Материал: Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

§ 9. МЕРА ТРУБЧАТОЙ ОБЛАСТИ

431

Сначала докажем (9.13). Так как

|сФ4 (s, w) |^ Льгг на множестве (u>; |w ||г •< е),

то

P ' f l j сФг(з, ю)Аг*(а)| >6Ци?||г < е ^

<;И 6ехр £ ---- —— j—2— J ^ /s^ ex p j^ — К2-^j- , если 0 < в < ^ 36,;

где применен стандартный способ оценивания, как и в доказатель­ стве теоремы 8.2. Отсюда легко заключить, что

lim Ew I exp U| |сc ]| Ф^Д(s,$ w) dwil (s) |jJ|jIJw||r <

e |= 1.

(9.14)

Действительно, для каждого б0> О и О < е < К,60

 

 

 

 

Ew \expх р

Jс j Ф * (s, w) dw* (s) jJ11 w||r < ej

 

 

 

 

 

 

 

'° + Ki

j

^ e x p [ - ^

dl + K ie6oexp

[-¥ ]■

 

 

 

 

 

A.

*“

 

 

 

 

Устремляя сначала e I 0, а затем 60 \' 0, получаем

(9.14).

 

 

Наконец, докажем (9.12). Записывая

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cb'j= с(х),

 

 

 

 

 

видим, что достаточно показать, что

 

 

 

 

 

 

 

?w I

охр

. т

 

 

IWИг <

e

< 1

 

(9.15)

 

 

j

с (ф (s)) dlH(S

 

 

lim Е

 

 

 

 

elo

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

для всякой функции c(x) e

Cl (Rd).

Имеем

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

j

с (Ф (s)) d t (s) =

с (ф (T)) t

(T) -

f t (s) d [ С (Ф (s))].

 

К тому же

43 2

ГЛ. VI. ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИИ

где ц'Дг) определяется равенством (8.11). Как мы видели в дока­ зательстве леммы 8.2,

Лм (t) = В I К"7*)*(*) + (И 2 (s)]ds

где В — броуновское движение, независимое от радиального процес­

са {|w(f)|} (и,

следовательно, независимое от Иц?1!г). Тогда

Ew ^ехр | j с (Ф (*)) d t (s)J 11|wJr <

е) <

^

eK^2Ew / exp Г Къ

max j В (t) \

 

I

L

0<(Че2т

= e* 4s2J

/ т “ р [ —

 

1 при е|0,

 

 

что и завершает доказательство.

В§ 4 гл. V мы видели, что диффузия {Р*} симметризуема тогда

итолько тогда, когда дифференциальная 1-форма со, определенная

равенством

d

со = 2J Ъг (х) dxl,

 

 

i=l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

задается в виде со = dF для некоторого f

e C ” (R '-+ R). Это

экви­

 

валентно также

тому, что криволинейный

интеграл j со

 

обращает-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

ся в 0 вдоль каждой замкпутой гладкой кривой. С использованием

 

теоремы 9.1 это

условие

можно

переформулировать

следующим

 

образом.

 

 

 

симметризуема в том

и только

 

Т е о р е м а 9.2. Диффузия {Р*}

 

в том случае, если

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т

 

 

 

/ J

A T

(

11

^

 

—

 

ф

 

lim

—----------- г----- — =

 

 

 

 

 

(9.16)

 

 

£10 •Рх(||“; -Ф -||Г<8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

для всякого х и всякой

гладкой

кривой

ф:

[О,

Т\

R1*

 

такой,

что

 

9(0) = Ф (Т) = х. Здесь кривая ф- определяется равенством

 

 

 

 

q>-(t)-<p(r — t),

0 < i <

Г.

 

 

 

 

(9.17)

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Согласно

 

теореме

9.1,

предел

в

(9.16)

 

равен

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9 в. МЕРА ТРУБЧАТОЙ ОБЛАСТИ

4 з а

Таким образом, (9.10) выполняется в том и только в том случае,

если [ ю = 0.

ф

Аналогичная вероятностная характеризация симметрии была получена Колмогоровым [90] в случае марковской цепи.

Добавление при корректуре. Недавно был получеп следующий общий результат: в экспоненте в правой части соотпошония (9.3)

следует добавить член j R (cp (s)) ds/\2 (R — скалярная кривизна)

о

и М 2 понимать в смысле римановой нормы. Этот результат будет опубликован в статье И. Такахапш и Ш. Ватанабэ (Ргос. LMS Symp. on Stochastic Integrals, Durham, 1980). Кроме того, T. Фуджита и С. Котани получено аналитическое доказательство, которое появится в математическом журнале университета /йаото-

28 С. Ватанаб». Н. Инада

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.

А г м о е

(Agmon

S.) Lectures on elliptic boundary value problems.— Prin­

2.

ceton New Jersey,

1905.

Perturbations

singulieres et solutions slochastiques

An р о л т

(Airault H.)

 

dc problemes de D. Neumann Spencer.— J. Math. Pures Appl.,

1976, v. 55,

 

p. 233—268.

V. E.)

Composition

and invariance methods

for solving

3. Б е н е ш

(Benes

some stochastic control problems.— Adv. Appl. Prob., 1975, v. 7, p. 299—329. =

4.Б е р п ш т е й н C. H. Принципы теории стохастических дифференциаль­ ных уравнений.— Тр. физ.-мат. ин-та им. Б. А. Стеклова, 1934, т. 5, с. 95— '

124.

 

С .Н .

(Uernslcin S.)

Equations differentielles stochasti-

5. Б е р н ш т е й н

ques,— Act. Sci. et Ind.,

738, Conf. intern. Sci. Math. Univ. Geneve.— Paris:

Herman, 1938, p. 5—31.

 

 

 

6. Б и л л и н г с л и

II. Сходимость вероятностных мер.— М.: Наука, 1977.

7. Б и ш о п Р.,

К р и т о н д е н Р. Геометрия многообразий.— М.: Мир, 1967.

X Б л ю м е н т а л ,

Г е т у р

(Blumenthal R. М., Getoor R. К.) Markov proces­

ses and potential theory.— Now York: Academic Press, 1968.

9. B a p а д а н

(Varadhan

S. R. S.)

Stochastic processes, Lecture Notes.— Cou-

rant Institute

of

Math. Sci. New

York

Univ. (1967—1968), 1968.

10.В а т а н а б э (Walanabe S.) On stochastic differential equations for multi­ dimensional diffusion processes willi boundary conditions, I—II.— J. Math. Kyoto Univ., 1971, v. 11, p. 169—180, p. 515—551.

11.В а т а н а б э (Watanabc S.) Solution of stochastic differential equations by random time change,— Appl. Math. Opt., 1975, v. 2, p, 90—96.

12.В а т а н а б э (Watanabc S.) On time inversion of one-dimensional diffusion

rprocesses.— Z. Wahr. verw. Geb., 1975, v. 31, p. 115—124.

13. В а т а н а б э (Watanabe S.) Stochastic differential equations.— Tokyo: Sangyo Tosho, 1975.

14.В а т а н а б э (Watanabe S.) Construction of diffusion processes by means Poisson point process of Brownian excursions.— I’roc. Third Japan — USSR

Symp. Prob. Theor. Lecture Notes in Math.— Berlin: Springcr-Verlag, 1976,

15.

v. 550, p. 650—654.

S.)

Poisson point process of Brownian excursions

В а т а н а б э

(Watanabe

 

and

its applications to diffusion processes.— Proc. Symp. Pure Math. Amer.

16.

Soc.,

1977, v. 31, p. 153— 164.

Excursion point process of diffusion and

В а т а н а б э

(Watanabe

S.)

stochastic integral.— Proc. Intern. Symp. SDE Kyoto 1976 (под ред. К. Ito).— Tokyo: Kinokuniya, 1978, p, 437—461.

17. В а т а н а б э (Watanabe S.) Point processes and martingales.— Stochastic Analysis (под ред A. Friedman и M. Pinsky).— New York: Academic Press, 1978, p. 315-326.

18.В а т а н а б э (Watanabe S.) Construction of diffusion procesess with Wentzell’s boundary conditions by means of Poisson point processes of Brownian excursions.— Probability theory, Banach Center Publications.— Warsaw: Po­ lish Scientific Publishers, 1979, v. 5, p. 255—271.

19.В е н т ц е л ь А. Д. О граничных условиях для многомерных диффузион­ ных процессов,— Теория вероятн. и ее нримен., 1959, т. 4, № 2, с. 172—185.

 

 

 

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

 

 

 

 

4 3 5

20. В и н е р

 

(Wiener

N.) Differential

space.— J. Math'.

Pirys.,

1923,

v.

2,

p. 131— 174.

 

,\\) .Nonlinear problems in random

theory.— New

York:

21. В и н е р

 

(Wiener

M. I. T. Press, Cambridge and John Wiley and Sons, 1958.

 

 

 

and

22. В о nr,

З а к а й

(Wong E., Zakai M.) On the relation between ordinary

stochastic differential equations.— Intern. J. Engng. Set., 1965,

v. 3,

p. 213—

229.

(Gaveau

B.) Principle dc

moindre

action,

propagation

de la

chaleur

23. Га в С

el estimees sous

 

olliptiques

sur

certain

groupcs

nilpotcnts.— Acta

Math.r

1977, v. 139, p. 95-113.

 

 

inequalities,

Seminar Notes on

Becent

24 Г а р с и я

(Garsia

A M.) Martingale

Progress.— Reading, Massachusetts: W. A. Benjamin, 1973.

martingales.—

25. Г е т у р ,

Ш а р п

(Geloor

И. K., Sharpe

M. J.)

Conformal

Intent. Math., 1972, v. 16, p. 271—308.

26. Г и р с а н о в И. В. О преобразовании одного класса, случайных процессов

с помощью

абсолютно непрерывной замены меры.— Теория вероятп. и ее

нримен., 1960, т. 5, N° 3, с. 314—330.

случайных

процессов.—

27. Г и х м а п

И. И.

Об одной

схеме образования

Докл. АН СССР, 1947, т. 58. N° 6, с. 961—964.

 

 

28. Г и х м а н

И. И. О некоторых дифференциальных уравнениях со случай­

ными функциями.— Укр. мат. жури., 1950 ,т. 2, № 4, с. 45—69,

29. Г и х м а п

И. И.

К теории

дифференциальных

уравнений

случайных

процессов.— Укр. мат. журн., 1950, т. 2, N° 4, с. 37—63.

 

30. Г и х м а п

И. И.,

С к о р о х о д

А. В. Стохастические дифференциальные

уравпеиия.— Киев: Наукопа думка, 1968.

 

 

31. Г и хм а и

И. И.,

С к о р о х о д

А. В. Теории случайных процессов, III.—

М.: Наука, 1975.

1>. О орсдстаилсиии целочисленных случайных мер как

32. Г р и г е л и о п и с

стохастических интегралов

но

пуассоновской мере.— Лит. мат. сб., 1971,

т.11, N° 1, с. 93-108.

,33. Г р и г е л и о н и с. В. О мартипгалмшй характеризации случайных про­

цессов

с

независимыми

приращениями.— Лит. мат. со.,

1977,

т. 17,

№ 1,

е. 75-86.

 

 

manifolds

which

34. Грин,

B y (Greene R. К., Wu Н.) Function theory on

possess

a

pole, Lecture

Notes Math.— Berlin: Springer-Verlag,

1979,

v. 699.

' 35.

Г р э х р м

(Graham

R.) Path

integral formulation of general diffusion pro­

 

cesses.— Z. Physik B., 1977, v. 26, p. 281—290.

36. Д е б и я р д ,

Ганс,

M a a e

(Debiard A., Gaveau B>, Mazeli E.) Theore-

 

ines de coinpuiaison

on geometric riemamuenne.— Publ. RIMS. Kyoto Univ.,

 

1976, v. 12, p. 391—425.

 

37. Д е л л а ш е р и

К.

Емкости и случайные процессы.— М-: Мир, 1975.

38.

Д е л л а ш е р и

(Dellachcric

С.) Integrals slochastiques par rapport aux

 

processus de Wiener de Poisson.— Seminaire de Prob. (Univ. de Strasbourg)

39.

VIII, Lecturo Notes in Math.— Berlin: Springer-Verlng, 1974, v. 381, p. 25—26.

Де Р ам

(do

Ilham

G.) Varietes differentiable.— Paris: Hermann, 1960.

40.Д ж о л и н (Jeulin 'I'.) Grossisseineril d'uno filtvation ct applications.— Seininaire do Prob. XII (Univ. de Strasbourg Lecture) Notes in Math.— Berlin:

Springer-Verlag, 1979, v. 721, p. 574—609.

41. Д о л с а и с - Д а д e,

М е й е р

(Doleans-Dade C., Meyer P. A.) Integrates

stocliastiques par rapport aux

martingales locates. Seminairo de Prob. (Iniv.

de Strasbourg) IV,

Lecture Notes in Math.— Berlin: Springer-Verlag, 1970,

v.124, p. 77—107.

42.Д о с с (Doss H.) Liens entre equations differentiates stochastiques et ordinaires.— Ann. Inst. H. Poincare, 1977, v. 13, p. 99—125.

43.Д у б Дж. Л. Вероятностпые процессы.— М.: ИЛ, 1956.

44. Д ы н к и н

Е. Б. Основания теории марковских процессов.— Физматгиз,

1959.

Е. Б. Марковские процессы.— М.: Физматгиз, 1964.

45. Д ы н к и н

28*

Смотрите также:

«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных