Материал: Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

386

ГЛ. VI. ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИИ

Также, согласно (7.2),

е \ sup |/1(*)12|<;

< c e S ^ I"su p

w) — 7?б([«]_ (б), w )Y (B 6([t}+, (8), w) —

i=l

Lo<(<T

 

 

 

 

r

Г

/[i]+(6]

\2 /[i]+(&)

y -

< c e2

E\ sup

f

lM(s, ^)U S

f

J

i=i

l_o«t«r

 

 

J

- O, ±

E \

max n

i=i

Lo-cft-enKD V

r

m(T)

'(ft+l)6

< c e 2

S

E

i=l fc=o

hi

 

 

UV » ( S. « ' ) l 4

( <,+f:5r| « ( s' “') l *

<

/

V

 

'(^+1)6

 

#6 (s, w) I ds

| IЩ (s, w) I ds

 

йв

< с в(тл(Г) +

1 )2

E

11Щ (s,I)>u dsj

у !Bi (s,

w)dsjI

■c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v2

/&

 

 

 

 

 

 

i=l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< с ,(т (Г ) +

1)га(6)462<суг(&)36->0

при

6|0.

(7.26)

Что касается h{t),

то имеем:

 

 

 

 

 

 

E Г sup

J2(i)|2l <

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Lo«i«r

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< c e2

E \

sup

 

(5 | ([fP (s ), w) — wi ([£]“ (fQ))2 X

 

 

 

 

i=l

|o«i«T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

(ЯЦ [«]+ (S'), Ы?) -

4

(M P))2I <

 

 

< C9 2 E

 

s u

p

 

(

# e

( [ f

]

( s

) ,

u ; )

—

i=l

 

0<t<r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ [ i ] + ( 6 )

_

 

N

 

 

 

 

 

— u > H [* r ( s ) ) ) 2

j

| 5 J ( s , IP ) U s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mirfe)

 

 

J

 

 

= ce2 £

max (Bl

i—1

о < k < m ( T )

r m(T)

(#6 (&6,

i=l ft=o

' (ft4-1)6

<

(/c6, w) — wl U s))2[

f

hi

 

/(ft+1)5

^

 

w) — «?i (A-6))2 { j

|#6 (s, w) Us

 

\ kS

J

 

§ 7. ТЕОРЕМЫ АППРОКСИМАЦИИ

387

:.са(т(Т) +

1 ) 2

Е (В’&(0, iv)Y ( ] |в 3в (s, w) |ds

;

 

 

 

\о

г / 6

1/2

 

 

 

 

< с 9(тп(Г) +

1 ) 2

£ [5 i(0 , ££;))4] £

||H (s, w) I ds

<

 

i—l

 

 

 

 

< с 10(?п(Г) +

l)(S2n(6)462)1'2 < c u Sn(6)->0

при

6jO. (7.27)

Вслучае I3(t) имеем

ЕГ sup |/ 3(* )Н <

г=С С12 2

 

£

sup

(l

 

+ j «;*([£]

(б )) l2)

 

J

I («» ^)|<&?

<

 

 

i = i

L O « ( < T

 

 

 

 

 

 

 

\ m - C X l

 

 

 

l

 

 

<

c12 2

\E Г sup

 

(1 + |wi (t) |2)2

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i = 1

l

Lo«(«T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г

 

T

V

V

-

 

i

 

4 - 1 . 1 / 2

 

 

 

 

 

 

 

X E

max

 

 

V I

<

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

]

 

(5^(s, it)|ds

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

hb

 

4*|\ 1/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

( T )

( 0

‘ + } ) $

 

 

\

 

 

 

 

 

 

 

^

Cis

E

2

 

\

j B\ (s, it)

ds

 

<

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.'i=0V

„?■

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< c l4((m (f) +

 

l)rc(6)462)>/2< c 15(«(6)36)>/2-> 0

при

6j0.

(7.28)

Так же, как и в

(7.27) и

(7.28), можно доказать, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Е \ sup

l / 4(i)|ai-> 0

при

 

б|0

 

 

 

(7.29)

и

 

 

 

 

 

 

Е\ sup

|/5(*)|21-»-0

при

 

б|0.

 

 

 

(7.30)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для"/ ’ (*):

 

 

 

lo < t < T

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E f sup

\1\ Ш ] <

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Lo«i<r

 

 

J

 

 

 

rtt]+(e)

_

 

 

 

m+CS)

 

_

 

■»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^ c ieE

sup

 

 

\

] Щ (s, w) ]ds

 

|

|^ (s,

it)|ds|

<

 

 

 

 

 

l 0<t<T l[(]-(s)

 

 

 

 

т-Сь)

_

 

I2

J

 

 

 

 

 

m(T)

 

[-/№+!)«

 

 

 

(h+ljb

 

 

 

 

 

<

c 17

2

E

 

 

|B\ (s, w) I ds

j

I Bi (s, w) |ds\

 

 

 

 

 

 

 

h—0

-l

I

 

 

 

 

kb

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

li<r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^

 

 

l2'

<

 

 

 

^

ci7 (m (T) +

 

1) E

J 1Bl (s, w)\ ds j

IЩ (s, It’) |ds|

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-U

 

 

 

0

 

 

 

1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<

 

си ^ Щ ь п (8)^ 2~ с 18п(бу&->0

при

6j0.

(7.31)

25*

388

 

 

ГП. VI. ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИИ

 

 

Что касается / 7 (t),

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Е\ sup

|J7(*)|2] <

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

LO« < T

 

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< с 19ЯГ sup

 

(1 +

I w ([f]_ (S))|2) sup

|w>(t) — wi ([f]~ (б )) |2] <

 

 

 

Lo<t<T

 

 

 

о <t<T

 

 

 

 

J

 

^ с20(£'Г

max

sup

|u;i(f + A:6)— wi (k8) |4H1/2 ^

 

 

 

\

[о<й<т(Т)0<4<^

 

 

 

 

 

J

 

 

 

r m (T )

 

 

 

 

 

^

 

 

JJ

 

 

 

 

 

l*=o

E Г sup

I wi(t + k8) — wi (k8)

 

 

 

 

c20 j 2

M l1/2

 

 

 

<

c20 {(m (T) + 1) E J sup^ | wi (t) |« ]p <

 

 

 

 

 

 

 

<

c2 i [ r J r 6 (w (6 )6 )2 ] 1 /2 = > 2 i(? z (6 ) 5

) 1

,

2 п р и

6 j 0 - (7 -3 2 )

I i0(t) мы оцениваем так:

 

 

 

 

 

 

 

 

E \sup

|J10(f)| ?]<

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Lo<t<r

 

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< E

sup

2

 

[u(B6(k8, w )) — u (w (k8))]2 2

[M ((& + 1)6, w) —

 

.O< t < T

h = 0

 

 

 

 

 

 

*■k=0— ~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- B i(k 8 , w )]s

<

 

 

 

 

 

 

m ( JT. J)—~ lJ.

 

 

 

 

 

 

Ш\Лt— J

 

 

 

 

< E

.

2

[u(B6(k\ w)) — ц (^ (/с б ))]2

2

[#e((& +

1)6, w) —

 

h=0

 

 

 

 

 

 

 

 

h=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- 4 (fc s ,u > )]2 <

 

 

 

 

 

< { E

m(t)

2

[u(B6(k8,w)) — u(w(k8))]'i

 

X

 

 

 

 

 

h~0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X E

m(T)

m ( T ) — l

+

 

 

 

 

1/2

<

 

 

 

 

2 N ( ( *

1)6, u > ) - 4 (^ 6 , w)Y\

 

 

 

 

 

 

 

 

k=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

fi m ({T))—~ 1l

 

 

wi (кЬ) |4] X

 

 

< c22m (T) 2

{

2

E [ |Bl (k8, w ) -

 

 

 

 

j= l

l

k—Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

2

1#б((& +

 

 

 

 

1/2

<

 

 

 

 

 

 

1)6, w) — Щ(к8, w) |4}

 

 

 

 

 

 

 

fe=o

 

 

 

 

 

J

 

< C23m (Т)?8 l2E[\Bi (0Xw) |4] + E [ |w (б) |4]}I/2 <

^ c 2im(T)28 8 ^ c 2bn(8)~1~+0 при 6J0. (7.33)

 

 

 

 

§ 7. ТЕОРЕМЫ АППРОКСИМАЦИИ

 

 

389

В случае 7И(/) мы сначала заметим, что

 

 

 

 

 

 

 

ЛпИ = 2 u(w(kb))(B36({k + 1)6, w) —wi((k + 1)б))=

 

 

 

Й=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= j2

U {w{kb)) ВЪ(0, 0(fc+1flU>)

является {^„/-мартингалом, где

/?"„ =

J?(n+2~.

Поэтому,

соглас­

но мартипгальному неравенству,

 

 

 

 

 

 

 

 

Е Г sup

\In (t) |21 =

Е\

max

|rjn(w) |21<

c26E [ |Tbncn-i И

]а] =

 

Lo<f<r

 

J

 

|_o<n«m(T)—i

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т ( Г ) - 1

 

_

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

с26

2 Е [м (w (/Гб))2 (Bi (О, 0 №+О5

^ ))2] =

 

 

 

 

 

 

ь.—о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т ( Т ) —1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

с2в

2

£[и(и7(й:в))а]я [(я £ (0 ,

и;))2] <

c27m (71) 6 =

 

 

 

 

h~о

 

 

 

=

c2Sn (6)_1 -> 0

при

6|0.

(7.34)

 

 

 

 

 

 

 

Аналогично, можно показать, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Е Г sup

|7I2 {t) |21-> 0

при

6,[0.

 

(7.35)

 

 

 

 

Lo-si^7’

J

 

 

 

 

 

 

 

 

Что касается

/|4(f),

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Lo<t<r

|/!4(0l2]<J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

\ sup

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E sup I

l №+1)6

 

 

 

 

 

 

^

.

-

 

<

2

|

\ui(B6(s, м)) — щ(ш(ы))\\в16(8,№)\х

 

O< t < T'l

 

ьХ L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

№+1)6

_

 

 

 

1

)2"

<

 

 

 

 

 

 

 

\

|M(£, u>)|d£

 

dsj

 

 

 

< E

m(T)-l

J

|п4(В6(5, W )) — и{(н;(/сб))||5г6(8, w ) \

X

 

 

2

 

 

{»-«

A

X

№+i)6

I Bi (I, w) I

dl

 

ds

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

hb

 

 

s--he _

 

 

 

 

 

(m(T)-l №+^1)'б Г I

 

 

 

 

 

 

c2e 2

E

2

 

J

s e(0, 0^U1)+

 

j

 

^ ( л , 0 лую)<*л

X

 

i=i

k=0

kK

LI

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№+i)6

 

 

 

 

 

ds

 

 

 

 

 

 

X IЩ (s, w) I

)

IЩ (£, w) (dl

 

 

h6

390 ГЛ. VI. ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИИ

< с 29?п(Г)

2

Е

т(Г)-1

(№+1)6 Г /

 

 

Ь=0

 

Яб(°- 0Л »)|

+

 

 

 

 

1 .

Г

 

 

 

 

1= 1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

s—h б

 

 

 

 

(И-1)6

(I,н>) Id£ ds

j

|#6 (Л, Q^ic) |dt| ) IЩ (s, я;) | J

|М

 

 

 

 

 

 

кб

 

 

< с2ат (Г)2 2

£

15б (О, и>) |j I Вг6 (s, w) |ds J 1В\ (s, w) |ds +

 

 

i=i

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

\ |Щ

(s, w ) Us j

| B 63 ( l , w

 

+

j IB 6’ (ii, w ) |d r\

 

 

 

 

 

 

 

 

/6

< < W » (Z T 2

\E

B&(0. W Г

[ I B6(S. w) Ids )

И B’e(s, w) I ds

 

 

i=i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V2 / 6

 

+

E

Bl&(r), w

Bl (s, w) |2 ds

f

I B’6 (s, w) |2 ds

 

\0

 

 

 

 

 

 

 

< c 30m (Г)2 2

(д [| д £ (о, u o lT ’ s

IIЩ (s, w) |ds J X

 

 

 

i=i (

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

3-12/3

 

X< ( ( |Bi(s, w

"

1

+ E И 1З Д ,

|B\ (s, w) (ds

+

П #6 (s. w) |ds <0

+

<

<

< C 3 i-^ 7 ?(S («(S )e62)2/3 +

W(S)6S3) < c 32«(8)4S ->0

при

6J0. (7.36)

n (0) 0

 

 

 

 

 

 

Наконец, докажем, что

 

 

 

 

 

 

E \ sup

11\ь (£) 12|

0

при 6JO.

 

(7,37)

Lo«f«r

J

 

 

 

 

Для этого сначала заметим, что

 

 

 

 

бсу (б, б) =

б4

(б , б) +

(S' -

б) су (б -

б, б),,

(7.38)

где

6

 

 

 

 

 

г

 

 

 

 

 

с* (б, б)=£

Щ (®> W [#б (б,

vo) — Bl{sx ic)] ds

S.

L 0

Смотрите также:

«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных