216 |
1'Л. IV. СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ |
|
|||||
то Ж3 будет решением, |
соответствующим |
коэффициентам [о, |
ft, т, |
||||
р, 0 1 , где |
а = (ар~1 /Ус, |
b = c~lb + ad, |
т = |
т |
и |
? = |
|
Ясно, |
что orf (.г) =з 1, |
(х) == 0, к = |
2, 3, |
. |
. |
г, и Ъ'1(х) = 0. |
Сог |
ласно результату случая |
(1°) распределение решения Ж3 единствен |
||||||
ным образом определяется через распределение р, случайного век тора X (0). Так как
Ж3 ( с ) ж.
то распределение решения Ж единственным образом определяется через |х. Этим завершается доказательство единственности. Сущест вование решения также очевидно. Действительно, о существовании
решения Ж3, соответствующего коэффициентам [о, Ь, т, р, 0], мы знаем. Следовательно, требуемое решение Жполучается посредством
вышеприведенных преобразований. |
р] удовлетворяют услови |
(3°) Общий случай. Пусть [о, Ь, т, |
ям теоремы 7.2. Построил! решение Ж= '[Х(2), B(t), M{t), (p(0l lla
пространстве (Q, |
Р) |
с |
(5*“,), |
соответствующее коэффициентам |
||
[о, 6 , т, |
0]. Переходя, |
при необходимости, к расширению прост |
||||
ранства Q, можно предположить, что на Q существует /-мерное бро |
||||||
уновское |
движение |
В* = (В* (t)), |
которое, не зависит |
от Ж. Пусть |
||
|
t |
|
|
|
|
|
А (t) — t + \р (X (s)) d(f (х) |
|
и |
Л- 1 (I) — обратная |
функция к |
||
функции |
о |
Положим |
|
|
||
t^ A ( t ) . |
|
|
||||
|
X{t)= X(y\~l(t)), |
]\1 (I) = М (Л- 1 (1 )), |
|
|||
ф ( 0 = ф С-4 " 1 ( 0 ) |
11 |
^ i = |
&~а- чо V ^ { д * ( я); |
« < * } • |
||
Положим также
t
В (t) = в (Л-’ (*)) + j h o (X (*)) dB* (в).
6
Тогда Ж= {Х(/!), B(t), M(t), ф(0] — решение, соответствующее ко эффициентам [о, ft, т, ,3, р]. Это легко можно доказать, если заме тим справедливость следующих соотношений:
I |
t |
t |
A~'(t)= \l*n (X(s))ds |
и J Ion (X )v.( |
Л?= jо {X (s)) d7p (s). |
0 |
0 |
I) |
Они являются следствиями соотношений
Л
о
|
|
|
§ 7. УРАВНЕНИЯ С ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ |
|
|
217 |
|||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\IQL>(X (*)) dA,= f i > |
( X |
( s ) ) d < |
p s . |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Покажем единственность решения. Пусть £ = [Х(£), B(l), M(t), |
||||||||||||||||||
(|.(Z)I— любое |
решение, |
соотнетстнующее |
коэффициентам [о, |
|
т» |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
' I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р, |
рJ. Положим |
Л (t) = [/с (X (s)) ds. |
Тогда t |
A(t) |
валяется п. н. |
||||||||||||||
строго возрастающей |
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
если |
бы ото |
было |
||||||
функцией. Действительно, |
|||||||||||||||||||
не так, то нашлись бы 0 |
< |
л < г2 такие, |
что, |
положив |
= |
{со; |
|||||||||||||
А (гг) = |
А (л,)}, |
имели |
бы |
Р |
|
,) X ) . По |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
r'i |
|
I IoD(X{s))ds |
г$ |
|
|
f () |
|
] Г? |
|
|
||||
Hr.,г, с : \r., — r1— |
|
= |
|
(X(s))dip(s)| d M c?<р (я )> 0 |
|||||||||||||||
|
п.н. | |
|
r, |
|
|
|
|
|
^ |
|
|
|
|
J п.н. ^ |
|
|
|||
Qr |
rod |
1.1 о (X (s)) = |
0 |
для |
всех s <= [/-j, r2]} d |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
’ I I . II. |
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> II.H . |
|
|
|
|
||
С |
Ш |
<y'l(X (S)) I с (X (*)) dB>‘ (s) = |
о |
и |
|
1ba(X (*)) / . (X (*)) * |
= |
0 . |
|||||||||||
rui. \ |
h |
= |
i |
I( |
|
|
|
|
|
|
|
ы |
|
D |
|
J |
|||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Hrvr2( |
d |
[X(l(r2 |
= |
X,l(r1 |
+ |
ф(г2)— |
(r 1) |
> x |
, , ( r 1)l d |
[ Х ( г г) е О |
| . |
||||||||
Но это, очевидно, является противоречием. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Таким |
образом, |
функция |
/T- 1 (f), |
обратная |
к |
t >-*■A(t), |
явля |
|||||||||||
ется |
непрерывной. |
|
J (оложим |
£ = |
|
X (0 = |
X (Л-1 (0). Л (0 = |
||||||||||||
|
Л-1 (0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
i |
I o{X($))dB(s). |
|
М (t)=Jl (Л- 1 |
(t)), |
ц>(t) = q (7Г* (t)) . |
|||||||||||||
о1)
'I oi-да нетрудно видеть, что £ — решение, соответствующее коэф фициентам [о, Ь. т, р, 0]. К тому же
I |
t |
|
t = \ I ^ { Х(,s)) d s + |
j I o i ) ( X («)) d s |
A(t) + J p (Х(я))«йр(в) |
о |
о |
(> |
218 |
ГЛ. IV. СТОХАСТИЧЕСКИ!'’ УРАВННПИЯ |
|
и, следовательно,
1
Л-1 (t) = t + j р (X (*)) dtp(.s).
О
Отсюда следует, что £ получается из £, как и выше. Так как рас
пределение £ единственно, то отсюда следует, что распределение £ также единственно.
Таким образом, мы построили общин класс (Л, /^-диффузион ных процессов посредством стохастических дифференциальных уравнении. Мы предполагали, что р.(сг)>0 всюду на 91), и норма лизовали (нормировали) ату функцию, чтобы иметь р(а:)= 1 . С ве роятностной точки зрения зто предположение, однако, очень огра ничительно, и следовало бы ослабить его, заменив условием ц(л:)+р(д:)> 0 всюду па 9.D. Грубо говори, р,(а:)>0 означает, что
в точке х происходит отражение, а р(д:) > |
0 означает, что в х |
про |
исходит поглощение. Ноатому интуитивно |
ясно, что случай р(д:) = |
|
= р(ж)= 0 является невозможным, по допустимо выполнение |
усло |
|
вий р (.г)= 0 и р(сг)>0. Можно привести другой метод конструиро вания (А, /Д-диффузиоиных процессов, который охватывает общий случай с р,(ж) + р (я) > 0. Этот метод, который подобен методу, при веденному в главе III, н. 4.3, состоит в склеивании друг с другом экскурсий от границы до границы. Как мы увидим, вероятностная структура диффузии хорошо проясняется при атом способе построе ния решения ([14] и [18]).
Для простоты рассмотрим случай с А = А/2, отсылая за общим
случаем к [18)'. Итак, положим 1) = |
R+, А = |
А/2 |
(т. |
о. а‘}(х)=8ц, |
||||||||||
Ь'(х) = |
0), |
и пусть L определяется |
равенством |
(7.2). |
Мы |
предпо |
||||||||
лагаем, что |
|
|
inf |
|р (.г) + |
и (.г)) > |
0. |
|
|
|
|
|
(7.13) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x~dD |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Предположим, кроме того, что существует функция т(т) = |
(т[(ж)): |
|||||||||||||
9D ->■ |
|
® R" |
такая, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ос б (х) = |
S |
|
|
|
i,j = 1,2, |
. .. , |
d — 1, |
|
(7.14) |
|||||
2] т/ (Z) TI(X), x^dD, |
|
|||||||||||||
|
|
/--i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и предположим, |
что |
все |
функции т](х) $‘(х), |
р(.г) |
линшице- |
|||||||||
вы на 91). |
Ж0(1)) — совокупность |
|
всех |
непрерывных |
функций |
|||||||||
Пусть |
|
|||||||||||||
w : [0, оо)-*-/) с |
w(0 )= |
0 таких, что |
существует |
а (ге)> 0 |
со |
свойст |
||||||||
вом: если 0 < t < o ( w ) , |
то |
w(t)el), |
и |
если |
l ^ a (w ), |
то |
w(l) = |
|||||||
= ш(о( ш))е 91). Пусть 1$(Жо(1)))— о-ноле, |
порожденное |
борелев- |
||||||||||||
скими цилиндрическими множествами, и пусть |
п — о конечная ме |
|||||||||||||
ра на |
(Ж0(1)), |
ИВ(Жо(1)))), определенная |
следующим |
образом. |
||||||||||
В н. 4.3 главы |
III мы |
определили |
нрострапство |
траекторий Ж+ и |
||||||||||
§ 7. УРАВНЕНИИ С ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ |
219 |
вжоисчную мору п+ па ( Ж +, $ ( Ж +)). Пусть Р0— винеровская ме ри па Wo-1, соответствующая начальному распределению, сосредо
точенному в точке 0, и определим п как |
меру-образ меры Р # Х » + |
|
При отображении |
|
|
|
W J-' х З Г ' э (ш, w) ~ |
U-) €= Ж 0(О), |
где |
определяется равенством wn ( „ ) ( 0 |
= м(/ Д сг(го)). |
|
Если положим |
|
V ^ 1 "М|,(-тг) для *>0’
.г = (ж1, х2, . . . , д:1') <= D,
и
'■ |
' /^ |
\ |
ТТ |
|
1 |
Ц |
/ |
(жг—У1)4\ |
1 |
/ |
|
( |
(zrf— /)-\ |
) - |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
S1 |
3T |
ехр- J |
Гу |
я -1 |
|
- - -Р-в1- — |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ехр ( — k |
'2 |
/ |
^ )) |
для * > ° » |
|
|
|
||||||
то тогда |
п — единственная мера |
на |
(Ж„(0), |
&(Ж„(/?))) |
такая, |
|
|||||||||||||||||
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
н {ir; w (fi) е |
Л,. ir ( fa) |
|
|
|
• • •, «’ (О |
е |
Л,,}) = |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
= |
|
| |
К (tj , |
д.’] ) |
1 |
\ р [Iо |
£ I ) л?1< ^ 2 ) |
Л г 2 • |
• • |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
Ai |
|
|
|
|
|
л 2 |
|
|
|
j Р |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* . . |
(^ 7 1 |
^77— 1 7 ^77 — 17 |
|
|
||||||
для 0 < |
U < |
£ 2 |
< |
.. . < |
tu и Л,- е |
<М(0). Пусть Ж (D) — совокупность |
|||||||||||||||||
непрерывных |
траекторий |
w : [0, |
«>)->-П |
таких, |
что |
w(0)<=dD |
и |
||||||||||||||||
и-(t) = |
ir ( t /\ a(ir)), |
где |
o(ir) = |
inf U > |
0: |
w(t)^dD). |
Пусть |
О |
|||||||||||||||
обозначает постоянную траекторию 0(() = 0 s D , |
Определим отобра |
||||||||||||||||||||||
жение |
Тс : Ж0(и)-* 7P0(D)U {Q} |
для |
всякого |
с 3* 0 равенством |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
( 7 » ( 0 |
av{t!:c2). |
с > |
0 |
, |
|
|
|
(7.15) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
[0 , |
|
|
|
с = |
0 |
, |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗГ(О) |
|
|
|
||||||
и определим также отображение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
Ф: 3D X |
Ж0(О) =э (х, гг) - |
(I) (.г, гг) е |
|
|
|
||||||||||||||
р н в е н с т в о м |
|
|
|
w)(t) = д + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
Ф ( д , |
( 7 V w rr)(J), |
£ > 0 . |
|
|
( 7 Л 6 ) |
||||||||||||
Очевидно, что Ф ( .г , |
г г ) ( 0 ) = . г |
и |
а [ Ф ( ;г . |
гг) |
| = |
р ( д :) 2а ( г г ) . |
О п р е д е |
||||||||||||||||
лим <р: dD X Ж\ (D) э |
|
(.г, |
и?) |
|
ф (.г, гг) s |
dD |
|
р а в е н с т в о м |
|
|
|
||||||||||||
|
|
ф (.г, |
и>)— Ф(х, |
|
щ ) ( о [ Ф ( д :, г г ) ] ) — |
д: = |
|
р ( . г ) г г ( а ( г г ) ) . |
( 7 Л 7 ) |
||||||||||||||
2 2 0 |
ГЛ. IV. СТОХЛСТПЧКПЫШ Vl’ AHIIKIIJUI |
|
Нетрудно видеть, что для всяких*) |
х, у <= дГ) |
||
f |
I ф (-г. «’) — Ф (.У, "') I2 я (dw) = |
||
ЖУ»)П<0(»’)<!> |
|
|
|
= |
Iр (х) — и (у) I2 |
j |
I W(ст (ю)) |2 п (dw) = |
|
|
>5Р0(Г>)Г.(а(н;)<1} |
|
= (d - 1) V |
i i-11и ~ .u (у) i* < K i * - |
уi2• |
(7-18) |
На подходящем вероятностном пространстве! (Q, |
P) |
с пото |
|
ком (£?",) построим следующие объекты: |
|
|
|
(I) &t cr ^"0 — возрастающее |
семейство под-о-нолеи ^~0 и d-мер |
||
ное (,?,)~броуиовское движение Ji(l) = (B‘(t)) c # ( 0 ) = 0 ;
(П)s-мерное (@~t) -броуновское движение B*(t) = (Bl(t)*);
(III)(@~t) -стационарный пуассоновские точечный процесс р па (7fn(D), $(Жа(0))) с характеристическое мерой п.
Теперь построим траектории (Л, /.)-диффузионного процесса.
Пусть i s / ) задана в качестве начальной точки. Во-первых по ложим
Xx( t ) = x + B(t) для t < a 0, |
(7.19) |
где а0 = inf {t > 0; х + B(l) е ОТ)}. Пусть |0 = Х*(о„). Тогда |0 — (@~«)-измеримы!! д/Узначпыи случайный злемент. Во-вторых, ре шим следующее стохастическое дифференциальное уравнение скач
кообразного тина относительно процесса Z.(t) = (|l(i))-L1 на 0D:
%d( t ) ^ О,
|
|
|
|
t |
|
|
|
«)* + |
I' P'(s(*))rf« + |
|
'■ |
1 о |
|
О |
|
f-1- |
|
|
|
+ |
\ |
( |
Ф* (I (S—), ir) |
+ (7.20) |
|
о |
ЗГ0(П) |
|
|
|
t- |
|
|
|
+ |
i |
( |
Ф* (б (.•?-), w) /(„(*)>,).Vf,(dsdia), |
|
о7/yO)
i = 1, 2, . .. , d — 1.
Уравнение (7.20)— стохастическое дифференциальное уравнение скачкообразного тина, которое будет обсуждаться и § Я. Учитывая
|
|
|
оо |
липшицевость |
т и [3, (7.18) и то, что п ({ю : гт(/е;> I}) = [(2лt*)~l,2dt <С |
||
________________ |
|
1 |
|
*) Заметим, |
что |
п ({ш\ a {w) е |
ill, >г (я (w)) е dx)) — (2я /3) -1,2 X |
X |
ехр ^ |
rte, О 0, .т е |
д!). |