Материал: Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

406

ГЛ. VI. ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИИ

 

— Do ^Хп

х, w'j^dsYn

X, ivj Ahw np<

(ft-rl)/n

V p- ’£

sup

— Do ( x n

x, w

 

[nfll-l

< Г р“ 1/г2р- 1

2

 

h=o

21

J

Do (Xn (s, x, w)) -

ft=o

k/n

 

dsYr (-£> x, w) Afew

E

(fc+l)/n,

J

Do {Xn(s, a:, w))

 

.f

^

 

kt'/nj

— Do [ x n

x, w) j jds Y n

x, wj AftU;

[« .] - ! < r P-lra2„-ln-(P-1) 2

k=Q

№+!>/»

r,. ,

j

E l|lz)o(Xn(*,®,ii7))-

ъinh/n

 

 

 

■D o { x n { j ^ ,

X,

 

 

 

 

 

AfeW

ds <gC

 

 

 

 

 

(ft+D/n

 

 

 

 

 

 

 

 

<

K lsnp

2

 

J

E j

 

(s>

 

“0 —

(jp

*> W

X

 

 

 

k— O

 

h/n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

Yn[—,x ,w j

1 Akw1|

ds

 

 

 

 

 

[ n t ] ] - l

(ft+ 1 ) /n

 

о- (Xn(и, лг, и;)) Afta;

X

=

^15^2P

2

j

 

Я

 

 

 

 

k—0

fc/n

 

ft/n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X |x n ^

, x, wj jP IIAkivt

 

 

 

 

 

[nt.]-! (h+1)/"

 

- - ) p d s £

 

 

 

 

< * 1 в « ,Р

2

 

 

 

 

У «(4 » *> w)nAftU7f

 

 

k—=0

k/n

 

и /

 

 

 

 

 

 

 

[nijJt { ] --\l (ft-|l)/n-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^xe«2p

2

 

J

(

^

- ^

)

р ^

[

| ^

( ^ ^

^ ) Г

] ^ [ « д ^ г

 

k=0

ft/n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[ n

i l ] - !

 

 

 

 

 

 

<АГ17п,ар|Г(р+1)|Гр

2

£

'" f e ’ 1- " ’) ! ' ] -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[ntll-l

Yn[—,x ,w I

 

 

 

sup |yn(s, a:, w)f dt.

= ^ 17n_ i

2

E

 

 

 

 

ft—0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<£i

(7.81)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 7. ТЕОРЕМЫ АППРОКСИМАЦИИ

407

Для /з(г):

■

Е\ sup. H/S( i ) f = E sup

2

Da (Xn(s, X , w)) Yn(s, x, w)—

0

‘ = 0 kin

V

-

 

 

M b

[ntjJ-Kft+D/n ,

 

 

Tv~lnv 2

j

E

I Da (Xn(s, x, w)) If I Yn(s, ж, w)

 

 

 

 

 

b=0

ft/n

 

L

 

“

 

 

 

 

 

 

 

Yn[lE,x, w^j|P|Aftu;|p ds :

 

 

 

 

 

 

 

(fc+O/n

 

 

 

 

 

 

<

Z 18np

2

j*

E || Y n(s, ж, u;) — Y n^

, x, wj

\Ahwf j ds.

 

 

 

 

 

k — O

k / n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(7.82)

„

к

 

~

^

к-f- 1

 

 

 

 

 

 

Если — ^

 

s ^

—2—, TO

 

 

 

 

 

 

n

^

 

 

ra

 

 

 

 

 

 

|yn(s, x, w) —

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C Do (Xn (u, ж, u;)) Y n (м, ж , W) Akwdu ra2<

 

 

 

 

 

 

k / n

 

 

 

«

Ц

 

 

 

 

 

 

«

 

 

 

 

 

 

<

n21AhwIf j

IDo (Xn(u, x, u;))|2du j ||Y« (u, x, w) f

du <

 

 

 

 

 

k / n

 

 

 

k / n

 

 

 

 

 

 

<

K^n* 1A^W2 (s — 4 )

f 11Y * (ц>x’ w) ll2 du <

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k / n

 

 

 

<Z20{llAbu;ll2|yn(^, ж, u>)[ + n\\Akw f j

Yn(u, x, w) —

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k / n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y n l K x , U,V du\

Йз этого неравенства получаем следующую оценку:

 

 

Yn{s, х, w) — У „ у

•, ж, u>

<

X , wj 4exp |tf20re \\Akw\* («—•£)}

 

 

 

 

 

К 2oil Ahw f

Уя(•£,

408

 

 

ГЛ. VI. ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИИ

 

и, следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

Yn(s, х, w) — Y n [ —, х, w ^ <

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< K 2l\Ahw f

Yn( 4 , x, u;) Г exp {K.i2i Ahwf} .

(7.83)

Подставляя (7.83) в (7.82), получаем

 

 

 

E \ sup

j / 8( o r ] <

 

 

 

 

 

 

 

 

<

K23npn

1 2

E [I Yn (-p

x, u?) P

E [|Akw|2p exp {K22 \Akwf } ] <

 

 

 

 

k—0

 

 

 

 

 

 

 

 

<

K u -i 2Д Ц y „ ( 4 , *, u;)|P] < K2^ E ^sup( II y n (st X, u>) f j df,

(7.84)

поскольку

 

 

 

 

 

 

 

 

 

£

[ft

 

f P exp {K221 Apwf } ] =

 

 

 

 

 

 

 

-

j

(2л 4 )~ Г/2 |* |2p exp [К221* j* -

-J

I * I1} *r < K 2bn~p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

для достаточно больших n.

/ 4(f)

оценивается таким образом:

 

 

 

 

 

£ [ sup

I / 4 (*) If

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

Е

sup

Da

x, ivjj Yn

 

x, w'j n (t — ^ j ‘A[n;]a;

 

 

 

 

 

 

Ф

I Y n (

n

a:, иЛ P |A[ni]u; f 1 <

 

 

 

 

 

 

Ktjl

\

 

J

J

 

 

 

 

 

 

[«ij]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< K 2* 2

£

[ l Y n (-^ ,x,

w)

P||Aftu ;f l <

 

 

 

 

 

 

fe=0

 

1.1

\

 

J

J

 

lnh]

§ 7. ТЕОРЕМЫ АППРОКСИМАЦИИ

409

В случае 7S(£), поступая так же, как и при оценивании / 2(0> по­ лучаем

Еsup 1!/6(г)Г]<

< К м п Е

sup

 

Г

|x„(s,х, w) — Хп

V ”

х, iff)

dsX.

 

 

0<t<t4 n ty i

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[ n t x ]

 

 

 

 

х Y n { ^ § , x, u;)||Pl Afelp f l

 

2

E ( | У »(■“ .•*» IT

<

 

 

 

 

 

 

 

k = 0

 

 

 

 

< Я 3о Ш-р

 

£

 

sup IYn(s, я,и>)||5'Jd* + п~ре [\у п ^

- , х, w

 

j*[

0<s<i

 

 

 

 

 

 

 

0

L°

 

 

 

 

 

 

 

(7.86)

Что касается 7,(f), то, как и в случае 7S (f), находим, что

 

Е\ sup II/в(0|Г1<

 

 

 

 

 

 

 

[nf,](ft+t)/n

^'[||irn(s, ж, и^) —

 

Ж, IPH|lAh«;fjd*<

2

 

J

 

 

fc- 0

k/n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[ГС!,]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< KMn-v 2

E [ \Yn ( A., *, u;) f 1 <

 

 

 

 

 

k—0

 

L

'

1 J

 

 

 

 

 

ni-p Ц E ^sup^i Yn(s, x, u?)f dt + n~pE [

 

ж>“^Ц ] j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(7.87)

Комбинируя

(7.80),

(7.81),

(7.84),

(7.85),

(7.86)

и

(7.87)

заклю­

чаем, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Е Г sup

II Yn {t, X, w) f ] <

к зя \1 +

f E f sup |Yn (S, x, w) fl dA

 

 

 

 

 

J

' 0

 

 

 

 

/

Применяя стандартный метод усечения, из этого неравенства вы­ водится

Е sup \Yn(t,x ,w )f ^ К 33ек™т.

(7.88)

0«!-<Г

 

Таким образом, (7.78) доказано для всякого а такого, что*) |al = 1.

*) Фактически, было доказано, что sup можно заменить на sup.

|*|CiV

*

410

ГЛ. VI. ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИИ

 

Теперь

обратимся

к случаю

1ctI = 2 . Сначала заметим,

что если

к/п< t < (к +

1)/тг,

то

 

 

 

 

 

 

Е [ I Хп (t, х, w ) - X n [ ± , х, w) |Р ] <

Ksln~p/i

■(7.89)

и, также в силу (7.83) и (7.88),

 

 

 

 

 

Е [ IYn(t, x , w ) - Y n(-^,x, w)||P] <

Кгъп~р1\

(7.90)

Положим YY(V (t, x, w) = - a

X nl (t, x, w).

Тогда *)

 

 

2

 

 

 

дх^дх2

 

 

 

Yiidl (*> ж, u?) =

2

 

2

^ o'a(Xn(s, x, w))lk Yj'W (s, x, w) u;“ (s) ds +

 

 

k = i a = i

Jj

1

*

 

 

+

d

r

Г

„

 

 

iv)1- Yn (s, x, w)’,, v% (s) ds.

2

2

-

<*a(*» (s, X , iv))l, Yn(s, X ,

k. /= 1 nr»1

 

 

 

1

 

 

Обозначим второй член в правой части равенства через a„(t, х, w). Тогда

 

 

d

г

 

 

 

 

 

 

 

 

ССп {t} Х9 U?) = 2

 

2

j

 

•+

J

•

=

 

 

 

h,l= i a = i

. 0

m / n

 

[ n t V n

J

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

=

2

2

(H1

(C A, l, a) +

H2 (t\ k, l, a)),

 

 

[п<1—1

 

 

h,I=l a=i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H1(t;k,l, a) =

2 oa(x J ^ ,x ,w y jk Y n(^,x,w ^ .Y n(^,x,wj' Amu;a+

 

 

m =o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[ п П - l ( w + l ) / n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

2

j

[<Ta(Xn(s, ®, »))£ ,— a"Axn [ ^ , x ,

dsx

 

m=o

m / n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X Y n { r ’ Ж>

 

 

 

 

+

 

[ n ( ] - i ( m + l ) / n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

2

)

Oa(^n (S, ®» U?))

Yn(s, x, wfh — Yn[ ^ ,x , w)_ U s X

 

m=o

•

 

 

 

 

 

 

 

 

/?iJ

 

 

m/n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X Y'n — , x, w . Amwan +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

h2

 

(x).

d x h d x l

Смотрите также:

«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных