Материал: Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

356	ГЛ. VI. ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИИ

Диффузия X определяется до момента взрыва е (см. гл. IV, § 2). Как объяснялось в § 2 гл. IV, X — это диффузионный процесс, по рожденный дифференциальным оператором

(4.2)

		i J — 1		dx*'

где	d	ol (x) a{(x).
	o« (x) = 2
	k—i			функция на R4 и пусть
7 =	Пусть p (x) — гладкая, действительная
	{£ = /> (ж): i s R 1},		Тогда 7 — интервал	в R*. Пусть S — множе
ство (возможно пустое)			всех a ;e R d таких, что р(х) — конечная точ
ка	интервала	7. Пусть	7° — максимальный	открытый интервал, со

держащийся в 7, а 7 — минимальный замкнутый интервал в [—°°, °°], который содержпт 7. Мы предполагаем, что

/ d

\ 1/2

\|Vp(#)l = ( 2		а‘} ix)~ i (х) “T W			> 0 для всех
\t.j--i		дх% дх’			1
Положим			d
			d
		Ь(х) =	(Lp) (ж)/а(х),			ж е R d\ 5 ,
и		sup	а (ж),			inf	а (ж),
« + (1) =		sup	а (ж),	«"(!) =		inf	а (ж),
	x^D(i;p)			ъ~{1) =		ж е П ( £ ; р )
Ъ+ (1) =		sup	b (ж),	ъ~{1) =		inf	Ь (ж), I е / ° ,
		р )				x e D (l',p )

(4.3)

(4.4)

(4.5)

где 77(1, р) = {ж: р(ж) = £) для	&е 7“. Будем		считать,	что а* (\|) и
Ь(\|) — локально липшицевые функции на 7° и а (\| )> 0 .
На интервале 7“ рассмотрим	следующие		четыре	минимальные
диффузиопные процессы £±± = (	t	которые порождены опера
торами L±d:, соответственно, где

(4.6)

§ 4. ТЕОРЕМА ДЛЯ ОДНОМЕРНОЙ ПРОЕКЦИИ

357

Каждая из диффузий задается как и в § 3. Таким образом, траек

тории процессов %±±(t) определены для						всех		и являются			не
прерывными 7-значными траекториями					с	/\ /°	в качестве		ловушек.
Пусть	Х ( — траектория вышеприведенной						диффузии		(4.1),		вы
ходящей	из	точки ж0 *= R'!\S. Положим				£ =	inf {f;		Х ( е		S}.
Мы предполагаем			что, если	£ < °°, то	Um р (Xs)			существует			в 7.
Положим	p(Xi) = lim p(X s)					*тс				опре-
				для t>%. Таким образом, р (X,)
деляется для всех t 3* 0 как /-зпачная непрерывная траектория.											lo 33
Т е о р е м а		4.1	([57]). Пусть		d\S фиксировано				и
— р(х0 <^ /°.		Пусть	X = (Х () — вышеприведенная					диффузия,		начи

нающаяся в точке х„. Тогда можно построить 1-значные непрерывные случайные процессы Ц/, тр , ip , тр ', тр на одном и том же вероятностном пространстве такие, что выполняются следующие свойства:

(I)

Распределение

(тр)

совпадает

распределением (p{Xt)),

(II)

(ц **)

имеет то же распределение, что и

|±:t =

(£±;t (f)) —

процесс, начинающийся в точке

для каждой из четырех комби

наций ± ± .

(III) Если Tjt = max тр,

тр =

min тр

х£± = max

,nf± =

= min t]?*,

- 0 < « t

—

0 <$<t

то, с вероятностью единица,

тр

гр ^

Tlt"^

для

всех

t^ O ,

(4.7)

Dtf “ <

Hi <

ЦГ+

для всех

t > 0 .

(4.8)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Для

простоты

предположим,

что

£ “ 00

п. н. и что

являются консервативными диффузионными про

цессами на /°; общий случай доказывается

небольшой

модифика

цией. Положим

Ф+ (0 = J [я (Х8)/а+ (р (X.))] ds

Ф_

(г)

[fl (X.s)/a- (p (Xs))] ds,

Тогда,

очевидно, cp+ (t) ^ t ^

cp~ (t)

для

всех

t 3* 0. Пусть

\f>+(t)

и if)~ (/) — обратные

функции

функциям

(«■(p+ (i)

и (ьир~(г),

соответственно. Положим Х[^ = X (г|з+ (£))

и Х["

Как

и в гл. IV, § 4, мы видим, что

X (t+) =

(X j+)1, X (t"r)2,

. . . , X (,+)d) и

X t(~> =

(X [-)1, Х (Г )г, . . . , X\~)d) удовлетворяют следующим стохасти

ческим дифференциальным уравнениям с подходящими d-мерными

броуновскими	движениями	# <( \|) =	(Z?(t+)1, В\+)23	... , В\+^й) с
^о )==0 и В\	) = (В[ }1, В\ >2,	. . . , В\	)d) с Во-) =	0 соответствен-

358		ГЛ. VI. ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИИ
но:
dX<t+H =		(а+ (р (Х\+)))/а {Х\+)))«*		S о{ ( 4 +)) dB\+)h +					(4.9)
				k=i
	+	[а+(р(Х\|+)))/а(Х<+>)]ь{ (Х ((+)) ^ .				i = U 2 , . . .		d
у<+) _
An	— О»
dX\-)l =		(а " (p (Х (Г>))/а (Х (Г>))1/2 2 а\(Х<Г>) dS(f					> 4
			к=I						(4.10)
+		[a-(p(X\->))/a(X^)]bi (X<r>)dt,				i ~ 1,2,			(4.10)
+		[a-(p(X\->))/a(X^)]bi (X<r>)dt,				i ~ 1,2,
v(—) _r
0	— **•ft•
Согласно формуле Ито,					oj(xi+))%xi+))d^+y+
^ ( ^ +))=(«+(PW +)))/«W+))),/ 22					oj(xi+))%xi+))d^+y+
				i.j=l
		+	[«+ (p №		) ) /	« W	« ) ]	( i p ) ( xi tl,+>)
									(4.11)
dp (X<->) = (a" (p № >))/a (Х(Г0),/2 2					aj(Xi->)^(X<-))dB5-»+
						d x l
		+	[«" (P (Х (Г>))/а (Х (Г>)] (Lp) (X ^ ) dt,
P №	) =								(4.12)
Поэтому, если положим									(4.12)
Поэтому, если положим
		2 j (!/«(^^±>)),/2aj (X<±>) ^ (X (±>) di?(±W
		iii—l Q
TO (B t )	И {ВТ) будут одномерными броуновскими движениями и
^Р (^ t+)) — (a+ (р (■^t+)) ) ) 1/			+	а+ {р		ft {x\+^) dt,			(4.13)
p W	+)) 4 o								(4.13)
p W	+)) 4 o
j dp (X j- ) ) = {a ~ (p (Х (Г ))) ) ,/2 dSr +				a~ (p ( t f - m ъ / Х (-)ч d.
\ р №	)	Ч .							(4-*4>

§ 4. ТЕОРЕМА ДЛЯ ОДНОМЕРНОЙ ПРОЕКЦИИ

359

Пусть

р (X (t+))

и Т]( =

р (Х (,

)).

Тогда, в силу (4.13)

(4.14),

dr\t =

(а (т!+)),/2 dBt +

а+ (т)+) Ъ(Х (, ! )) dtx

(4.15)

Л^ =

S„

ЙТ]Г =

(а_ (л Г ))1/2^5Г + а~ (т]Г)Ь ( X ^ d t ,

(4.16)

So-

П о

Рассмотрим

следующее стохастическое

дифференциальное

урав

нение:

d4t + =

(a* (r,^+))1/2dBt +

« + in t+) Ъ+ (т1ён ) dtt

(4-17)

Ло

So-

В теореме 1.1 возьмем

X 1(f) =

r]+

X 2(t)=r\f+,

< j ( t , t ) = { a +

( l ) ) ' /2,

= Ъ ( Х \ + ) ) а +

( ц Т ) ,

Ъ+ { ц Т + ) а +

( ч Г + )

M *. S )= M * . S) =

b+ (S )« +(S)-

Так как мы предполагали, что а+(%

Ъ*(£) — локально

липши-

цевые функции, то для уравнения

(4.17)

выполняется условие по-

траекторной

единственности

решений

поэтому,

согласно

теоре

ме 1.1,

r \ t ^ 4 +

Для всех

г ^ О п . н.

(4.18)

Аналогично,

если ц/"

— решение

стохастического

дифференциаль

ного уравнения

dvit

(я+(л* )Y/2dBf + a+ (x\f

(т^ )dtx

Ло ~ =

S0I

Л^

для всех

г ^ О

п. н.

(4.20)

Аналогично,

если [ц*

— решение

стохастического

дифференциалы-

ного уравнения

{ dr\t + =

(t]t +) ) 1/2 dBt

(л< +) Ъ<г(л( +)

I Ло_+ =

So>

ТО

-- 1-

Л(

для всех

( ^ 0

п, н.

(4.22>

Л7

360	ГЛ. VI. ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИИ

Если nJ — решение уравнения

dx\t

(а-

(т!^ ) ) 1/2 dBJ + а

(TJJ

( TI4 )dt,

Ло

(4.23)

то

(4.24)

Л(

Л!

для

всех

t^ O

п. и.

Наконец,

положим

tit = p № ) -

Тогда,

поскольку

max T|+ =>

= max

iis,

min r)+ =

min

r|s

и t «S “ф+(i), то

0 < i < t

0 « 8 < ф + (()

о <S<t

0<8^ф +(О

(4.25)

max r)+ ^ max r|s

min т]^ ^

min rjs.

o*Za-4t

0< s< t

O^scSf

Аналогично, используя тот факт, что t > if)

(t),

получаем

(4.26)

max

ц - sgC max iis

min rj" T5

min ris.

0<«S4(

0< s< i

0 <s<t

Комбинируя (4.18), (4.24), (4.25) и (4.26), находим

~r\f~ =

“ ax r)7“ ^

max rj7<

max Цз =

rit

r]t =

max r)s<1 max Ц* <

max T]f+ =

r)/l' +.

o^Ss^t

0 « s ^(

’ 0 < s < t

Так же можно получить, что

Л^'

^ Л 4^ Л г +- Теорема

доказана.

З а м е ч а н и е

4.1. Если в теореме

4.1 а (х )

зависит

только от

р (х), т. е. если существует функция а(|), определенная на /, такая, что а(х) = а (р (х )), то тогда a+(|) = a_(g) = a(|) и, следовательно, мо

жем допустить, что л++ =	ЛГ+	и т\1~ = ц, " .	В этом случае имеем
Tij ^ Л(	Л(1+	для всех	п. н.

В качестве приложения теоремы 4.1 исследуем возможность взрывов для несингулярных диффузий. Пусть X = ( X ( t ) ) — d-мер ный диффузионный процесс, определенный решением уравнения

(4.1).

Предполагаем,

что d > 2

ж det(a<J(а:))>0

для всех l e R '.

Нашей

задачей является

нахождение критерия,

который

опреде

ляет — произойдет

взрыв

за конечное время или нет, т. е. конечен

момент е или нет. Легко

видеть,

что Х(1)

покидает любое

ограни

ченное множество, содержащее Х(0),

за конечное время п. н., и, сле

довательно, можно предположить для этой

задачи, что

ач(ж) = 6ц и

Ь*(х) = 0 для

г, / =

..., d.

Пусть р(х)

\х\2/2 =

= 2

(я*)*/2,

-т е= Rd. Тогда I =

[0,

°°)

и S = (0). В этом случае

i =

а(х) = 2 аЦ(х)х{х>

1.7=1

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных