Материал: Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

формулу разложения b(t)

в ряд Фурье:

А*

,

i/o

° °

Г

(сов2яА:г—1)

П

6

(

t

)

V

U

sin 2я&*

’

У

2

=

-

-f 2пк-- i -- +0 \-

~ ы-+

Г

h—l. L

где

цД — независимые

случайные величины

с одинаковым рас­

пределением *)

N(0, 1)

([79], [146]). Тогда

6 (0 - ]» W* - «- 1/2)I, + У 2 | [u

+ ч, ™ |.“ 1

и так как (cos2rcA:i} и

{ ( г - 1/2),

sin2ji&f} взаимно ортогональны

в

S ’г([0,

1]), то имеем

o2:= o f 0il]( b ) > 2 i l / ( 2 ^ ) 3.

h—l

Поэтому для Z

> О

2z2 h— l

£

(e-*V)

< Е

fexp

I—

2

|2/(2яА-)2П =

=

п Е (ехр { -

z2|£/2n?fc4]) = П(1 +

Z7 JI4A?)-I/2 =

h=l

f t = l

=

V z/sinh

У 2 e~z/2.

Следовательно,

P (о <

e )< exp [— 2z2e2] £ (exp [— 2Z7J?]) <

V 2 exp [2z4e? — z/4]

и положив z =

1/ (16e2) получаем

Р ( о < г ) ^ / 2

exp — 2 ё J

(3.24)

1

\У

0

У

(8.23)

{^ = Ь (а /)| «{Ь («)},

то ао[0,,](Ь )» а [0,а](Ь). Поэтому

следует из (8.24).

8.2. Без потери общности мож­

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы

но считать, что f =

l. Для каждого

д = 1, 2,

... построим

моменты

остановки

и событие Aq со следующими свойства­

ми. Если положить

«!

«8> И

=

\/ а « ( Гу) } L ( r v) dv,

(8.25)

Если w ф. Ад, то

j

fpjY (X,) ds > е£,

(8.34)

eq

иположим*)

где eq— \ll, i?]. Пусть i e R 1, Hfll =

1

I j ( u ’ , l ) =

f

2

[Wi.(r,)1*<fc,

1< /< X .

(8.35)

i„ t3Ii

Согласно

(8.34) можем

заключить,

что

существует

константа **)'

с,(Х ) такая, что

2 ^ К 0 > С! (Х)е$,

к; ^ Ад.

(8.36)

Это основано на следующем общем

факте. Если

...,

таковы, что

Ill'll < X,

то

(det(6l,S*, . . . , Л и) Г - < с 2 ( К

) ^ ( l - V f .

i-~-1

Действительно, мы можем

предположить,

что

линейно независи-

d

d

мы. Тогда

можем

написать I =

2

оц£\

ГДе ai =

2

с1(/ и ( с)) — об-

i--i

j —1

ратная

к

(£)),

=

(£]))

матрица.

Следовательно,

|с]|<:

^ |det (|j) |-1с;, (X)

и поэтому

|а г |<

|dot (|)) |_I с4 (X).

Так как

то это доказывает требуемое утверждение.

Полагая с3 = c2 (K)/N из (8.36)

можно заключить, что

если w

^ A

' g , то

существует такое jo = j o ( w ) , что 1 < / 0< Х и

1 j0 («>. 1

>

сзеч > сз4-

(8-37)

Пусть

Л 1 $ } (0 =

А я

П

1 ) > с 3 г д } \

П

(7j —1 (к;, / ) < c 3e f J),

5 < р ;,

2 < / < Х .

(8.38)

Мы покажем, что найдутся q„ и с4 такие, что

р

(0 ) <

«Г*' ехР ( —

1)

(8-39)

*)

l»fb — скалярное произведение I и //..

константы, зависящие

**)

В последующем

с ,(К), с2( К ) — положительные

только от К.