256 |
ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ |
|
|
Теперь мы покажем, что |
|
|
(Au,){x)=*E[(Af)(X(t, х, w))], |
(3.5) |
где для каждого фиксированного t > 0 полагаем ut(x) — u(t, х). Применяя формулу Ито к гладкой функции ut(x) и обозначая
X. = X (s, х, и>), получим
|
Щ(Хх |
— и, (х) = j |
(Ааи,) (Xu) dwa(и) + j (Auf) (Хг1 da. |
|
||||||
|
|
|
О |
|
|
|
|
о |
|
|
Пусть U — относительно |
компактная |
окрестность |
точки х и пусть |
|||||||
<т = |
inf U: Х,Ш U). Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
sA ct |
"1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
I f |
(Ли,) (*«)<*«J. |
|
||
и поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[sA ® |
|
|
|
|
К><*>- Е'“,(^ л а|" ,W |
|
Е \ |
!1 |
{(^ )(* t ,) - (^ ,)(* o )H “ |
1 |
|||||
1- |
|
к («Да1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
sAo |
"I |
Г«Л® |
« |
1 |
|
|
|
|
|
|
j У^к|+£| J |
|
|
||
|
|
|
|
|
f |
|
Я[*Ла| |
|
|
|
г д |
еYu= j*(AaAut) {Х% dwa(|). Очевидно, |
|
|
|||||||
|
|
s Д а |
it |
|
|
“1 |
|
|
|
|
|
‘ |
f |
^ J ( A ) ( ^ 6)^ |
|
|
|
|
|||
|
|
. о |
о________ |
J |
^ |
s max |(A2ui) (,r) |
|
|||
|
|
|
А’ [«Да1 |
|
|
|
x= U |
|
|
|
Так же |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
«Ло |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 г“'du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К(«До] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г |<,л°),Д д . 1 г-'1 . |
(дк-л«)Ч)1Я(Е[пд |
л,1 Г«Т|)1/2 |
<С |
||||||
|
Д[4-До| |
|
|
|
|
|
Е 1«Да1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
, (Д[^Лст)г])1/2(^[<^>,Ла1{/3 |
(согласно теореме Ш-3.1) |
|
£ WWI |
||
|
§ 3. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ |
257 |
|||
(£[(*Л<г)2])1''2(Х[°Ла])1/2(тах |
|
2 ((A* Aui)(x) f j ^ |
||
_____________________ \ х ч и а |
- \ |
____ / |
||
-------------------------------;г, Ч.ХТ-' |
|
°' =1------------------< |
||
^ |
ь [*л о- |
|
|
|
|
^ K s xl~ (шах 2 |
1/2 |
||
|
({AaAut)(*))*! 1 |
|||
|
|
|
' x~U а -- 1 |
|
где К — положительная константа. Следовательно, |
|
|||
Ит |
Я(и1(ХмЛо)1-и1(*) |
= {Aut) (ж). |
(3.6) |
|
siО |
Е [хДа| |
|
|
|
С другой стороны, в силу строго марковского свойства броуновско го движения
Л'1М**Дв)1 — Щ(х) = E[f(X(t, Xsha, 0sAaw))) — ЕI/ (X (l, х, w))J = |
|||||
= E\f(X(t + s До, x, w))] — E\f{X(t, x, IP))] = |
|||||
|
= я [ fЛ |
(Af) (Xu) **].= Я [J |
(Af) (Xu+<) daJ |
||
Поэтому |
|
|
*Лв |
"j |
|
|
|
|
|||
|
|
|
[ J |
I.Vlf V ,.,)* . I |
|
sl0 |
^ [*AcrJ |
_ Hm |
E lsAor] |
|
|
|
no |
|
|||
Непосредственно |
видно, что |
E |
[,?До] = |
,<>+ о (s), |
так как s — |
—Е (s/\a)^sP (а ^ |
s) = o(.s). Поэтому |
|
|
||
~nf\a*Л< |
1 |
|
Г 8 |
|
|
[I (Af)(XuH)du = Е |
\(Af)(Xu+i)du +o(s), |
||||
0
так как Af ограничено. Следовательно, можно заключить, что пре дел в (3.7) равен выражению
|
lira — |
b’ | j V / ) ( * U+ < ) ^ ] |
E[(Aj)(Xt)]. |
|
s| 0 S |
|
|
Этим |
завершается |
доказательство равенства (3.5). |
|
Из |
(3.4) и (3.5) |
следует, что |
|
|
|
t |
и (t, х) = |
/ (х) + |
j {Аи) (s, х) ds, |
|
|
о |
и поэтому |
|
|
|~(г, х) = |
Au(t, х), |
|
т. е. u(t, х) удовлетворяет |
уравнению теплопроводности (3.3)’. |
|
17 с. ватанабэ, II. Икэда |
|
|
258 ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ
Обратно, пусть*) v(t, ж )е С ''2([0, °°)X М) — ограниченное ре шение уравнения (3.3). В дальнейшем мы будем предполагать, что v(t, х) удовлетворяет следующему условию:
Игл Е [v(f — оп, X (о„, х, £/?)): a(l< t] = 0 |
(3.8) |
n t» |
|
для всякого < > 0 и х е М, где a„ = inf{<: Х(/, х, w ) s D n}, а А , — возрастающая последовательность относительно компактных откры
тых множеств в М таких, что U /)П= Л/.
71
Очевидпо, что условие (3.8) удовлетворяется для любого огра ниченного v, если, например, (X(t, х, w)) консервативно, т. е. Р{е[Х(% х, 1р)] = °°) = 1 Для всякого х^М . Последнее равенство справедливо, так как
|
|
|
|
|
е [X (•, х, ш)] = |
Июоц. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
n to o |
|
|
|
|
|
|
По формуле Ито для всякого t « > 0 и |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Е [v (t0 — t Д о,и A'(t А оп, х, w))|— v (<0, х) = |
|
|
|
|
|
|||||||||
= Е |
| |
{(Лv) (i0 — s, X (s, х, и;)) — |
|
(<0 — s, А (s, х, и;))} ds = 0. |
||||||||||
Устремив п t оо и учитывая |
(3.8), получаем |
|
|
|
|
|
||||||||
|
Е{\ (/о — t, X(t, х, |
w) ): е[А(*, х, |
щ)] > |
t) = |
v(U, |
х). |
||||||||
Полагая |
11 10 убеждаемся, |
что (в силу теоремы |
о |
мажорированной |
||||||||||
сходимости) |
левая сторона стремится к E[f(X(t0, х, |
w))] = u(t0, х). |
||||||||||||
Следовательно, v(t, |
х) |
должно совпадать с u(t, |
х). |
|
|
|
||||||||
Полученные результаты сформулируем в виде следующей тео |
||||||||||||||
ремы. |
|
|
3.1. |
Для |
|
|
определим u(t, х) |
равенством |
||||||
Т е о р е м а |
|
|
||||||||||||
(3.2) . Тогда |
u(t, |
д )е С “ (|0, °°)ХЛ/) |
и удовлетворяет |
уравнению |
||||||||||
теплопроводности |
(3.3). Обратно, если функция |
v(t, |
д ) е С ' ' 2([0, |
|||||||||||
оо)Х М)ограничена |
и |
удовлетворяет |
уравнению |
теплопроводности |
||||||||||
(3.3) и условию (3.8), |
то v(t, х) |
должно совпадать с u(t, |
х). |
|||||||||||
З а м е ч а н и е |
3.1. |
Вообще, |
ограниченное |
решение |
|
уравнения |
||||||||
(3.3) не |
единственно, |
и необходимы |
условия |
типа |
(3.8), |
чтобы га |
||||||||
рантировать единственность. Например, если Д/ = (0, оо) |
и оператор |
|||||||||||||
Ли = и"/2, |
т. е. Л0 = 0 и |
A t = dldx, то |
для |
/ е Е„(М) |
решениями |
|||||||||
*) С '2( [0, оо) X Щ — совокупность всех функций j(t, х) на [0, оо)у^М, непрерывно дифференцируемых по t н дважды непрерывно дифференцируе мых но х.
§ 3. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ |
259 |
уравнения теплопроводности являются как
|
|
г^(ехр(_!£^ ) ~ “ р |
|
|
||
|
О v |
|
|
|
|
|
так и |
|
|
|
|
|
|
л'2 |
х) = Iл |
' |
(ехр (” *Чг-) +схр (- Чг^))/<*>^ |
|
||
vt(f, аг) — решение, удовлетворяющее условию (3.8)’. |
оо, |
|||||
В обобщении (3.2) введем функцию с(х)<^ F(M) |
с нхр с (а:) < |
|||||
Тогда |
отображение |
|
*е.м |
|
||
|
|
|
||||
|
х *->- |
с (X (s, а:, а>)) dsj/jv (X (t,,xх, w)))j |
|
|||
принадлежит классу С” для любых f^F„(M) и |
Это условие |
|||||
всегда удовлетворяется, если c ^ F 0(M). |
|
|
|
|||
Т е о р е м а |
3.2. Функция u(t, х), определенная равенством |
|
||||
u(t, х) = Е |
|
с (X (.<?, х, »•)) (Ш / (X (г, аг, г/?)) |
/ e = F 0(Af), |
(3.9) |
||
является решением в С°°([0, °°)Х М ) |
уравнения |
теплопроводности |
||||
|
|
| |
(П «) = (Mv)(f, а:) + |
c(x)v(t, х), |
(3.10) |
|
|
|
] |
lim v (f, у) = / (г) |
|
||
|
|
|
|
|
||
IЦо,у—х
иограничена на [0, Г] Х М для каждого Т > 0.
Обратно, если v(i, a?)— решение в С‘>2([0, °°)Х М) уравнения (3.10) такое, что оно ограничено на [0, Г] X М для каждого Т > 0 и
П т /sj^exp |j c(X(s, х, H?))dsjv(f — о„, X (о„, х, w)): o„s^f j = 0, (3.11)
то v(t, х) совпадает с u(t, |
х), |
задаваемым равенством |
(3.9). |
||
Доказательство приводится |
так |
же, |
как и для |
теоремы 3.1. |
|
В этом случае формулу Ито применяем следующим образом: |
|||||
d [exp [ j с(X.)dsJ / (X,)J = |
exp jJ с(X.) rfsj |
(Aaf) (X,) duF(t) + |
|||
|
|
( t |
|
\ |
|
|
+ exp |
c(Xs)ds\(Af(X() + c{Xt)f(Xt))dt |
|||
17*
260 ГЛ. V. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ ПА МНОГООБРАЗИЯХ
с х р К c (X ,)d s | V ( t 0- t , Xt) = охр j f c(Xs)db] (Aav) |
X,)dwa(t)i + |
+ exp |J c(Xs)dsj [ — — (t0—t, X,) + (A\)(t0—t, X,) + c{Xt)v(t0—t, Xt)jdt.
§ 4. Невырожденные диффузии на многообразии и их горизонтальные лифты
Рассмотрим двумерное броуновскоее движение на плоскости и предположим, что траектория броуновской частицы вычерчена чер нилами. Мы катим сферу на плоскости без проскальзывания вдоль броуновской кривой. Получающаяся в результате такого перенесения траектория определяет случайную кривую па сфере, и в действитель ности она определяет броуновское движение на сфере*. Эта идея построения сферического броуновского движения была впервые предложена Бохпером. Такой метод может быть применен и в слу чае общего риманова многообразия. Воспользовавшись связпостью
всмысле Леви-Чивита, можно «покатить» многообразие вдоль глад кой кривой в евклидовом пространстве, и хотя броуновская кривая
вевклидовом пространстве не является гладкой, тем не менее сто хастическое исчисление позволяет нам «катить» многообразие вдоль такой кривой. Таким путем получается броуновское движение па римаповом многообразии. Обобщив связность Леви-Чивита до клас са аффинных связностей, можем получить более общие диффузии на многообразиях. В действительности таким образом получаются наиболее общие невырожденные диффузии. Ниже будет осуществ лена такая процедура посредством потока диффеоморфизмов на рас
слоении ортонормированных реперов над многообразием. Этот ме тод принадлежит Иильсу и Ельворту [51]*). Как мы увидим в следующем параграфе, метод Иильса и Ельворта тесно связан со стохастическим параллельным переносом, впервые введенным Ито [71].
Прежде чем перейти к детальному изложению, вспомпим вкрат це некоторые основные понятия из дифферепциалъной геометрии. Пусть М есть С°°-многообразие. Тензор типа (р, д) в точке х есть
элемент в тензорном произведении ТХ(М)’я\ где
Тх {M)vq = Тх (М) ® Тх (М) ® .. . 8)ТХ(М) 0
р
® т х(М)* ® Тх (М)* ® ■. ■® Тх(М)*
д
*) См. также их работы из списка литературы [511 и Малливэн [112].