Материал: Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

326

ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ ПА МНОГООБРАЗИЯХ

Т е о р е м а

7.1. Если, F ^ H ( 1,

2;

1), то F е ® ’1 и LF/2 совпадав>

с LF/2,

где

L — оператор

Орнстейна — Уленбека. Кроме того,

VF-VG = <Z)F, D G >„.

F — гладкий

функционал

F(w) =

Д о к а з а т е л ь с т в о . Если

= /(w(Ti),

^( тг),

W (T„)), то

F (X,) -

F (X0) - / (X, (т,), X, (тг),

•••, X, (Tn)) -

- / ( X 0(n), X 0(T2),

. . . , X 0(T„))=-

=

s

f d j (X, (Tl), x * (T2),

. . . , X. (T„)) dAfГ*} -

‘“ U

-

.

a n

x» (*«). •••>x* (■»"))X‘ (T«) * +

1

j ^

5i/ (x* (TI),

0 ^

л

n

X, (T„)) T* Д

(7.23)

+ - | j

2 didjf (Xs(Tx), x s (T2), . . . ,

«

(F '(и?), v) =

2

5г/М тх), И тг)> ■••.w(Tn))v(T|),

VGWJ,

i=l

Г

(DF (u>), /г) =

(F' (м?), Л) -

,f [DF (н>)1(т)h (т) dt,

A e f f ,

[D F(«;)] (т) =

2 dtf(w (tx), K?(T.2),

... , w (т„))/[0,Т{] (T)

И

t=l

r т

D*F И (Alt A2) =

j' f [D2F (w)] (o1( oa)

(ox) h2 (o2) <Mcx2,

^ s //?

0

0

c

[D*F(u7)](olt Ja) =

2

W ( « ? M

. U,(T2). ...,ir(Tn))^o,Til(0i)^e.*il(0a)-

iJ-=L

Следовательно,

LF (w) = Sp £>2F (w) -

(Ff (M?)f w>) ~

= S

djd,/ (w ( T l ) , W( T 2) ,

. . . , И7 (T„)) r, A T j —

i.j-n

n

-

2

N

{ w ( T , ) , II? ( T 3) ,

( T n ) ) W ( T j )

328

ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ ИА МНОГООБРАЗИЯХ

= ах + а2 + . . . +

ad<^m;

f)

обозначается через Ж°°.

т—1

Следующая лемма из анализа предполагается известной.

Л е м м а 8.1.***)

(I).

Если \

то v(dx)

имеет

плотность

относительно лебеговой меры dx:

v(dx) = g(x)dx,

(II)

Если

то плотность g(x)

можно

выбрать принадле­

жащей классу С“ .

Пусть

F — (Fl, Fa, . .. , Fd): Wj -*■Rd — Позначный винеровский

функционал, а мера I1’* (P w) — образ

меры Pw при отображении

F

(т. е. вероятностное распределение функционала F ). F* (Р и ) явля­

ется борелевской вероятностной мерой на Rd.

что

F —

Т е о р е м а

8.1

(Малливэн

[114]).

Предположим,

= {Fl, F2, ..., Fd

удовлетворяет следующим двум условиям:

(А.1)

F* е

//„ , * -

1,

2, ....

d,

I/ V fttlnf*

Со = (F\ <DF\ DF>„,

LF‘, i, j =

1,

2,

. . ,

d)

таков, что С,, cr Й^. Кроме

того,

предполагая,

что Cr- t с

//„ ,

опре­

делим класс Сг равенством

Cr =

Cr_, U{iDF1, Du>u,

и

Сг-

i =

l , 2 , . . . , d )

и предположим, что Сг <= #«, для всякого г = 0,

1 , __

(А.2)

Полагая

0 ° ( w ) =

<DF'(w), DF*(w)>„,

( 8.1)

предположим, что det(o’J(w )) > 0 для Pw п. в. w.

матрицу

через

Кроме

того, обозначая

обратную к

(o<j(ip))

('Y4(u?))i

предположим, что

е

(Fw)

для

всех р ^

1

и

i, j = 1,

2, ...,

d.

Тогда F * (P w) e

Жж

и, следовательно, имеет С00-плотность от­

носительно меры Лебега.

Для доказательства нам понадобится следующая лемма.

*)

||<р»11 =

sup, |ф(*)|.

330

ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ

Обозначим Si через B,[q\. Тогда

j

д;ф о F (w) q(tv) Pw (dw) = f

cp о F (w) Bi [q] Pw (dw).

Wo

<

Последовательное применение формулы Ито дает

,f

(дндьг •••dim<Р) ° F И pW (d"') = f

ф • F (и) ?m (н?) PW (dw),

<

<

где

qm (w) = Bim[ .. . [ # i2 [1]] .. . ]. Нетрудно убедиться но индукции,

что

qm— полиномиальная фупкция от

и элементов из Ст и по­

этому

qm^ H „ но предположению

(А.1)

и

лемме 8.2.

Следова­

тельно,

I

( *

А

bm4>)(x)fi*(Pw) w

l =

1 4 А

dimy°F(w)PW(dw) <

Rd

wx

J I qrn (w) I Pw (dw).

^

те ЦY II00»

где K m=

Таким образом,

/ * (P w) ^ Ж°°.

Теперь рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение

U X it = oia(Xl)dwa(t) +

bi (Xi)dt,

£ =

1,2,

..., d,

g

„

( X 0=a:

'

•

о и Ь удовлетворяют

тем

же

условиям,

что

и в §

2: Иа(х)!! +

+ I b(х) |^ К(1 + \х\);

а

и b

имеют ограниченные

производные

всех порядков. Для фиксированных t u x ,

решение X t = X(t,x,w) —

= (Х‘ (£, х, w), X2 (t, х, w), . ..,

Xd(t, x,

w))

является

Позначным

Ради

простоты обозначений

мы

предполагаем, временно, что

d = г =

1. Для Xi(w) = X(t, х,

w)

аппроксимирующая последова­

t

1.

Х\п = х + Jа(х £>(4)) dw (s) +

j Ъ (хЭД,,) ds.

(8.5)

О

О