Материал: Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

376.ГЛ. VX. ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИИ

является экспоненциальным мартингалом. Посредством преобразова­ ния сноса, определенного процессом M(t) (см. п. 4.1 гл. IV), полу­

чаем d-мерный

винеровский процесс

—

где

(<) =

t

 

 

 

 

 

 

= wt(t) — \bl(r(s))ds.

Уравнение

(6.1)

теперь

превращается в

о

 

 

 

 

 

 

уравнение

 

 

 

 

 

 

I dr(t) =Lk(г(t)) о dwh(t) + L0 (r (t)) dt,

(6.15)

1

r (0) = r,

 

 

 

 

 

 

 

где Eo — векторное поле

на O(M),

задаваемое равенством

Et(r)—

= bh(r)Eh(r). Непосредственно проверяется, что Е0 совпадает с го­ ризонтальным лифтом векторного поля Ь. Таким образом, решение уравнения (6.1) получается из решения уравнения (6.13) посред­

ством преобразования

сноса,

определенного

мартингалом M{t).

В

частности,

диффузия, порожденная

оператором —А +

Ь, получа­

ется из броуновского

движения

тем

же

самым

преобразованием.

Заметим, что M(t) можно также выразить в виде

 

 

М (t) = exp

J

(£>(b) + ~2 J s [CO (b)] (X (s)) At - 4

J ! Ш(b) W2(X(,))ds =

 

 

 

 

0

 

 

 

 

0

 

J

 

 

 

f ® ( b) -

t

 

 

 

 

t

 

 

= exp

4 J

div (b) (X (s)) ds -

4

J|| b f

(X (*)) ds

 

 

 

*[0,1]

 

0

 

 

 

 

0

 

Это следует немедленно из

(6.3)

и равенства

 

 

 

2

Ь1(г)3 = 2

e\e\bi (х) h (ж) = g}l (х) Ъi (ж) Ь, (х) =

 

 

 

i=l

г— 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

gji И

Ь1(х) Ъ1(х) = I Ъf (х).

§ 7. Теоремы аппроксимации для стохастических интегралов и стохастических дифференциальных уравнений

Как мы видели в этой книге, стохастические интегралы и реше­ ния стохастических дифференциальных уравнений являются наи­ более важными и типичными примерами винеровских функциона­ лов. Если в этих определениях иптегралов или уравнений броунов­ скую траекторию заменить гладкой траекторией, то они определя­ ются посредством обыкновенного исчисления и тем самым мы имеем функционалы, определенные на обычных траекториях. Естественно возникает такой вопрос: если подставим в эти функционалы, опре­ деленные на гладких траекториях, аппроксимацию виперовского процесса (т. е. процесс, состоящий из гладких (выборочных) тра-

§ 7. ТЕОРЕМЫ АППРОКСИМАЦИИ

377

екторий, которые сходятся к броуновским траекториям равномерно и. н.), то будут ли они сходиться к исходным винеровским функцио­ налам? Так как эти функционалы обычно не непрерывны в равно­ мерной топологии на пространстве траекторий, то ответ, в общем случае, отрицателен и предельные виперовские функционалы, если они существуют, нуждаются в модификации соответственно спосо­ бам аппроксимации. Для таких обычных аппроксимаций как ку­ сочно линейная аппроксимация или регуляризации посредством композиции (сглаживания), тем не менее, ответ утвердителен, если только мы примем симметризованную форму в определении сто­ хастических интегралов и стохастических дифференциальных урав­ нений.

Пусть(W Q, Р и ) — г-мерное виноровское пространство*) с обыч­ ным потоком Ш(}. Ниже Pw обозначается просто через Р. Оператор

смещения 0 i(f^ O ): определяется равенством (0tw)(s) = = w(t + s)—w(t). Мы рассмотрим следующий класс аппроксимаций

для винеровского процесса.

Под

аппроксимацией

винеровского

О п р е д е л е н и е

7.1.

процесса

мы

подразумеваем

семейство

[В6 (t, w) =

(В\ (f, w),

 

 

 

w))}6^0

r-мерпых непрерывных процессов, опре­

деленных на виперовском пространстве {W a,r

Р )

таких, что

(I)

для всякого w\

t

В j(t, w)— кусочно непрерывно дифферен­

цируемая функция,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(II)

Bt(0, w) — ^-измеримо,

 

 

для всяких & = 1, 2, ...

(III) Bt(t + kб,

w) = Bb(t, Qbbw) + w(k8)

, t > 0 и

w

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(IV)

Е [^в (0, и’)] =

0 для

i = l ,

2, .... г

 

 

 

 

 

(V)

Е [ |^ ( 0 ,

w) Г] <

св3

для **)

i -

1, 2, . .

г,

 

 

(VI)

Е

n M ( 5 , ^ ) U s

^ сб3 для г =

1, 2,

...,

г, где В\(s, w) =

d т> i

L '0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dsB&(S,

IV).

w) }*>o

 

удовлетворяет

вышеприведенным

условиям,

Если (Bt(t,

 

то для всякого Т >

0 имеем, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Е f’max

|w(t) — B6(t, w)|2l ->-0

 

при

б

| 0.

(7.1)

 

 

lo

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

Таким образом, {Bt(t, w)}J>0 действительно приближается к винеровскому процессу {w(t)). Утверждение (7 .1)— очевидное следст­ вие нижеприводимой теоремы 7.1. Простое применение неравенства

*)

VVg =

(гг е= С ([0 , оо) -»■ R r); w (0) = О} и Р 'г — мора Винера

на

W j.

**)

с, с',

ci, с2------— положительные постоянные, не зависящ ие

от

б.

378 гл . VI. ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ II АППРОКСИМАЦИИ

Гёльдера дает, что

/ в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\Pi

 

/

6

x\Pml

Е [yl^1(*,«?)к)

yl^*(*.®)kj

 

...у|^ж(*,ю)к)

 

 

 

.■7(pi+p2'l'---+J,m)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ p2 + . . • +

 

 

^ ci6

 

 

,

есл и

P i >

l

 

 

и

P i

P m < 6 .

Согласно

(III), эта оценка также остается в силе, если )

заменить

(M-D6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

через

f

. Опять посредством

неравенства

Гёльдера получаем, что

h6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р ,

/П .,б

 

 

 

 

 

 

\ Р 2

 

 

 

 

y f

I в* (s, н>)|«\ds )

( f

|Be2 (S, W

I dsj ...

 

 

nm6

 

 

 

Pm

^

Pi

 

l>2

 

 

 

pmi,f(pl+p2+ -+ p*n)

 

I

Г

I b‘m /

\IJ \

 

 

 

 

(7.2)

. . . I j |B6

(s,

n;)|dsJ

 

 

И,

 

. . . n m 62

,

если 1 < p{, p, + p2 + ... + pm^ 6 и Rie

 

Z+.

 

 

 

 

Введем следующие обозначения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sij (t, б) = у

E |-|-j

[ Be (s, H?) Be (5 , ZP) — B& (s, zt>) Be (s, «;)] dsj

(7.3)

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Cij (t,

6) =

-j- f?

j Bj (s,

w) [B i (t, w) -

B{ (S, UP) ] d«

 

(7.4)

для i, / — 1, 2,

...,

г и f > 0 . Очевидно

 

(sy(f,

б)) — кососимметриче­

ская г Х

/--матрица для каждых t и б.

 

 

 

 

 

 

 

 

Сделаем следующее

7.1. Существует кососимметрическая гХг-

П р е д п о л о ж е н и е

матрица (sy) такая, что*)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s « (6 ,

8 ) - + s i}

 

при

 

6 1 0 .

 

(7 .5>

Положим

 

 

 

 

1

.

 

•

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сц ~

 

 

 

 

I., 2,

. . . , г.

 

(7.6)

 

 

 

зц 4" ~2

 

 

} =

 

*) Можно рассматривать случай, когда s ; (6„, en)_*.s{i для некоторой по-, следователыгости On 4 0. Все нижеследующие результаты также справедливы и в этом случае, если заменить {6} последовательностью {6„}.

 

 

 

 

 

§ 7. ТЕОРЕМЫ АППРОКСИМАЦИИ

 

 

 

379

Л е м м а

7.1. Пусть

к{б) : (0,

1

]

Z( — такая

функция,

что

Л (б) t«>

 

при

6 10. Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim су (к (б) б, 6) =

сц.

 

 

 

 

(7.7)

 

 

 

 

 

 

ею

 

 

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Полагаем

Ь* = к{б)б. Тогда

для всякого

п =

1,2, ...

п-1

 

 

. .

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2w6Sjj (пб, б) = 2

7?

|

{^ (s , гр)

(s, zt>) — B}6{s, w)Bi{s,w)}ds =

 

 

 

 

ь=«

L

ft'e

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

=

2 £ Г f 1 И (s, 0 fteiP) + w* (Щ) Bi (s, 0hbw) -

 

 

 

 

 

h=o

Lo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— (B36 (s, Qk6w) + w3 {kb)) Bi (s, 0fl6w)} ds

 

 

 

 

=

2nbsij (6, 6) +

2

E W {kb) (Bi (6, Qh6w) — B{ (0, Qh6w)) —

 

 

 

 

 

 

JP5 {kb) (B\ (6, Qh&w — B\(0, Qhiw))] =

 

 

 

=

2nbsu(6, 6) +

 

\B[грг {kb)] E [в{ (S, w) — Bi (0, IP)] —

 

Поэтому

 

-

E [и? {Щ] E [BI (6, w) ~ Вг6(0.,. w)]} =

2nbsi} {b, b).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 * s y ( S ,5 ) = 6 * SiH 6 * , 6) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г6*

 

 

 

-j

 

 

6*

 

 

 

 

 

=

T E

j‘

 

w) B36(s>w))dsj ~

£ | j fi;6 {s, w) Bi (s, ZP)dsj

=

 

=

^Е [В \ (6*, w) Bi {b*, и;)] - 1

E [fi|(0, w) Bi (0, ZP)] +

 

 

-6*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ E j

 

BI (s, w) [Bi (6*, w) — Bi (s, u;)} ds] — E [/?£ (6*, w) \B\{b*xZP)—

- n i (o ,

 

№ )}]

= !

£ [ ( B e

(o , e e»w ) +

 

(6 * )) ( s j ( о ,

e 6* «,)

+ & ( e * ) ) ] -

 

 

 

 

~ - ^ E [ B l

(0, w) B i (0,

IP)] +

6 * c ..

g)

_

 

 

-

E[(BUo, e6,ip) +

IP* (6*)) (Bi(0, o ^ ) +

wi(e*} _

Bi(0j „,))] =

 

 

 

= T

 

(0,

IP )

Bi (0, I P ) ] +

1

Я

[ u , i

( 5 * ) w i ( § * ) }

_

 

— -2 £ [ B 6 (0,, zp) B i (0 , w j ] + 6 % (6 * , b ) — E [ B i (0 , IP) B i (0 , tp )] —

380

ГЛ. VI. ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИИ

 

- Е [wl (6*)

(б*)] + Е [и/ (б*) Bi (0, иг)] -

= б*Су (б*,

б ) - у £ [ « /

(б*) w} (б*)] -

Е

(0, w) 4 (0, W)] +

Утверждение теперь очевидно, поскольку

+ ^ [ю , (б * )^ (0 1ю)].

 

 

Е [in® (б*) w1(б*)] =

буб*,

|Д[В£(0, ю)

w)]|< ( £ [ ^ ( 0 , w)2] ) l/2(£ [B a O , w)2])1/2< с2б = о(6*)

и

| ^ [^ (б * )5 б{ (0, ^ )]| < (я [^ (б * )2] ) 1/2(я [в а 0 , W)2])1/2<

< c 36*’'261/2 - о ( б * ) .

Прежде, чем формулировать основные результаты, приведем не­ которые примеры. Пусть Ф — пространство непрерывно дифферен­ цируемых функций ф па [0, 1] таких, что ф(0) = 0, ф(1) = 1. Пусть

<Р= ^Ф и Aftu>''= и?'(&6 + б) — w{(kb).

П р и м е р 7.1. Выберем ф' е ф , i = 1, 2, ..., г, и положим

Be (t, w) — w{ (kS) + ф1 ((i — /сб)/б) Ehwl. если

 

 

 

 

fe6^ t <Z(k +

1) б, к =

0, 1, . . . .

(7.8)

Нетрудно проверить, что {Bs(f, w)}a>o удовлетворяет всем усло­

виям (I) — (VI)

определения 7.1 и поэтому представляет собой ап­

проксимацию винеровского процесса. Например,

 

 

■( в

ie"l

/1

\в

/ 1

\в

£|JjlsH^)k{ J=£LK^I8](J^)kJ -lsyVwkJ s3.

Также ясно, что s.j(6, 6) = 0 и поэтому предложение 7.1 удовлетво­

ряется с Si] = 0. (Таким образом,

в этом примере су =

бу.^ Если,

в частности,

фi(t) = t для

i = l,

2, . . . , г, то тогда {Z ?s(f, ш )}а >0 яв­

ляется обычной кусочно линейной аппроксимацией.

 

i — 1, 2.

П р и м е р

7.2. (Макшейп [109].) Пусть г = 2 и ф*^Ф,

Положим

 

wl (Щ +

фг ((t — А6)/б) А^иЛ

^

0,

 

 

 

 

wl (Щ +

ф8_г ((t — А6)/6) A^tn1, Аьи/ЛАhw* <

0,,

если Ы

t < (к + 1)6.

 

 

винеровского

Легко

видеть, что {B6(f, w) ){>0 — аппроксимация

процесса. В этом случае, однако,

 

 

 

^ j{B6(s,iy)B6(s,iy)—B 6 (s,to )B i(s,to )}d s= i^ ^ ^ f 1 —2jV(s)9*(s)ds\ о ' О у

Смотрите также:

«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных