|
|
|
|
§ 7. ТЕОРЕМЫ АППРОКСИМАЦИИ |
|
411 |
|||||
■4 |
2 |
(m + 1^ n " |
|
|
|
|
Г |
Yn{f>i ®i H>)j |
|||
•“М" |
] |
<7(х (Xn (®> Я?» ^))w Уn (®i X, |
] |
||||||||
|
m=0 |
m/n |
|
|
|
|
|
L |
|
|
2 |
|
|
— |
f— » a:. и>) |
dsAmwan = |
X x (£) + |
X 2 (t) + |
X 3 (f) + X 4 (t). |
||||
|
|
|
\ л |
/^2 |
|
|
|
|
|
|
|
Согласно теореме III — 3.1 и |
(7.88), |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Г / |
[пГ]- 1|| |
/ |
|
|
MI4\ P/2"| |
|
|
|
|
|
|
|
2 |Г» ( т ’ х’ н,)| J |
|
||||
Кроме того, из (7.89) с заменой р через 2р получаем |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
[п Г] - 1 |
|
(«1 + 1 )/п |
|
|
||
Е Г sup |
IК2 (t) Г] < |
К3йпр- 1 |
2 nPn-(P-i) |
|
I |
Е |
X n (S, ж, Н7) - |
||||
[о«««Т |
|
J |
|
|
т=о |
|
т/п |
L» |
|
||
- |
Хп |
X, w) |2Р] ,/2 ds Е [ IYn (-£ , |
X, щ) |4Р] 1/4 Е [ I Дт н>“ |4р] г/4 < |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ к з9<С оо. |
Используя (7.90), |
убеждаемся в справедливости аналогичных оце |
||||||||||
нок для К3(t) |
и Kk(t). Так что получаем: |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Е\ |
sup |
\H1(t\ k, l, oc)|pl < X 40< |
oo. |
|
||||
|
|
|
|
n<t<T |
|
|
J |
|
|
|
|
Еще проще устанавливается, что |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Е |
sup |
|tf2 (t; ft, l, a) |P1 |
X 41 < |
oo. |
|
|||
|
|
|
|
0 < K T |
|
|
J |
|
|
|
|
Следовательпо,
sup ЯГ sup |otn (t, a:, itO IF K ^ a C o o .
n ,x | o<t<T |
|
] |
|
Используя это соотношение, неравенство |
|
||
sup E |
sup |
|Yj'(V (t, x, w) |P1 < oo |
|
7l,X |
9 < t < T |
1 2 |
J |
можно доказать так же, как и для случая Y„(t, х, w). Продолжая Этот процесс шаг за шагом, приходим к доказательству леммы 7.2.
Процесс (X ( t , х, w ) , Y ( t , х, w ) , . . .) — решение стохастического дифференциального уравнения
dX (t) = |
а(Х (t))odu> (t), |
dY (f) = |
Da (X (f)) Y (t) ° dw (t), |
' X (0) = |
x, |
У(0) = |
/,. |
I ................ |
|
412 |
ГЛ. VI. ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИИ |
Коэффициенты этого уравнения не ограничены и непосредственномы не можем применять теорему 7.2. Но лемма 7.2 дает возмож ность применения стандартного метода усечения (подобно тому, как это было сделано в доказательстве леммы 2.1 из гл. У) и при водит к следующему результату: для Т > 0 и N > О
lim |
sup Е f sup |
|DaXn(t, x, w) — DaX (t, x, w) |P1 = |
0 |
(7.91) |
||
n-*oo |x|^iV |
|
J |
|
|
||
для всяких |
|
2 и мультииидекса а. Тогда, так же как и в доказа |
||||
тельстве предложения V — 2.2, можем получить следующий ре |
||||||
зультат. |
|
7.3. Для Т > 0 и N > О |
|
|
||
Т е о р е м а |
|
|
||||
lim Е Г |
sup |
sup |
|DaXn(t, x, w) — DaX (t, x, w|P1 = |
0 |
(7.92) |
|
n-»°o |
[o < (< T |
|x|«iV |
J |
|
|
|
для всяких ]i> 2 и мультииидекса a.
Мы предполагали, что коэффициенты ограничены вместе со всеми своими производными. Теперь предположим только, что ко-
'эффициенты принадлежат классу С“ и что стохастические диффе ренциальные уравнения и аппроксимирующие обыкновенные диф ференциальные уравнения обладают глобальными решениями для каждого фиксированного начального значения. Посредством стан
дартного метода |
усечения из |
(7.92) легко выводится |
следующее- |
С л е д с т в и е . |
Существует |
подпоследовательность |
{nk} такаяг |
что с вероятностью единица при к -*■ <* |
|
||
|
DaXnk(t, х, w) -> DaX (t, x, w) |
|
|
равномерно no |
(t, x) из |
компактного мноокества для всякого муль |
тииндекса ос.*) |
|
|
§ 8. Носитель диффузионных процессов |
||
Пусть оЦх) |
и b'(x), |
i = l , 2, ..., d, к — 1, 2, ..., г,— ограни |
ченные гладкие функции на R" с ограниченными производными**). Рассмотрим стохастические дифференциальные уравнения
{ d r (t) = |
2! ai (X (t))c dBh(t) + Ъ1(X (t)) dt, |
(8Л) |
|||
[ |
X(0) = |
cr, |
i = 1, 2, |
...,d . |
|
Пусть Px— вероятпостпый |
закон |
решения X = (X(£)}. Тогда, |
как |
||
*) Подпоследовательность {»*} можно выбрать из любой заданной под |
|||||
последовательности последовательности I, 2 |
если |
||||
**) Точнее, |
последующие |
раесуждения остаются справедливыми, |
|||
o e C ^ R * ), b e C j(R d) |
и производные второго порядка функции о равномер |
||||
но непрерывны. |
|
|
|
|
|
§ 8. НОСИТЕЛЬ ДИФФУЗИОННЫХ ПРОЦЕССОВ |
413 |
мы видели в гл. IV, система вероятностей {Рх} на W d представляет собой единственную диффузионную меру, порожденную оператором Л, где
A f № = |
т |
2 |
а и ( ^ |
+ |
2 |
^ ( ж ) ^ ( ж ) , |
/ |
Сь (R d), |
(8 . 2) |
|
|
|
1.1 = 1 |
|
1=1 |
дхг |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
а*> (ж) = |
S |
Oh (ж)of; (ж) |
|
|
|
|
|
|
(8.3) |
|
и |
fc=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.4) |
||
|
Р (ж) = |
Ь1 (ж) + |
2 |
l |
2 ( г г |
И ) |
|
(*)• |
||
|
|
|
|
j = |
h = l |
|
|
' |
|
|
Будем сейчас рассматривать пространство траекторий W d как про странство Фреше с метрикой, определенной в § 1 гл. IV, или экви валентно, что топология W d определяется посредством системы по лунорм {1М1Г, Т > О), где
||IP|T — max |IP (i) | для w е W d. |
(8.5) |
о<кт |
|
Целью настоящего параграфа является описание топологического носителя 9>{Рх) моры Рх, т. е. наименьшего замкнутого подмноже ства пространства W rf, имеющего меру, равную 1. Для этого нам
нужно ввести следующие подклассы пространства W j = {u?е W r: н>(0) = 0}:
9> с.:^ р с JVJ,
где
Pp = {ф е Wj; I >-*•ф(£) — кусочно гладкая функция}
и
^ = !ф е Wj; t<-*(p(t) — гладкая функция].
Для ф е ^ р и жеЩ, решая обыкновенное дифференциальное урав нение *)
|
з м й о ф ^ о * + & *& )*» |
lORv |
||
|
fc=l |
|
|
(о.0) |
|
^0==‘^> |
1 = |
1)2, ...,£? |
|
получаем d-мерную кривую |
| = |(ж, ф) = (|/(ж, <р)). |
Определим |
||
подклассы |
и 9*р пространства W d равенствами |
|
||
________________ |
= |
{ь(я, Ф); ф е ^ } |
(8.7) |
|
4 14 |
ГЛ. VI. ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИИ |
|
|
|
|
|
= |
{£(я, ф );(р е |
д>р}. |
|
|
|
|
|
(8.8) |
|||
Легко видеть, что замыкания в |
Wd |
у 9 х и |
9% совпадают, |
|
т. е. |
||||||||||
9>х = 9>*, |
Сформулируем теперь основную |
теорему, |
принадлежа |
||||||||||||
щую Струку и Варадану [158]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Т е ор ем а 8.1. Для всякого s;e R i9’ (Px) = |
9ht. |
|
|
|
|
|
|||||||||
Д о ка з ат ел ьс тв о . |
Сначала мы докажем включение 9 (Рх)<= |
||||||||||||||
<= 9 х. Для каждых л = 1, 2, . .. |
и t > |
0 положим fn = [2n£]/2n и tn = |
|||||||||||||
~([2nt\+1)/2”. Пусть |
{B(t)} — заданное r-мерное броуновское дви |
||||||||||||||
жение с 5(0) = 0. Определим {#„(£)} |
равенством |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
В„ (t) |
|
— |
|
|
'(t —1„) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
Kn |
>.B(tn) + f-— |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
(in -In) |
- |
(in - in )' |
|
|
|
|
|
|||||
Тогда B n^ 9 p и |
поэтому |
|(x, Bn) <= 9%. |
Согласно |
теореме |
7.2 |
||||||||||
\ (х, В п) -*■ X в Wd по |
|
вероятности. |
Следовательно, |
Р” -*■ Р х |
при |
||||||||||
п - > оо, где Рх — вероятностный закоп |(х, |
В „). Таким |
образом, |
|||||||||||||
Р х (9р) ^ |
lim Рх ( 9 Р) = |
1 |
и, следовательно, |
|
|
|
|
(Рх)- |
|||||||
|
71—*00 |
|
|
|
|
__ |
вытекает |
из |
следующей |
теоре |
|||||
Обратное включение |
9*(Рх)=> 9* |
||||||||||||||
мы. Рассмотрим уравнение (8.1) на винеровском |
пространстве |
||||||||||||||
(WTa, P w ) |
относительно канонической |
реализации |
виперовского |
||||||||||||
процесса; |
его решение обозначается через Xx = (X(t, |
w)). |
|
|
|
||||||||||
Тео р ем а 8.2. Для всяких ср&9, Т > 0 и е> О |
|
|
|
|
|||||||||||
PW(IIX’* — |(х, <р)11т < е I И—фИт < |
б)-*-1 |
при |
610. |
|
(8.9) |
||||||||||
За мечание |
8.1. Хорошо |
известно, |
что |
PW (IIH; — <pllr < б )> О |
|||||||||||
для всяких ф е ? , |
Т > 0 и б > 0, т. е. 9 ( P w) = |
WJ. |
Действитель |
||||||||||||
но, согласно результату из § 4 гл. IV, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где |
P'Rr(IIie —<рИг <8) = Epw(M(w): Ы1т<6)>0, |
|
|
|
|||||||||||
|
[ |
|
г |
Т |
|
|
|
|
X |
|
-j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
— ^ |
) *рй(s) dwh(s) — |
|
j* IT («) 12 d s \ . |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
k = l |
0 |
|
|
|
|
0 |
|
J |
|
|
|
Доказательству теоремы 8.2 предпошлем несколько лемм. |
и с2 та |
||||||||||||||
Лемма 8.1. Существуют положительные константы с, |
|||||||||||||||
кие, что |
|
|
|
|
ej. ехр И) при |
|
|
|
|
|
|||||
|
PW (1М1т < |
е) ~ |
е[0. |
|
(8.10) |
||||||||||