Материал: Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

§ 7. ТЕОРЕМЫ АППРОКСИМАЦИИ

381

я поэтому предположение 7.1 удовлетворяется с

?]2 = — 2 J ф1 (s) ф* (s) dsj.

П р и м е р

7.3 (сглаживание). Пусть

р — неотрицательная С**-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

функция,

носитель

которой

содерлштся

в

[0,

1]

и

J р ($) ds = 1.

Положим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р б(«)=

 

Для

6 > 0

 

 

 

 

 

 

И

 

оо

 

 

 

 

 

 

в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bi(tt w ) =

j wl (s) р б (s — t)ds = § wx(s + t) pa (s) ds

для

 

 

 

 

О

 

 

 

 

 

 

О

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

=

l , 2 ,

 

г.

(7 .10)

Нетрудно

проверить,

 

что

{B6(t,

1У))б>о — аппроксимация

вине-

ровского процесса. Действительно, свойства

(I) — (IV)

в

определе­

нии 7.1

очевидны,

а

(V)

и (VI) проверяются

 

следующим образом.

 

1В\(0, w) |2m =

/ 1

 

 

 

\ 2771

 

 

 

 

 

 

 

 

Имеем

I j 4=wl(8s) p (s) ds)

8m

 

и

поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,2771-1

 

 

 

 

 

 

 

 

£ [| #6

(0,

u;)i2OT] =

6m£

w1(s) p (s)dsj

J.Кроме того, Щ (s, w) =

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= —jr Jw1(s +

81) p' (|)

и, таким образом,

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

=

£7|^(j I i?g(fis,

u ;)| d *

 

j s 21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

jV(6(s hs))p'(I)<i|

 

)2771*1

 

 

 

 

 

 

 

 

L \o

о

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

=

 

 

 

 

l])p'(l)dl

dsj

j s m =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,27П

 

 

 

 

 

 

 

 

=

£ | m

j f^ ( S +

 

i)p' (S)ds

ds

j e ”*.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

vO |0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Очевидно

Sij(8,

6) = 0

и,

следовательно,

предположение

7.1

удов­

летворяется с 5,-j =

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

382 ГЛ. VI. ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИИ

Теперь мы рассмотрим сначала аппроксимацию стохастических

интегралов. Пусть

а — дифференциальная 1-форма

па

1Г,

задавав-

 

 

 

 

 

Г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

мая равенством а = 2

ai(x)dxi. Мы предположим, что все частпые

 

 

 

 

 

г=1

 

 

i = 1, 2, ..., г, ограничены. В частно­

производные функции ai(x),

сти,

имеем

|а г (х) |<

К (1 +

|х |),

i = 1,2,

. . . , г,

для некоторой

положительной константы К. Положим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A(t,a;w) =

J

а =

2

j

“ i (и>(«)) ° dw1(s)

 

 

(7.11)

 

 

A (t, a; B6) =

|

a =

2

f

ai (B&(«)) Щ («) ds.

 

(7.12)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=l о

 

 

 

 

 

 

Т е о р е м а 7.1.

Пусть

{B6(t,

1в))в>0 — аппроксимация

вииерое-

ского процесса, удовлетворяющая предложению 7.1. Тогда

 

 

бjo

|_o< K T

А (t

, a; 56) — Л (f, a; и;) — О *3—1

(w

(«)) dsj J== О

lim

E I

sup

 

 

 

 

 

 

f 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(7.13)

для всякого T >

0, где

д

= —.aj.

 

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о * ) . Достаточно показать, что

 

 

 

lim Е

sup

) и (В6(у, w)) В36(s, w) ds —

 

 

 

 

 

 

6 jo

|о«(«т

э

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— 1 и (w (s) ) ° dw3(s) — j f 2

SijUi ( w (s)) j ds

=

0

(7.14)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i—1

 

 

 

 

 

для всяких

T >

0 и / = 1,

2,

...,

г.

Здесь и-. Rr

R

является С2-

функцией такой, что все частпые производные ограничены и

(х) =

= ----- : U

( Х ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д х 1

v '

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сначала введем следующие обозначения. Выберем п(б): (0, 1]

-*• Z+ такое, что

ге(6)4б 1 0

и

ra(6)t°°

при

б 10.

 

 

 

(7.15)

Будем писать

 

 

 

 

 

 

■б = п(б)б,

 

 

 

 

 

(7.16)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[s]+ (В) = (k +

l)b,

 

 

f c 6 < s < ( / c + 1)6

 

(7.17)

 

 

r , - m

 

kb,

 

если

 

 

 

[s]

(6 ) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*) Главной идеей доказательства мы обязаны Ш. Накао.

§ 7. ТЕОРЕМЫ АППРОКСИМАЦИИ

383

m(t) = m(t) (8)~[t]-{8)/8.

(7.18)

Интегрирование по частям дает: №+1)6

J

и (Вй (s

w)) dB36(s, w) =

 

 

ft?

 

 

 

 

 

 

 

(ft+D?

 

 

 

=

—

j

u(B6(s, w))~^[B}6((k + 1)6, w) — BJ6(s, w)]ds =

=

u(B6(fc6,ft?

IP))[Bi(

k8 + Ъ, w) —Be(&6, ц;)]

+

 

 

r

(ft+i)?

 

 

 

+

s

j

Щ (Be (.9, IP))M (*, W) [ B i (*S + S’, IP) -

в| (*, IP)] ds =

 

i—1

ft?

 

 

 

 

=

(и (Be (fc6, IP)) -

и (w (kS))) [Bi ((к +

1) 6, IP) -

Bi (k8t u>)] +

 

 

+

u(w(k8)) [Bi((k + 1)6, w) — wi((k +

1)6)] —

—u(w (&$)) [Bi (кЪ, w) — w>(/cB)] +

+и (w (k8)) [ipJ ((k + 1)6) — w'1(&6)] +

 

 

rii-Lift*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(7.19)

Аналогично,

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

J

и (Be (s, w)) dB\ (s, w) =

 

 

lt]“ (6)

= — и (Be(t,

w)) [Bi ([i]+ (6 ), w )

- Bi (t, w)\ +

 

 

 

 

 

 

+ и (адг (6), w)) [Bi([f]+ (Ъ), w) -

B{ a#r (e), «01 +

 

 

+ 2

j

^i (B6(S,u ;))B i(S)4 ;)[B i(m + ( 6 ) . ^ ) - 5 H s>u,) ] ds =

=

— [u (Be (t,

IP)) - U(Be ([£]“ (6 ), «>))] [M ([*1+ ( 6 )* w) ~

w) l-

-

[и {B6 ( it r (6), u>)) -

«(ip([tr (Ю))] N ([* ]+ (? )

-

-

w (w ([«]“ (6 ))) [M (ff]+ (6 ), IP) - M (t, IP)] +

 

+ и (Be ([«]" (6 ). «0 ) [ B i ([*]+ (6),, w ) - B l (1*1” (6 ). w )l +

384ГЛ. VI. ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИИ

г‘

+2 j ui(Be(s,w))Bl(s,w)[Bl{[t]^(b),w)-~Bi6(s,w)]ds. i=1

 

 

 

 

 

(7.20)

В силу (7.19) и (7.20) имеем:

 

 

 

<

 

1

t т

SyW.(ш (s))

==

?и (Б6(s, w)) dBl (s, w) - j u(w (s)) оdwi (s) — f 2

0

 

0

0

 

 

 

t

*

<

r

 

=

j и (#6 (■*« w)) dB[ (s, w) — ]' и(i17(s))

(*) — j

2 Cuttj(u> (s)) ds =

 

о

0

0

*=1

 

= _

[u(Bb (t, w)) -

и (B6([*)- (6), w))][B}6([t]+(ff), w) __

(it и;)] -

— [u(B6( [ t r ( 6 ) t w))-i*(w‘([tr(6)))][fli([t] + (g:)t w)-Bi{t, w )] -

 

- и (w(itr ( 8 ) ) ) Щ ([t}+ (8), w) -

B\(t, u;)] +

+ [и (B 6 ([f]~ (§), ui)) ~ u ( w ([*]“ (S)))] [B \ ([*]*■ (б), ц,) __

-

B’s ([i]~ (S'), »)] + и (w ([#]“ (6))) [#£ ([*]+ (6), a,) _

 

^

Г

*

 

— B!6([<J“ (S’), «0] +

2

J “i(#6(*, W ) Bl(s, w) [яЦ[г]+ (6), w) —

-

Bi(s, №)]ds — u (w (u]~ (£))) [да(t) — Wi ([*p (6))] +

+ «(ю([*г (б)))(да(^) — и>»([*г(<0))—

J u {w(s)) dw>(s)l —

L

 

 

 

in—(S')

Гr

—

j

2 C ijK i(ii? (s ))d s +

СП—(S')i_1

+2 [u(B6(k8, и?))-ц(и>(лв))][^((Л + 1)^,н;)-^(й®ли»)]-

m(0—1

» (и--(й ))[4((а + 1)?, ю) -»<((ft + i)?)i _

+ 2

n~~0

*"<0-1

 

 

 

-

2 u{w{k8))[BUk8, w) — да w i

+

 

k—Q

 

 

[(]*(?)

-i

2 U (w {Щ ) (да ((ft + 1) б) - да (fc8)) -

j

u{w(s))dwi(s) +

 

 

 

 

 

§ 7. ТЕОРЕМЫ АППРОКСИМАЦИИ

 

385

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г

m(0—1

j

 

 

 

w))—

(лй))]-в^(*.«о

+i)7S,w)—

+ 2

21

 

 

 

 

 

 

 

лл

 

 

 

—B36(s, »)]ds+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г

 

m(i)-l

 

 

^

(fe+l)6

_

 

 

 

 

+ 2

 

2

 

Ui(w(kb)) J

[#e(s, u>)(fi$ ((k +

1)3, w) —

 

i=l

fc=0

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— Bi («. ^)) — сц (6, 6)] ds +

 

 

 

 

 

 

 

r m ( t )— l

_

^

 

 

 

 

 

 

+

2

2

щ (w (kb)) [cy (6,s) — cy]3 +

 

 

 

 

 

г—L

h—O

 

 

 

 

 

 

 

 

r

m ( i )— 1

J

 

^

 

 

 

 

 

+ 2

 

2sLi

 

[ui(w№ ) — ^(^(«))]*су

 

 

 

 

1=1

 

h=o

hb

 

 

 

 

 

 

=/l(f)+I 2(t) +I3(t) +h(t) +/5(<) + 2 ПК) +I At) +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=l

 

 

 

+ f.W

 

+ W

+

/ w(<) + 7n (') +

 

/ „ № +

 

 

 

+ 2 n . (<) + 2 7«W + 2 Л. (O + 2

(*)•

(7-21)

 

 

 

i=l

 

 

1=1

1=1

'=1

 

 

Ясно, ЧТО

 

 

 

E \sup

|/,(t)|*|-»-0 при

8J0

 

(7.22)

 

 

 

 

 

 

н, согласно мартипгальному неравенству,

 

 

 

E\ sup | /i3(*) +

/e(*)l4l < c 4£

f t** (“»([*]" (® ))) — “ (» (*»1*Л|-*“0

Lozier

 

 

 

 

 

J

Lo

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

при

6JO.

 

 

(7.23)

В силу леммы 7.1, очевидно, что

 

6^°'

 

(7,24)

 

 

 

 

 

е \sup

i/uon-*0 при

 

 

 

 

 

 

 

[о ск г

 

J

 

 

 

Имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

£Г** Iп , «>h<«. 2 £ (JI“>*а*гW) - ю‘<s)l'isj

<

loct-tT

 

 

 

J

 

i=l

L\o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

np“ 6 , °-

 

4

1(3

 

 

 

 

 

 

 

 

(7.25)

25 С. Ватанабэ, H. Икэда

Смотрите также:

«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных