Материал: Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

§ 7. ТЕОРЕМА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

93

вде

1 ,

если |( 'F

(s, co)|<7V для всех

i, к,

/ JV (s, (О)

= О

в противном случае,

то, полагая N

получаем

d г

2

\Wih(s)dBh(s).

Й= 1

о

Т е о р е м а

7.2. ПустьМ

2,loc u lim <A/> (f) = оо п. н. Тогда,

если

Цоо

T( = inf{u; <My(u)>t)

(7.8)

M(t) = B(<M>(l)).

(7.9)

Д о к а з а т е л ь с т в о . Сначала заметим,

что

отображение

t^-+ В (t) =* М (т() непрерывно с вероятностью

единица. Для этого

достаточно покивать, что для любых фиксированных

г < г '

справед­

ливо включение

{<Л/> (/■') = <Л/> (г)} с {M(u)=M(r), V u e [г,г']},

(7.10)

дующее: для любых г < г ' из

<М>(г')=<М>{г)

следует, что М(и) =

•=М(г)

на интервале [г,

г']. Отсюда,

очевидно,

следует, что

отобра­

жение 1<-*■М (т() непрерывно с вероятностью единица.

Чтобы доказать (7.10), положим o =

i nf{s>r: <A/>(s)XM>(r)).

Тогда

о —

|)-момент

остановки

и,

следовательно,

N (s) =

■*Л/(оД(г | s)) — М (г)

является локальным мартингалом относи­

тельно

потока

(P~t),

где

^", = ЗГа^ г+ау

Так как

<7V) («) =

“ <Л/> (оД(г

f

s)) — <Л/> (г) =

0, то

N = 0.

Отсюда следует,

что

А/ (оД(г 4- 41)) =

Л/ (г)

для всех

s S* On. и. и,

следовательно,

выпол­

няется

(7.10).

Согласно

теореме

Дуба

о

преобразовании

свободного

выбора

Е [А/ (т(Д п)а] =

£[<А/> (т; Д n)] ^ Е [<Af> (т<)] =

f . Устремив п к бес­

конечности, получаем 2J[iW(Tf)2] = t. Далее, согласно той

же теоре­

ме, мы можем заключить, что

B(t) = М(т,)

принадлежит

Л\

от-

*) Заметим, что <Л/>(г) — (#"()-ш)мепт

остановки для каждого t Зг 0. Дей­

ствительно, {<Му (г) ^ и} =

{ти >

г) <= Т х^ - 2т _.

Эта теорема была обобщена Кнайтом [87] (см. также [123])

сле­

дующим образом.

Т е о р е м а

7.3. Пусть

i =

1, 2,

..., d, таковы, что

<М‘, М’У= 0, если i¥=j и Нгп <М‘> (t) =

оо

п. н. Положим

t Т ЭО

х\ =

ini (и; <ЛГ> (и) > t],

i =

l , 2 , . . . , d .

(7.11)

Тогда,

если

В1(t) = М г(т]), г — 1, 2,

... ,d,

то

B(t) = (В* (£),

B2(t),

...,

B ‘(t))

— d-мерное броуновское движение.

В*(1) — од­

Д о к а з а т е л ь с т в о . Согласно предыдущей

теореме

номерное

броуновское движение для каждого i =

1, 2, . .

d. Следо­

вательно,

остается только показать,

что процессы

B‘ (f),

B2(t), ....

..., Bd(t)

независимы в совокупности.

индукции.

Предположим,

что

Будем

вести

доказательство но

Bl(t), B2(t), ...,

B‘(t)

и B‘+l(t)

независимы в совокупности. Пусть

% = a[Bl(t), B2(t),

...,

В*(1), f e

(0,

оо)]

и

$ t =

П

o [ B 1(s), В2(я),..

. . . ,

Bl {s):

+

е].

Пусть Ж =

е>о

Жх=

a[Bi+l{t), t ^[0, °°)] и

=

П

о [fii+ 1 (я):

+

е].

Без ограничения общности мы можем

В>0

что

рассматриваемое

вероятностное

пространство

предположить,

(Q,

Р) таково, что

(Q, &~)— стандартное измеримое пространст­

во

(см. главу I,

§ 3). Пусть Р(*\&)— регулярная условная вероят­

ность относительно о-поля

Ясно,

что

(Bl(t), B2(t),

...,

B‘ {t)) и

Bi+l(t)

независимы

в совокупности

в том

и тольков том

случае,

когда

Bi+l (t)— одномерное

броуновское

движение

относительно

Р(А&)

п. н. Следовательно,

учитывая теорему 6.1, достаточно дока­

зать,

что для

каждых

t > s и ^-измеримой

ограниченной функ­

ции

Fi (со)

E[(Bi+i{ t ) - B i+l(s))Fl( a ) \Щ =

0 п. н.

(7.12)

£ {[(/?'+1 ( 0

- 5

!+1 (.9))2 - ( « - . 9 ) ] ^ ( с о ) ! ^ }

= 0 п.н.

(7.13)

Таким

образом,

достаточно

доказать следующее:

для каждых t> s ,

каждой ограниченной «^„-измеримой функции / ’i(co)

п каждой огра­

ниченной ^-измеримой функции /г2 (со)

£ [(Я '+1(0 — £ i+1 (s))Fi(co)F2 (co)]==0

(7.14)

Е{[(В>+1{ 1 ) - B!+l(s))2- ( t -

= 0.

(7.15)

§ 7. ТЕОРЕМА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

95

i

функций вида

Ц

Gh(со),

где функция Gft(cв) измерима относитель-

h=l

начала можем

предположить,

что

F2 (co) =

но 3?w, то мы с

самого

г

~ IX (?й(со).

Согласно

следствию 2 теоремы 6 .6 функции

Fi (со) и

й = 1

. i,

молено представить

следующим

образом:

Gjs(co), & = 1 , 2 , .

Fx(и) =

с +

j Ф (и) dBi+1 (и),

О

Gh(со) =

сй + J Уй(и)

(u),

О

где с и с* — константы, Ф — {Ж,)-предсказуемый процесс,

а х¥к—

(2rtft)) - предсказуемый

процесс. Здесь

}к

=

П о [7?<ft> (s): s^£ + с],

к =

1 , 2 ,

i. Полагая rs = тГ*\ можем

E>0

написать, что

TS

Fi (и) = с +

{ ф ^ с Ш

^

1

(и)

Д

О

оо

(со) =

Сь +

j TV (н)

(и),

О

где

Ф(м)= Ф(<Д/‘+1> (и))

и гК*(и) =

(п)) — (^',)-предска-

ауемые

процессы. Так

как

<Mi, M i>(t)= 0

для i¥=j,

то

согласно

формуле

Ито

F 2(со) =

А

. с|+

{u.)dM'(u) yYh(t)dMh{t):

~ IIGh(со) — е,са

i

- с ' + 2

I

Qk(t)dMh(t).

h^l

о