Материал: Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

366	ГЛ. VI. ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИИ

(Простой пространственной формой называется сфера, если с > 0 , евклидово пространство, если с = 0 и гиперболическое пространство, если с < 0 (см. [7], с. 256).)

Применим теперь теорему сравнения к броуновскому движению на М. Пусть х0е М фиксировано и пусть В(хс, r) = [х^ М: d(xQ, x ) < < г ). Для фиксированного пусть X = {Xt) — мини

мальное броуновское движение на В(х0, г*). Как мы видели в гл.V,

§§ 4 и 8, плотность	вероятности перехода			p(t, х,		у) процесса X
существует относительно римановского объема m(dx):
Px(X,^dy) = p(t, х, y)m(dy);
кроме того, p(t, х, у)	принадлежит классу С” в				(0,	°°)ХВ(х0, г*)Х
ХВ(х о, г*) и p(t, х,	y) = p(t, у,	х).	Пусть	r*s£r0(c) и			пусть	\|с =
= (lc(t) ) — минимальная //'“’-диффузия на				(0,	г*),	где	оператор
Ь{с) задается равенством
L (C)			i	1	/•) dr
			2	/1 (г,	/•) dr
Предположим, что d>2 . Тогда *)
Г	А' («,	с)		Л(У с) dy
	А' («,	с)	dz	Л(У с) dy
	A (z,	с)		Г А (у, с)
				О
удовлетворяет равенству s(0+) = —			Поэтому		из	результатов		§ 3

следует, что 0 является недостижимой точкой за копечпое время для

5е. Кроме того, плотность вероятности перехода pw (t,						\|, ц) сущест
вует	(относительно	меры		-4(т], c)dt]), принадлежит		классу	С” в
(О,	оо) X (0, г*)Х(0,	г*)	и	удовлетворяет	равенству	p(c)(t, £,	ц) =
— plc) (t, rj, £). С учетом			(5.7), (5.8), (5.9)		и леммы 5.1, из теоремы

сравнения немедленно следуют следующие результаты.

Т е о р е м а 5.1. Пусть кривизна Риччи р(Х) удовлетворяет усло

вию (d—1)6«£р(Х) для всех Х ^ Т х(М), 11X11 =		1 и х^ М .		(Пусть
секционная кривизна К(%) такова, что Х (\| )< а		для	всех	плоских
сечений £	в каждой точке х.) Зафиксируем г*	такое,	что 0 < г* <
rx (М)	(соответственно *), 0 < г ^ г0(а)). Тогда, на подходящем

вероятностном пространстве, молено построить вышеописанные диф

фузии	(Х()		и (\|)Ь)) (соответственно,	(X,) и	(!<а)))	такие,	что
£oW=	d (х0, Х 0)		(соответственно, %(0а =d(x0, X 0 )		и такие, что		если
г, = d(X„,		X,),	то	\|4а) ^ ri)		(5.10)
для О О		п. в.	(соответственно,	\|4а) ^ ri)		(5.10)
для О О		п. в.
*)	0 <	Г0 <	г*.

**) Автоматически имеем, что г* sc r0('6) (соответственно,

§ 6. СТОХАСТИЧЕСКИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ	367

С л е д с т в и е		1 (Дебиярд, Ганс, Мазе [36]).
(I)
lim	(f, г, T-JX		р {t, у, х0 ,	у	= (г, 0), 0 < г < г *
V е		lim	(t, г, rx) ^
{соответственно,		lim	(t, г, rx) ^	p(t,	у, х0 ).
		rjJ.0
(II) Если L— момент взрыва (т. е. момент достижения г* для

(ltW) (соответственно, (9 а))) и момент достижения дВ(х0, г*) для

(Xt)),	то Er,]			у = (г, 0),		0 < г < г *		(соответственно,
Е[а (9 ^	Еу(9),	где	Е[с) и Ех обозначают математические ожидания
по вероятностным мерам, соответствующим процессу (\|(С))										с \|(0С) = г
и процессу (Xt)		с Х0= х, соответственно.
З а м е ч а н и е		5.1. Граница			0 является точкой входа					для (9 °')
и (£(Ь))	в смысле Ито — Маккина [77]. Хорошо известно,									что в та
ком случае существуют				limp(H)(i, г, гД и limp((,)(£, г, гД.
				Г]Ю		г,J.о
Доказательство			получается		немедленно		из	вышеприведенной
теоремы и следствия леммы 5.1.					Если кривизна Риччи				р удовлетво
С л е д с т в и е		2.	(Яу	[189].)
ряет условию
0 ^	p(X)^(ri — 1 ) с > — оо,				X E	T I (M ),	\|X \|= 1,		х<=М,
то (Xt) — консервативен, т. е. P(t, х, М)— 1							для всех х^М .
Д о к а з а т е л ь с т в о .				Без потери		общности		можпо		предполо
жить, что М односвязно, поскольку						броуновское		движение па М

получается проектированием броуновского движения на универсаль

ном	накрывающем пространстве Ш пространства М. Тогда г* = °°
([7])	и утверждение следует немедленно из теоремы.

Аналогичпо убеждаемся, что если М односвязно и удовлетворяет условию

0 > а Ж ( с , ) > —оо для всех плоских сечений |,

то (Х () является невозвратным.

Дальнейшие приложения теорем сравнения, главным образом, к проблеме о наименьших собственных значениях лапласиана, мож но найти в работах Малливэна [115], А. Дебиярд, Б. Гаве, Е. Мазе

[36]и М. Пипски [143].§

§6. Стохастические криволинейные интегралы вдоль траекторий диффузиопных процессов

Пусть	М — многообразие и ц — гладкая ограниченная кривая в
М. Тогда	криволинейный иптеграл ■ f а определяется для любой
	т

дифференциальной 1-формы а. Пусть X = (X (f)) — М-значный ква-

368	ГЛ. VI. ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИИ
зимартипгал, т. е. f / (X (t))		является квазимартингалом в смыс
ле гл. Ill,	§ 1, для всякого / е	F0(M). Тогда можно определить так

же и «стохастический» криволинейный интеграл | а вдоль кривой

(X(s), s e [ 0, i]} для любой дифференциальной 1-формы а, восполь зовавшись стохастическим исчислением. К тому же, получающийся

процесс j а является квазимартингалом. Одни из стандартных X[o,f]

путей такого определения состоит в следующем.

Выберем локально конечное покрытие (W„} многообразия М, со

стоящее из	координатных окрестностей, и выберем покрытия П7„}
и {F„} многообразия М так,’ что
		Un<= Vnс: Vn<= Wn.
Определим	последовательности {о4п)] и (т^ ) моментов остановки
равенствами
	=	О,
	Лп) =	inf i t ; t > oin2u Xt <= Un',
	o£n) =	inf {f; £ >Tftn), X t ф. Vn]

Пусть a = <xi(x)dxi и X(t) = (X‘(t)),x(k ) ^	t ^	относительно ло
кальных координат в Wn. Мы определяем	j" ос,	полагая
	А[о.(]

где {ф„} — разбиепие единицы, подчиненное локально конечному

открытому покрытию Шп}. Легко видеть, что j а определен кор- X[0,t]

ректно и не зависит от частного выбора координатных окрестностей (см. [53] и [54]). В дальнейшем мы ограничиваемся случаем, когда X(t) — несингулярная диффузия на М. Как мы увидим, в этом слу

чае \| а	можно определить более непосредственно.
.x[b,f]	М — d-мерное многообразие и X = (X(t)) — несингуляр
Пусть	М — d-мерное многообразие и X = (X(t)) — несингуляр

ный диффузионный процесс на М. Как мы уже убедились в заме

чании V —4.2, можно предположить, что	М — риманово	многообра
зие и X(t) получается проектированием	на М процесса	r(t) на

§ 6. СТОХАСТИЧЕСКИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

369

О(М), который является решением уравнения*)

fdr (t) = Lk(г (<)) о dwh (t) + L0 (r (t)) dt,

\r(0) = r.

Здесь {£,, E2, . . Ed) — система канонических векторных полей, со ответствующих римановой связности, а Е0— горизонтальный лифт векторного поля b на М. Проекция X(f) = n[r(i)] процесса r ( t ) на М является диффузионным процессом на М, порожденным операто

ром -гг А -Ь Ъ. Для простоты предположим, что X (t) — консервативная

диффузия. Пусть а е Aj (Л/) — дифференциальная 1-форма и

( а

(г),

а2(г),

..., аД г)) — скаляризацня

этой

формы.

Напомним,

что

щ (г) =

a,j (х) е\,

i =

1, 2,

..., d,

если а(х) =

a}(x)dxi и

г =

(ж*, ej)

в локальных координатах. Пусть

a(b)^ F (М) определяется

равен

ством <x(b)(x) = <xi(x)bi(x), если а = аi(x)dxt и

b =

bl (ж)—{

в ло

кальных коордипатах.

О п р е д е л е н и е

6.1. Положим

а =

^ал (г (.<;))»dwh(s) +

\а (b) (X (s)) ds.

(6.2)

J а

называется стохастическим криволинейным

интегралом

от

Х[о,г]

s e [0 , f]).

а е Л Д М ) вдоль кривой (X(s),

определением.

Это

определение

совпадает

вышеприведенным

Действительно, если U — координатная окрестность п

— любые

моменты остановки такие, что X (t) ^ U для всех £<=[о, т], то

j ah (г (s)) о dwh (s) +

j* a (b) (X (s)) ds =

J «j (X (s)) [ei (s) ° dwb (s) + V (X (s)) ds] =

[ a.j(X (s))« dX1(s)

для

любого

f s

[а, т].

Ясно, что t*-*

f a

является

квазимартингалом. Каноническое

разложение этого квазимартингала дается в следующей теореме.

*) Как и в гл. V, § 4, (wh(t)) —каноническая реализация d-мерного впнеровского процесса.

24 с. Ватапабэ, Н. Икэца

370		ГЛ. VI. ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИИ
Т е о р е м а			6.1. Имеет место равенство
			t					/
	j	а = j" ак (г (s)) dwh(s) +						j ( a ( b ) - - j 6a) (X (s)) dst (6.3)
Л’[0,(]			о					(I
где 6:			F(M)	определяется так же, как в гл. V, § 4.
Д о к а з а т е л ь с т в о .					Имеем
[ a =	{						1
[ a =	j ah (г (s)) ■>dwh (s) +						\a (b) (X (,<?))ds =
	0						о		t
	1						t		t
= J aft(r (s)) dwk(s) +						-g- j d [“b (r (s))] • dwh (s) + j* a (b) (X (s)) ds.
	0						0		0
Так как r(t) — решение уравнения								(6.1), то
	d[a(r(s))] = (■£/*) (r(s))° dwl(s) + (E0ah								(r(s))ds
и поэтому				___				(	I ___
_				___				(	I ___
d [ak (r ($))}■dw!<(s) =				(Lj<xh) (r (s))dwi (s)-dwk(s) = 2					(2 ftaft) (r (s)) ds,
								ft=i
Согласно	предложению				V —4.1, имеем Ekah = (У<% ,&, где					{ ( va)<j}—
скаляризация			(0,2)-тензора				Уа.	Следовательно,	Lftaft =	(Va)ye\e\v
и, согласно		(4.22) и		(5.14)		из гл. У,
		d			d
		2	Lhah =		2	(V a )„e ^ = £« (Va)y =			— 6a.
		h=l		h=l

П р и м е р 6.1. Пусть M = RZ и X = (Xt(t), X2( t ) ) — двумерное броуновское движение. Если

a =	(хЫх1— x2dxl), а; = ( хХ, х2 ,

то

X 2(,9)dXx(S)

Этот стохастический интеграл в случае Х (0) = 0 был введен П. Леви ([104] и [105]) как случайная площадь, заключенная между броу новской траекторией и ее хордой. Положим

S ( f ) = j	a = 4" l j Xi (s)dX2(s)		J X 2 (s) dXl (s)\|	(6.4)
X[0,I]	' 0	0	1

r(t )= 1X l(ty + X2(ty.

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных