Материал: Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

§ 7. ТЕОРЕМЫ АППРОКСИМАЦИИ

393

i=l

н

i=l

д_

1,2,

п

=

дхi '

— векторные поля на R1* такие, что

a ^ eC ^ R ^ )

и

опре­

Пусть

w)}6>0 — аппроксимация

виперовского

процесса,

деленная на винеровском пространстве (W^, Р).

Предполагаем, что

w)}6>о удовлетворяет предположению 7.1. Рассмотрим следую­

щие уравпепия *):

. dX6 (t,w) =

2 Ап (Х6(t, w)) ЛЩ (t, w) + А0(Хб(t, w)) dt(

(

,Х б (0, w) =

х

и

йХ («, и?) =

2 Ап(Х («, w))odwn (t) +

А0(Х (f, w))dt +

П=1

+

2

snm[^n> Am] (X (t, w))dt,

(7.^5)

X (0, w) =

x,

,

*

_

<

Хб {t, w) — xl =

2

j On (X6 (s. ^)) Bl (s, w) ds +

j Ьг (Xe (s, w)) ds (7.44)'

n=1 о

0

И

r

*

<

X* (t, u > )-* ‘ =

2 f ai (X (s, w)) dwn(s) +

j Ь* (X (s, и>))ds +

n^ 10

0

r

d

CnmJ ой (даа1т

(X (s, w))ds,

1 = 1 * 2 ,...

d.

(7.45)'

+ 2

2

n,m=i a=el

о

Для любого

задаппого 2 ; e R '

решения

уравпений (7.44)

и

(7.45)

*) Пользуемся теми же обозначениями, что и в гл. V.

без специального упоминания об этом.

Т е о р е м а

7.2. Для всякого Т > О

Н тЕ Г sup |X(t, w) — X 6(f, IP)|4

=

0.

(7-46)

ею

Lo«f-<r

J

Д о к а з а т е л ь с т в о * ). Заметим, что согласно

(7.44)'

|ХЦ7, w) — X 6(s,l

IP) | < X ^ 2

1^6(и, w)\du +

(i — s)^

(7.47)

для всяких 0 < s <

t. Для каждого i =

1, 2, ...,

d имеем, что

XI (f, IP) -

X 1 (t, IP): =

Ht (t) + Н2(t) +

HZ+

II, (t),

(7.48)

где

r

i

о пг (X6 (s, I P ) ) Bg (S,

I P ) ds —

H i (<) =

2

J

n_1 [<]"(6)

т

Г*

Пп (X (Sj I P ) )

dip" (s) —

r

d

*

(нп^аПга) (X (s, IP)) ds*

— S

]

2

1

J

П=г1[«]“ Сб)

n,m—i

[f]—(7f)

(7.49)

[f]-(6)

# .(«)= «

2

f

(X6 (s, IP )) B£ (s, IP )

ds —

n=l

2

ij

nmC j aoA(X(s,3mC

Ct]—Сб)

Cn(X(s,

,iv))dwn [ s ) —

r

d

lP))ds|t

[el—СУ)

a=i

(7.50)

r

г

•

•

r

?■

f f | = S

I

(X6 (s, IP)) Bg (s, IP) ds —

2

I tfn (X (s, IP)) dwn(s) —

71=1 g

П^1 "

r

d

—

2

2

c«m i cr“3aam(X (s, u>))ds

(7.51)

И

n,m—l a=i

Q

t

t

#

4 (0

= J6* (X6 (s, И7))ds -

j bl (X (s, IP)) ds.

(7.52)

*)

В дальнейшем К, Ku К2, ... — положительные постоянные. 6 имеет те

же значение, что s в доказательстве теоремы 7.1.