Материал: Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

§ 6. СТОХАСТИЧЕСКИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

371

Тогда, согласно формуле Ито,

t

rJ f - = jjr(s)dB,(s) + t,

( 6 . 5 )

О

где

О

Ясно, что система мартингалов (S(t) , Bt(t)) удовлетворяет соотно­

шениям <Bi, Bl’>t = t, <Bt, S'>t =

0 и (S, Syt = -g J r (sfds.

Пусть

B2(t) —S((ft), где <pt — обратная

функция к t

Co-

 

0

 

гласно теореме II—7.3, броуновские движения B,(t) и B2(t) взаим­ но независимы. Будем считать теперь, что Х (0) = х — фиксирован­ ная точка в R2. Тогда мы знаем, что r(t) — потраекторпо единствен­

ное решение

уравнения (6.5)

с

г(0)=|ж|

(гл. IV, пример 8.3).

В частности,

отсюда следует, что

o[r(s), s <

t) <=■o[5i(s), s < f ] , и,

следовательно, процессы {B2(t))

и r(t) независимы в совокупности.

Таким образом, мы получили следующий результат. Для случайной площади S(t) справедливо представление

S (t) = В2 | г (sfdsj,

(6.6)

где B.,(t)— одномерное броуновское движение, независимое от про­

цесса

{/-(f)}. Предположим, что

Х(0) = хФ0. Тогда

X(t)¥=0 для

всех

t >

0 и поэтому мы можем

ввести

представление

в полярных

координатах: X, (f) = r(f)cos 0(f)

и Х2 (f) = r(f)sin0(f).

Применение

формулы Ито дает

 

 

 

 

dS (t) =

{г (t) cos 0 (t) sin 0 (f) dr (t) + r (tf (cos 0 (t)fdQ (t) —

— r (t) cos 0 (f) sin 0 (it) dr (f)

+

r (tf (sin 0 (t)fdQ (f)} =

-|-r (tfdQ (f),

и поэтому

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S(t) =

-j-^r(sfdB(8).

 

Тогда

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0(f): = 0(f) — 0(0) = ]j-JLdS(r),

 

 

 

 

 

n

' '

 

24*

372

ГЛ. VI. ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ II АППРОКСИМАЦИИ

 

и, следовательно, d <Z?X, 0>г =

——т d <Z?l5 Syt — 0 и

 

 

 

 

 

г(<)

 

 

 

 

 

d<$x 0>t =

г(t)

< ^ 1

s')i = ~~7rfdt.

 

 

 

 

 

 

 

г(О

 

Опять, по теореме II—7.3, существует броуновское движение

(Z?3(0) = 0),

независимое от

 

Ш, (f)>

(и,

следовательно,

от процесса

{/•(£)}) такое, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в(‘> = в. (

| ^

4

 

Формула

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х г(г) =

г (t) cos

 

0 (0) + я

? * ) }

 

 

 

 

 

 

Ь

Ч й

(6.7)

 

Jf2 (i) =

г (t) sin

 

0(0)

B3

 

 

 

 

 

 

[°'о>+с»(|гй--4]

 

известна как представление двумерного броуновского движения в виде косого произведения.

В качестве приложения (6.6) можно получить следующую форму­ лу в случае, когда X (0) = 0:

£(«**««) = (cosh ^ -)-1

для

| s R .

(6.8)

Действительно, учитывая независимость Ш2(£)} и (г(f) >, имеем

Е (е4^ (<)) = Е охр

г (s)2ds

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ТЧ ч1

Е

г (s)2ds

=

j i?

exp

J Т)(s)8ds

где ц (I) — одномерное броуновское движение с

т](0) = 0. Поскольку

Ц (ct)| % (V) (t)} для всякого с >

0, то

 

 

 

Я (в1б«0) = \Е

охр

 

 

 

“i\ \2

 

 

jn (s )2ds

 

Следовательно, достаточно

доказать

формулу

(Камерон,

Мартин

[82] и Кац [86])

 

 

 

 

 

 

§ 6. СТОХАСТИЧЕСКИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

373

 

Пусть К (t, s) — t/\s и рассмотрим задачу нахождения собственных

значений в ^ ([О ,

1]):

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

%J К (t, s) ф(s) ds =

<p(t).

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

Собственные значения и собственные

функции

задаются равен-

ствами

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

к = [ ( » + 4 " ) я] ’

 

п =

0, 1,

 

 

 

 

Ф„ = V l sin

+ 4

их,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

со

 

 

 

 

 

Теперь

нетрудно

видеть,

что

'П(0 — 2

 

^пфп(^)т где

не-

 

 

 

 

 

 

П=0

 

 

N(0, 1).

зависимые случайные величины с общим распределением

Тогда

f

V

й

и поэтому

 

 

 

 

 

J т)2 (s) ds = 2d ^

 

 

 

 

 

 

„

п~оАп

 

 

 

 

 

 

 

 

Е ехр

 

 

 

п

W “

P I

- f

й 1) *

П , /

^

т

 

 

 

 

п =о '

I

п

} 1

n = 0

 

l + 2 jj —

ЙТ О

Пусть X(t) — двумерное броуновское движение с Х (0) = 0. Тогда

для всяких i s R 2, { > 0 и | е Д

(Гавё [23])

 

 

Е(е**Ю \Х (t) = х) =

lt

|7 exp |Yl - -|-coth Ш

1

(6.10)

 

2sinh^-

LV

J

Ясно, что (6.8) является простым следствием формулы (6.10). По­ этому приводимое ниже доказательство является другим доказатель­ ством формулы (6.8) (или (6.9)).*)

Д о к а з а т е л ь с т в о . В силу инвариантности броуновского дви­ жения относительно вращения, нетрудно убедиться, что

Е (e*S(,>I X(t) = х) = Е (eitS(,) I г(f) = г),

где г = Ы . Согласно (6.6), имеем

E(e*s^\X(t) = x) = Е

*) Еще одпо доказательство можно найти в [108].

374

ГЛ. VI. ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ II АППРОКСИМАЦИИ

 

Но мы знаем (гл. V, § 3), что

и (t, х) = Е ^ е х р a j* |х + X (s) \4s j j f(x + X

t > 0, x e Ra,

где а > 0 — заданная постоянная, является решением задачи Коши

 

^ = уД ы — а|х|2и,

и |(=0 = /•

(6.11)

Пусть

{Нп{х) :п = 0, 1, . . . } — полиномы Эрмита и

положим

фп, т(я) =

(ехр \—\х\г\)Нп {xi)Hm(х2 для х = (хи х2 и / ! , т

= 0,1,, ...

Так как ф„, тудовлетворяет равенству

 

 

(А — Ы2)фп,т+ 2(П + JTI+ 1)фп,т = 0,

то (6.11) можно решить методом разложения функции в ряд по соб­ ственным функциям:

 

 

 

и (г, х) =

j Ра (t, X, у) / (у) (1у,

 

 

 

где

 

 

 

R2

 

 

 

 

 

 

 

 

ОО

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pa(t,x,y) =

s

е -у *а(п-'т+г)‘еп,п,{х)еп,т{у)

 

 

 

 

 

n,m=0

 

 

 

 

 

 

е , . „ (

* )

= 1г( Я! т 2! "

+М ( 2 а) ■~1/г) -

1/2Ф * ,

» ( ( 2

а ) 1/4*

) .

 

Формулы для полиномов Эрмита дают

 

 

 

 

 

Ра(г, Ж, у)

2 ^

-Уйх(я+Л

-УГа{А+Угд Ь и^

) тхд Ип {^ )Л'% )

П

 

 

 

е

 

у я 2пп1(2а)- 1/4

 

 

 

2

exp

 

coth "1/2а t [г2 — 2ял/. sech 1/2а t +

г/?]j

 

 

 

 

 

V^2n sinh "|/2а 1(2а)_1/2

 

 

 

 

 

x =

(Xi,

z2), У ~(Уи J/г)-

 

 

 

 

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

£ ( e iES(0|X (£) =

*) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!

it exp LV

2

2 /

2t J

= ^ */e (*, 0, *) (gu exp [ - Ц ]-])

=

 

 

 

 

2 sinh

Рассмотрим, наконец, трехмерный процесс

* ( * ) « ( * . ( * ) , X , ( t ) . X . ( 0 ) + S (*))'.

§ 6. СТОХАСТИЧЕСКИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

375

где (Xi(t), X2(t)) — двумерное броуновское движение, a S(t) опре­ деляется равенством (6.4). X(t) — диффузионный процесс на R® с порождающим оператором

 

 

Л = у

 

+ L'l),

 

где

 

 

 

 

 

 

г

д

х2 д

„

т

д ,

xi д

bl ~

дхг

2 dxs

И

 

дх2 +

2 дх3’

X(t) — вырожденпая диффузия, но так как [L^,L2\= L1L2 — L2L1=

= -у-,

то

dim 8 {Lu L2 x= 3 для всякого

х.

Поэтому,

согласно тео­

реме V—8.1, существует гладкая

плотность

вероятности перехода

p(t, х,

у). Из (6.10) легко получается, что

 

 

 

p ( t , 0 , x ) =

 

 

 

 

 

 

Ш

Д .

’ ’ <

Ы

X — (^i, х2, х9

 

I лазя"4’ 1 t 3

2г

lanh II2 dl,

 

 

 

 

 

 

(6. 12)

(см. Гавё [23]). К тому же, согласно приводимому ниже примеру

8.1, мы видим, что топологическим носителем ^ ( Р х)

закона Ря про­

цесса

iX(t)}

с

Х(0) = ж

является

все

пространство

W* =

= {w:

С([0,

оо) -> R3), ц;{0) = х).

Для дальнейшего подробного изу­

чения этой диффузии мы отсылаем читателя к Гавё [23].

 

П р и м е р

6.2. Пусть М — риманово

многообразие. Горизонталь­

ным броуновским

движением

г =

ir(t) }

является

диффузионный

процесс па О(М), определенный уравнением (6.1) с Г 0 = 0:

 

 

 

 

 

I dr(t) =

Lk (г (0) ° dwh (t),

 

 

 

 

 

 

 

 

1 г (0) = г.

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть

Ъ— векторное поле

па М. Дифференциальная

1-форма со (&)'

определяется,

как

обычно,

равенством

< a (b )= b t(x )d x t, где

bi(x)=*

= gis(x) Ъ! (х)

и Ь =

Ъг (х) —г. Легко видеть, что скаляризации вектор-

 

 

 

 

дхъ

 

 

 

 

 

совпадают:

 

яого поля Ъи дифференциальной 1-формы о»(Ь)

 

 

a>(b)i (г) =

(а:) е\= V (х)/■ =

Ъ1(г),

i =

1,2,

. . . , d.

 

Предположим,

что

¥(г) = со(£>)«(г)

ограничено

на

0(М)

для »*=

= 1 , 2 , . .. , d. Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М (t) =

exp

j ? j V

( r (s))du?1 (s)

y j? i5,(r(*))1,d4 (бл4)

 

 

 

 

i=l о

 

 

 

 

Смотрите также:

«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных