Материал: Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

416

ГЛ. VI. ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИИ

 

Тогда

 

 

 

lim sup Р ^ [ 1|1 1 у |г>Мб|||г«|г<6 ] = 0 .

(8 .1 2 )

 

Мtoo 0<6<1

 

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть i¥*j фиксированы. Положим

 

 

 

а (*)= т

I К®1)*

+

(wJy (s)] ds-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Мы

отметили в §

6 , что B(t) = Tjti(a-1(f)) — броуновское

движение,

же

зависящее от

{(и>*)2(£) + (и /)2(£)}

(и, следовательно,

не

завися­

щее от радиального процесса {|и?(£)|}

и,

в

частности,

от

 

1Ы 1Т) .

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р W[ |riij IT >

M b 11| w |T <

6

] = Pw [ |В (a (*)) | r >

M b 11| w ||r

<

6]

<

 

 

 

 

Г

max

IJB(s)j>

MS] = Pw Г

max

|B (s)|>M l,

 

 

 

lo«*<62T/4

 

 

J

 

LO<S<SJT/4

 

 

 

J

что и доказывает

(8 .1

2 ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С л е д с т в и е .

Пусть

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

£i7 (£) =

j

(s) о

(s),

i, / =

1, 2, . . . ,

r.

 

 

 

(8.13)

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда для всех i, j =

1,

2,

..., г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

sup

P w (||rj lr > M (5 )| I M r < 6 ) =

0.

 

 

(8.14)

 

 

Aff°° 0<6<l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В

частности, для всякого е > 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P TV ( II

11т >

6 \|^ 1т<

6 ) —>■0

нрм

6J0.

 

 

 

(8.15)

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Так

как

 

- j iul (£) tu7

(£) — £Jl(£) =

rf7 (£),

то

(8.14) вытекает сразу из (8.12).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следующая лемма является ключевой для доказательства тео­

ремы 8 .2 .

8.3. Пусть

f(x):

Rd->-R— ограниченная

и равномерно

 

Л е м м а

непрерывная функция. Тогда для всех е >

0

и г, /

=

1,

2. ...,

г

 

Р IV

(

 

 

 

 

> e l i x i r < 6

-►0

при

6 |0

. (8.16)

 

J /(*<«. w))dt{s)

 

 

о

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 8. НОСИТЕЛЬ ДИФФУЗИОННЫХ ПРОЦЕССОВ

 

 

 

417

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Предположим

сначала, что

/ е

Cb(Rd).

Тогда по формуле Ито*)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

J' f (X (a)) i

f

(a) =

/ (X (*)) 6U (t) - $ f t(X (s)) oi (X (S)) Г ’ (*)

 

(*) -

0

 

f

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

j

(И/) (X (s)) p

(a) d s - \ n

(X (3)) oj (X (3)) н>* (з) ds =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

Ii(t) +

/ 2 W +

I3(t) +

/ 4 (£).

Очевидно,

достаточно

показать, что Pw{WU(t) IIт >

е I 1Ы1Т <

б) О

при б 10 для всякого

в >

0 и i — 1,

2,

3, 4. Это следует

из

(8.15)

для i =

1 и i = 3 и является очевидным для i = 4. Так что остается

только

рассмотреть

h(t).

Для

простоты

полагаем

аДж) =

= —fi{x)al(x).Тогда, по формуле Ито,**)

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I z (t)= $ a h(X(s))VJ(s)dwk{S

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

(X (0) Р

(t) wh(t) -

J a*., (X (s))oj„ (X (s)) P

(s) u;h (s)du>m (s) -

 

f

 

 

 

 

 

0

 

#

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- j (Aah (X (*)) £y(*)

(s) ds -

f a„ (X (*))

(s) d£y (s) -

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

o

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— j a.j (X (s)) U'i (s)ds — j 1° (s) aM (X (s)) о™ (X (s)) 6ftmds —

 

 

о

 

 

 

t

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

f ,r" (s) a*., (X (*)) oj (X (3)) w’ (з) ds =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— Jj{t) + J2{t) + J3(t) + Ji(t) + Ji(t) + J6(t) + J7(t).

Опять-таки

достаточно

показать, что

Р^ДН/ДОИт >

е 11Ы1Г < 6)-*- О

при б I 0 для всех в >

0

и

S =

1, 2, ...»

7. Это пе представляет труд­

ностей для

i =

1,

3, 5, 6,

7. Согласно

теореме

II — 7.2', существует

одномерное

броуновское

движение

B(t)

такое,

что

Л(£) = В (a(t)),

где

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а (t) =

</2, / 2>( =

j [gy (s)]2 [afc,

 

 

(X(s))

(s)

 

(s)ds.

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*)

__ -J—

Мы также следуем обычному соглашению о

суммировании.

 

,г

дк г '

Э

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

* • )

а к 1

( х )

 

а к (х).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27 с. Ватавабэ, Н. Икэда

418

ГЛ. VI. ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИИ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теперь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

РШ(\\Мтт>е\Ыт<Ь)^Р™(\\1'Ч\т>МЩш1т<Ь) +

 

 

 

. +

PW{\\J2 (t) |т > e, I

|T <

MS 11|w]r < 6).

Согласно

(8.14), для любого заданного М > 0 можем выбрать

р > О

такое, что первый член в правой

части

будет

меньше р

для всех

1 5 * б > 0 . Ясно, что из llgijllT <

Мб

и HIPIIt < 6 следует, что*)

a(t) <

а(Г) =£ с364, и поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

PW(1 / 2 (t) Иг > е,

1 r j IIг <

Мб,

IW||г < б ) <

 

 

 

 

 

 

< PW ( max

| 5 (i)| > e ) = P w /'max | 5 (i)| > e /l/'c^ 6 2'\=

 

\0« t « e 3e4

 

j

 

\o<(«l

 

 

 

 

J

 

 

 

~ 2

I

 

v f e e5 p [ - T

] ‘fa<

' . exp

[ - cb ^ ] -

 

 

—1/2

n

v

 

 

 

 

 

L

-»

 

 

C3I/2S6-2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В силу леммы 8.1,

P ( |w|г <

б) >

свexp

с7 ^-J.

 

Следовательно,

P W (1^2 (01|г> е, ||iij|T<M6|||U;||r < 6 ) <

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г

с 62 — с

62 1

ПРИ

<Н°*

 

 

 

< е 8ехр^ — -2—

6 4

10

j

 

Поэтому

lim />w( J /2(f)j|T>e|||u;|r < ;6 )^ iii

 

и

так как

TJ

нроиз-

 

6J0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вольно, то получаем желаемое заключение. Далее, мы рассматрива­ ем / 4(t):

t

t

/ 4 (t) — — J ak(X (s)) wk (S)ivl(s)dw> (s)----j- J ak(X (s)) wh (s) ds =

о

о

 

= Xi($) + K2(t).

Тогда очевидно, что для любого е > О

Pw(\\K2(t)Иг >

е |1М1Г< б) О при 610.

Ki(t) является мартингалом с

 

t

(К и K j}t =

j [ah (X (s)) wk(s) wi (s)]2ds.

 

0

Поэтому, если 1Ы1Г< 6 , то <K4, К4Ут< с иб4. Повторив вышеприве-

*) В дальнейшем с3, с4, . . положительные постоянные, не завися­ щие от 6.

§ 8. НОСИТЕЛЬ ДИФФУЗИОННЫХ ПРОЦЕССОВ

419

денные рассуждения заключаем, что

PW(\&i (t) |т > e 11|w|T< 6 ) < c12 exp [ —

J 0

при 610. Таким образом, (8.16) доказапо для / е Cb(Rd). Теперь предположим, что / — равномерно непрерывная функция и выберем

/„ е СI (Rd) так, что /„-* -/ равномерно. Положим

 

1

(

 

 

 

Y n(t): = j / ( X (s)) d l % ) -

j U ( X

(s))

(s) =

 

0

0

 

 

 

•

 

 

6

*

— j (/ — /я) (X (*))

(s) dun (s) + - f

f (/ — /п) (X (*)) ds.

о

 

 

 

0

Тогда для любого заданного е > 0, посредством таких же рассуж­ дений, что и выше, получаем

/>W(||F„||T>e||k||T< 6 ) <

< р W I (/ - /») (X (.9)) кя (*) d w i ( S ) > ± . 11W |г < б ] <

для достаточно больших п и 0 < б *£ 1. Следовательно,

,w I | / ( х (.,))<;?“ М >е||М|г < 6

<

о

т

):

/

<

Pw ( 1 .(in (X (.9))diu (s)!J> -J IIIWH r< 6j+

+ Pw (l|Fnl!r>^-|H||T<6).

Для заданного rj > 0 можем выбрать n такое, что второе слагаемое меньше rj для всех 0 < б 1. Затем устремляя б I 0 получим, что первое слагаемое стремится к 0. Следовательно,

lim Р W 1"/(X («))d|y (s)I

> e | H jr < 6 | < r i .

6 1 0

о

||т

■>

 

 

 

В силу произвольности ц это завершает доказательство соотноше­ ния (8.16).

27*

420

 

 

ГЛ. VI. ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИИ

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о

т е о р е м ы

8.2.

Докажем

сначала

(8.9)

 

для случая, когда ф(£)=^0. В этом

случае,

|»=(|»(ж>

<р))

реше­

 

ние уравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Имеем

 

 

 

 

 

1

£<>= *•

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Мы докажем, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P w ^||j*oi(X(s))o^ft(s)||

>е|||ш[|г <

б ^

0

 

(8.17)

 

п р и

б I 0 для всякого е >

0. По формуле Ито *):

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

(X (t))wk (t) -

*

 

 

 

 

 

 

 

 

\

(X (s)) о dwk (s) -

4

j V (.9)

. d (at (X (s))) =

 

 

о

 

 

 

 

 

 

t

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

X( ( t)

)I P*

(

i )

j

alno (Xi , (s)),

(whX

(s) ° (dwms )

)(s) -

 

 

 

4

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

f o h (X (sj) bl (X (s)) wk (s) ds =

I г(0 + h (*) +

7sW*

 

 

 

 

 

О

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Достаточно показать, что для всякого в > 0 и i =

1, 2, 3

 

 

 

 

 

 

7>w’(H/i(<)1> е 11|1Р|т <

6)-^ 0

при

б 10.

 

 

 

Рассмотрению подлежит лишь случай i —2. Имеем

 

 

 

 

I2 (t) =

j

(

-

,

 

(

Xс

(s) = s

)

)

 

o

L

(

X

( s

<

 

 

О

=- J ah (X (s))o* (X (s))dlhm(s) -

0

_ j [ai,,oL] (X (s)) al (X (s)) и* (s) 8°mds = A (*) + A W

в

где для всякого в > 0 и / = i, 2

P w ( l l / i ( 0 H r > e I 1 М т < б ) - » - 0 п р и

6 1 0 .

 

Смотрите также:

«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных