОМЕРНОЙ ПРОЕКЦИИ	355
limu(z)= оо, то е — оо п.п. на множестве {limX(f) =	1\. Следова-
\ tte	I
тельно, Рх(е = °°)> 0. Значит, если Р *(е< °°) = 1, то	должно удов

летворяться .по крайней мере одно из условий (I), (И) и (III).

Теперь достаточно показать, что каждое из условий

(I),

(Н) и

(III)

влечет за

собой

соотношение

Рх( е < ° ° ) = 1

для

всех

х.

Сна

чала

предположим,

что

справедливо

(I). Определим

G(x,

у),

х, у е

/ равенством

(${х)—s ( l —)) (s (г — 1 —

S (у))

Ж У ,

G(х, у)

s { r — ) — s ( l + )

(s (у)— s(l —))( S (г — ) —

S (X))

s(r —)—S(l- ;-)

Если f(x)— ограниченная,

непрерывная

функция на /, то из усло

вия

(I)

следует,

что

и (х) =

JG{х, у) / (у) т (dy)

является

ограни-

ченной функцией. В частности,

(х) =

\ G(x, y)m(dy) — ограничен-

ная

функция. Легко

доказать,

что

и(1+)= и(г— ) = 0 и

и ^ С 2(1),

Lu = —f. В

частности,

Lul = —1. Поэтому, согласпо формуле

Ито,

the

и\ (X (s)) dB (.9 ).

ul (X (I /\е)) — u1(x) +

t/\e =

Следовательно,

— Ех (иг (X (t Де))) +

(х) = Ex(t Де).

Устремляя

t|оо} получаем и, (х) = Е х(е) <

°°. Этим доказывается, что Рх(е < оо) =

= 1. Далее,

предположим, что выполняется условие ( I I ) .

Для каж

дого

п = 1,

2, ...

положим

an = mHf:

X(t) = 1+ 1/п)

ar = inf{f:

X{t) = r). Тогда lim a„/\ar =

e. Согласно результату для случая

(I),

П Т оо .

Рх (стп Дог <

оо) =

1 для всех х. По теореме 3.1

lim Рх (п„ >

ar) = 1,

П|0 0

так как s(r—)< °°

и $(/+) =

—°°. Ясно, что (ог <; оо) =

U {O r<o„)

и Рх(аг < ° ° ) = 1 .

Следовательно, Рх(е <

°°) = Px(ar= е <

°°) = 1.

(III)

получается, если поменяем ролями I и г.

§ 4. Теорема сравнения для одномерной проекции

диффузионных процессов

Пусть a = (at (х)) — достаточно

гладкая

фупкция:

R1* э ж ь >

>-* о (х) е

Rd ® R'(,

b = ( b f(x)) — достаточно

гладкая

функция:

Rd з

х <-+ b (х) з

Rd. Рассматриваем

диффузионный

процесс

X =

= (X(t))

на 1V\ определенный решениями следующих стохастических

дифференциальных уравнений:

dX\=

oi{Xt)dB\ +

ViXfidt,

i =

1 ,2 .........d.

(4.1)

23*

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных