Материал: Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

396

ГЛ. VI. ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИИ

 

Здесь мы использовали оценку *)

 

 

 

 

|Х} (s, у, w) — у’ |2 <

 

2

[

t

\ г

 

 

 

 

 

Х 0 2

fa U X (S ,y ,ip ))d ip n (S)

+ (J S J(X (£ ,y, ip))d&J .

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

£ [ | ^ ( S, у, w )-j/\i] ^ K l0{s + s ^

 

Из всех этих оценок мы заключаем, что

 

 

 

 

Е \ sup |

(i)|а1 =

о(1)

при

6|0.

(7.58)

 

 

[о«(«т

J

 

 

 

 

Ясно, что

|# 31<1

sup |Hl {t) \ и потому

 

 

 

 

 

o<t^T

 

 

 

 

 

 

 

Я[|Я3|2] = о(1)

при

610.

(7.59J

Наконец, оценим Нг(£) . Имеем

(k+i)S

j оМ З Д , w)Bf{s, w)ds=ai(X&(M,w))[Bn6((k+ W , w)-B%{k6, w)] + h6

 

 

X [7 ?e {{к + 1 )

6 , IP ) — B^ ($ ,

IP ) ] ds — J i (к) + 2 <^2 {к)*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P=1

Также

 

 

 

 

 

 

 

 

Jt (к) =

-

6, ш)) (IP" ((к +

1) 6) -

IP» (Щ) +

+

[ o A ( X 6 (& 8, w)) — On(X6(k6

— 6, i p ) ) ] ( 5 g

((fe +

1 ) 6 , w) —Bl(k&, IP )) +

+

oh(Xs{k § - 6, IP ))

{{к +

1)6, IP ) -

IP "

({к +

1) 6)) +

+

o h (X6 { k b - 6, w)) ( IP" {kg) -

5 6n {kg, IP)) =

 

 

 

 

 

 

 

=

Ji\ {Щ+

J12 (k) + Jis{k) + Ji4 (&).

 

 

 

 

Г

 

 

 

 

 

Запишем H2{t)

в виде H2{t) — 2

77?(i)'>

тогда

 

 

 

 

n=«i

 

 

 

 

 

m

{t) =

/ x (t) + i 2{t) +

1з (£) +

/ 4

(o

+ / 5 (o*

 

*) {£J} — коэффициент векторного поля

 

+

2

*шп И п mi­

 

 

 

 

 

 

 

 

a o u

 

8 7. ТЕОРЕМЫ АППРОКСИМАЦИИ

397

где

 

 

[f]—Ce)

 

 

 

m(i)—1

o j ^ s , из)) du>n(s),

(7.60)

Л ( 0 - 2

 

/ n ( f c ) -

 

 

fc=l

 

-у

 

 

 

 

 

 

б

 

 

 

W

-

2 /« (* )*

« = 2,3,4*

(7.61)

 

 

 

h=l

 

 

 

d

2 4

 

т~(Ъ)

г

 

1

h it) - s

(*) -

2

(o ? V « ) (X (* «*)) ds . (7.62)

Э“ 11

ft-1

 

-j

3=1

 

J

Запишем Ii(t) в виде

[‘]~(e)

A it) = j [on (X4 ([*]- (S) - в* из)) - aln (X (s, u>))] dwn(s).

Тогда, с использованием мартингального неравенства, получаем, что

Е Гsup

Lo<t<f1

J

 

 

 

 

 

< к п

f

E[ IX6(M -(6 ) - 6, из) - X (s ,1 0 ) I?] ds<

<

Xls

J £

[ |X e (s, w ) - x (s, 1 0 ) I2] ds +

 

 

tn[(!-(•)U

 

 

)

 

 

+

)

 

E [ |X6([*]- (6) -

6, w) - X6(st из) |2] ds ^

 

 

 

ft

 

 

 

)

<

x 14 U E [|Xe (S, 10) -

X (s, w) I2] ds +

 

 

т

r

(

Is l+ C e )

+ (в + 6)2 ds} ^

 

+ \ E

2

 

1

 

 

 

<

а

д

й [ |

X ,(s, » ) -

x (s , из)I2]ds + n(6)26 (7.63)

для всякого

398 ГЛ. VI. ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИИ

 

В случае I 2 (t)

имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Гsup

|/ 2 (t) П <

 

Г <п(Л - 1

 

 

 

 

 

_

- 8, IP)))*X

Е

Е \

2

(«г* (Хв (Л6, ^)) -

(Хв ( Ы

 

Lo«f<r

 

 

J

 

L

ft=i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

2

 

(B% ((k + 1)6, w ) - B U k l w ) Y ~

 

 

 

 

 

 

 

 

f e = l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

m ( T ) — l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< Х И 1»(Г)

2

 

£ [| Х в(Лб, IP) - X 6( £ 6 - 8 , ZP)|4)X

 

 

 

 

 

 

m (T)- 1

й=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<

 

 

 

ж»»(Г)

2

я [| ^ (№

+

1)в,ю)-дг(лв,117)|*]

 

 

 

 

 

 

k = l

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

< Х 17(/п(7’)2б2т ( Г )аб2)1/2< Х 18(га(6)Г1-^ 0

при

8J0.

(7.64)

Подобно тому, как и в

(7.34), можно показать, что

 

 

 

 

 

Е \ sup

|/3(О Н < Т Г 19(?г(б))-, -^ 0

при

6 J 0

(7.65)

и

 

 

1о«(«Г

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Е \

sup

\ Ь ^ ) \ 2] < К

20{п(Ь))-х- ^ 0

при

б

j 0.

(7.66)

 

 

 

 

 

 

Lo<<«r

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Наконец, рассмотрим h(t). Запишем / 5(f)

в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/.(*)=

2/$(*).

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Э—1

 

 

 

 

 

и(0-1

 

 

 

m(t)-l <ft+l)e

г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ £

( * ) -

2

4

(А О -

2

j

2

 

cj n (a ? d p O n )(X (s . w))ds =

 

 

 

k=l

 

 

 

A=I

ftg“

i“ l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

2

2

j

[(q fd fifjJ .)(X e (s, w))

—

 

 

 

 

 

 

 

J=1

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

(ofeptri) (Xe (fc6~ w))] $ (s , IP) [Z?£ ((7c

+

1) 6, w) -

B l (s, IP ) ] ds +

 

+

m(t)—1 (k+l)e

(ь Ч ^ )(^ б (5 ^ ))(В б (№

+

1 )б ,(р ) - 5 6> , 1р ))^ +

 

2

 

 

1

 

 

 

 

fcfT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

2

2

 

\

(afSpaj,) (X6(fc6; IP)) [ 4 (5,^ (5^ ^ + 1)6, IP) -

 

 

 

h-i

 

-~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- B

n6(s ,w )) -c jn@, 6)] ds +

 

 

 

 

+

r

m(i)—1 (** И)6

 

 

 

 

 

^

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

)

[(erf5р<) (Xe (fc6, IP)) — (ofdgol) (X(s, w))]dscj n +

 

 

j=i

h=i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 7. ТЕОРЕМЫ АППРОКСИМАЦИИ

[399

 

 

г

2

6 (crfdpcd) (Х6 (к8, w)) (cjn(6, б) — cjn):

 

 

+ 2

 

 

 

 

j =

l

h =

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•~ 2 l i l (£) + ^52 (t)

+ 2 Дз {t) + 2

l i l (0 + 2 ^55 (О-

Ясно, что

 

3= 1

 

 

 

3= 1

 

3 = 1

3 = 1

E Г SUP

i Йь (t) I2] <

Kn (Cjn(6, 6) -

Cj„)2 = 0 (1).

(7.67)

 

 

 

 

Что касается

J[4 (t), то имеем:

 

 

 

 

 

 

E Г sup

 

|/;M(t)|2l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<

E [ ( J

I ( o f t y h )

{X 6 ( [ * ] - (6 ),

w)) -

( a j V « )

( X

(s,

w)) | ds

] c%

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)

<

ТЕ

j

|(crfdpo*) (X6 {[S]- (6), w)) -

( a f V i ) (X (s, w)) |2 dsj efn <

<

K22j

E [| X (s, «;) _

X6([s]~ (6), w) |2] ds <

 

 

 

 

 

I

 

 

(s, w) — X6(s,

 

 

 

 

 

 

 

 

'h

 

 

 

 

'T

 

 

 

 

S=: X 2g

jX[|

w)\*]ds + J E [|Xe(s,

 

w) —

 

 

Xp ([s]-

 

(6), w) (*] dsj

< X 24

J E [|X (s, w) — X e(s, u>)|*]ds + re (6)абJ

для 0 < U< T.

 

 

 

 

 

 

 

 

(7.68)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В случае / 52:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^ о«л<г\ Д

 

 

 

 

 

(ft+D6

 

 

j

I ( b дро4) (Х6 (s, w )) |ds

J

|5g(s, w )\d .s\ <

 

 

 

 

 

 

h6

 

 

 

 

 

k?

 

 

 

 

j

2

6

j

|я? (S,«>) |<frj J <

 

 

 

 

 

_

 

 

т ( Г ) - х

 

^(&+l)6

 

 

\ 2 "I

 

 

 

 

< Х 2в64/ге(Г)

S

E

J

l ^ ( s ,

w)|dsj

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k=i

{ T f n (8)2

б < К 21п (8)26->0

при

6j 0.

(7.69)

 

 

 

 

< K ^ m

400

 

ГЛ. VI. ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИИ

 

Величину 1}ы (t) оценим таким образом:

 

 

 

 

 

 

 

Е \ sup

\Fbl(t) |21 <

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fm(r)-l<ft+l)6

 

 

 

 

 

 

. . .

 

.

 

< Х 282

Е

I

2

 

i

|Xe(s, w) — X 6(k8,l

w)||^6(s, iy)|ds X

 

i=i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(h+l)t

 

 

 

 

<

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

j

|5б($, w)|ds

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m ( T ) - i

/ d

( k + m

 

 

 

Л

 

(к+Р 6

1 . .

 

 

 

2

 

2

 

J

Ise(s. “,)ld* + 6

 

j

 

l56(s.«;)|^X

Bft=1

 

\г=!

ьГ(h+ltf

 

 

 

/

иь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

5

1Щ(s,w) I ds\

 

<

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fcS“

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

( Т ) ~

1

 

'(/г+1)Г

 

 

 

\2 /№+1)3'

 

 

< K S02 m (T )

 

2

 

\E

 

J

|i?e(s,u?)|ds j (

j

 

H>)|<*S j X

i=i

 

 

h=l

 

 

 

kb

 

 

 

 

 

ы

„

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/(k+iib j

_

 

 

 

 

U*J J +

 

 

 

 

 

 

 

X^

j

 

 

 

 

 

 

 

 

r/(ft+i)8

 

 

 

a / (А-ЬОб*

 

_

 

 

\2"|

 

+

82£

 

 

hb

 

 

 

 

)

j

 

 

|i?e(s, H?)|dsj

J

 

< Kalm (Г)2(n (6)« б3 + n (8)e б*) < K32n (б)4 8 -> 0

при

6 j 0.

(7.70)

Повторив то же доказательство, что и в

(7.37), убеждаемся,

что

J ^ U

U

)

|2] < ^ з ( » ( б ) 3б + ( 4 ^ ( 6 ,

б) j

+

п(б Г ')- > 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при

б I 0.

(7.71)

Комбинируя

(7.67),

 

(7.68),

(7.69), (7.70),

 

(7.71),

получаем оценку:

 

 

 

 

 

 

 

*i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Е Г sup

11Ь(*)12] <

* 34

Г Е [| X (s, IP) -

X* (s, w) |2] ds +

о (1)

 

L ° « « i

 

 

 

J

 

 

о

 

 

 

 

 

 

при

6 \ 0,

(7.72)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где o (l)-»-0

равномерно no *i«={0, Г]. В силу

(7.63),

(7.64),

(7.65),

(7.66) и

(7.72),

имеем:

*1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Е Г sup

\H2(t) |2] <

X 3g f E [|X (s, w) -

X e(s, w)|2] ds + о (1),

(7.73)

LOCKtj

 

 

J

 

 

„

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Смотрите также:

«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных