Материал: Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

§ 9. МЕРА ТРУБЧАТОЙ ОБЛАСТИ

427

с = ф , ( 0 ) ( ф l (x)dx,

ф|(лг) — нормированная

собствеппая функция,

D

Г > 0

и

произвольны,

но фикси­

соответствующая Х|. Далее,

рованы.

9.1.

Пусть

ф:

[О,

.TJ-^R1— гладкая кривая*)

та­

Т е о р е м а

кая, что ф(0) = ж. Тогда

(записывая Ь(х) = (Ь*(х), Ь2(х),

..., bd(x)))

Px (w: ||щ— ф |г < р) ~

Т

Т

-1

— у J |ь (ф(«)) — ф(s)|2ds — у j (diVЪ (Ф (s)) ds Pw (||м?||г <

е) ~

О

т

D

т

-*

(

—у

J \Ь(ф(s)) — ф(-9)l2 ds — -J j ( div b) (ф(*)) *

о

о

при

е|0.

(9.3)

<1

Здесь

(div Ь (х) =

2

дх%

Ь1(х).

С л е д с т в и е .

~

Онсагера — Маклупа L(x, х) задается,

Функция

с точностью до постоянного слагаемого, равенством

L (х, х) = ---- 1-1 х — Ь(х) |2---- (div b) (х).

(9-4)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Посредством

преобразования

сноса,

рас­

смотренного в и. 4.1 гл. IY, получаем

1

Г

Рх (В) = Ew \охр

j* b (х +

w(.?)) dw (s)

— £ j* |b (x + w(s)) |2 ds

' B >

(9.5)

для

(W1') . Аналогично **),

P W(B) =

— -y|^(s)| 2dsj:

(w; [w + Ф — x]<= B)j.

^expj^— |ф(«)йн;(«)

= E

(9.6)

*)

Достаточно предположить, что cp e С2(Г0, T]

определяется

равенством

**)

Для

wе Wd и

г е К ,

»

+ * е

[гс + х\ (г) ■= w(t) +

х.

428

ГЛ. VI. ТИОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ II АППРОКСИМАЦИИ

Комбинируя (9.5) и (9.6), получаем

Рх (||ы> — ф1|т <

е) — Е*

— J Ф (s) dw (s) — у j I cp (s) I2 ds +

V

О

1

1

T

T

+ § b (w { s ) + (p(s))d[w(s) + <f(s)] — Y Jlb(ti;(s) + cp(s))|2ds

: (Hlr <

e .

О

o

J

J

(9.7)

Если w удовлетворяет неравенству lli£>llT< e ,

то*)

т

т

ф(s) ds

j* ф (s) dw (s)

=

ф (T) w(Т) — \w(s)

< Лхе,

о

«

т

т

(ф(s)) ф(s) ds

J b (w(s) + ф(s)) ф(s) ds — J b

< А2е

X

X

С-4-е.

J |b(w(s) +

Ф(s)) I2 ds — j

|b (Ф (s)) |2 ds

Отсюда немедленно получаем, что

ехр

г

+4-+4i)ej <

4“jl4>(*)—Иф(*))!**—

(A i

< Р .т (|н>—фЦт<е)\Е

J^exp

j

b (w (s) + ф(s))dw (s)j:| w|T < ejj

<

<

exp

—4-j Iф(*) “

(ф(s)) I2ds + (Л 1 + A2 + As) ej*

(9-8)

О

j

Следовательно, достаточно показать, что

Ew J4xp

b (iv (s) +

ф(s)) dw(s) + -у J(div b) (ф(s)) dsjj|w|r < ej

-

при

e|0.

(9.9)

§ 9. МЕРА ТРУБЧАТОЙ ОБЛАСТИ

429

Имеем *)

J Ь (w(s) +

ф(s)) dw (s) + ~ I* (div b) (ф (s)) ds =

J b (ф (s)) dw(s) +

0

£

0

0

d

Z

d

T

2

) b)(sf (s))w’ (s)d w 1 (s) + т J ( divb)((p(s))ds+

2

J Ф*(®iw )dw *(s),

i.?=l 0

где

Ф* (s, u>) =

bl (W (s) + Ф (S)) -

V (Ф (s)) _

2

Ь)(ф (s)) v9 (s).

(9.10)

Так как

j=i

т

Л4е,

если

||и>Цт<е,

f Мф (s))dw (s)

то (9.9) эквивалентно тому, что

Ew Гexp ( 2

J b)(ф(s)) w?(s) dw*(s) +

L

о

т

•> T

\

+ •

( d i v f c ) ^(s))ds +

2

j

Ф(s,;

w) dw{ (s)|

l N T < e j - ^ l

при e|0.

(9.11)

Заметим, что

d

1

1

2

j* ь*»(ф( * ) ) ( * ) dwi (s)+т

J <div b) ^(s))ds=

*’i=1 о

о

=

d

Г

Г

(

s) +

Sydsl -

d

т

2

1 b*i (Ф (*)) I"’''(s)

i

2

f bi (Ф (*)) d%1(s)%

где

’•j=1 о

J

U = i

о

l

V1{t) =

j

W ? (s) 0 dw1(s).

Вообще,

если

случайные величины Yt, Yz удовлетворяют условию

lim £ w [ecYi|||Ww||rT:< e ] < l ,

* =

1,2,

elo

случайных величин: если

У(, У2, ...,

У„

удовлетворяют

условию

lim Ew (exp [сУ11| w;|т <

е ) < 1

eio

для всякой действительной копстапты с и i = 1, 2,

то

lim Ew (exp [Ух +

У 2 + . . . +

У„]| |и;|т < е) = 1.

ею

lim Ew

^•(ф(5) ) ^ И

lk l!r <

(9.12)

ею

и

lim

Ф4 (s, w) dwl (s)

Iw||r<

<

(9.13)

ею