Материал: Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

76

ГЛ. II. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ФОРМУЛА НТО

при IАI -► 0. Следовательпо,

t

t

/ 1 =

J Фл (s, со) dM (s) -> j V (X (s)) dM (s)

0

0

в Й^ДЙ) при I Al

0.

Далее,

~

2

F " Ы

ix (**) -

*

(* * - 1 )} • =

T

2

F " (U) {A (h) -

A « * - ! ) } •

+

^

ft=l

A=1

+

2

P" Ы {M (tk -

M («*_,)} {Л (*0 -

A (*»_,)} +

h—1

+

Y

2

&

) Д О (**)

-

Л / ( ^ - i ) } 2 =

( /зЛ +

/4 +

/ 5).

^

fc=l

Нетрудно убедиться, что / 3

и 7^

стремятся

к

0 и. н. при IАI -*■().

Например,

| / i l < s u p ( F " ( z ) l

max |M ( f fc) -

М (**_,) lM | (f) - > 0

п. н.

x =

R

1

при

] А1— 0.

Покажем,

что

/ 5

J

(X (s)) d <М> (s)

в ■З’ДЙ).

Для этого понадобится следующая

о

константа,

что ! M ( s )! < C ,

Л е м м а

5.1. Пусть

С > 0 — такая

s s [ 0 ,

f],

Положим Уi = 2 {М {th

— M (th-i)}2,

l =

1,

2, ..., и,

Тогда

ft=i

Я [ ( ^ ) 2] <

1 2 С4.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Легко видеть, что

W

=

2

ДО (*,,.) - M ( t k^)Y +

2

2

(v* -

v£) (M{h) -

Й=1

k = l

£ l (V n - V n ) \ ^ tk] - E

2

i=u+ 1

^

E [ ( M { t ) - M ( t h Y\^-tk]^(2C Y

Следовательпо,

2

\(Уп — Vh)(M(tk) — M

}

.k—l

<

(20 * E ( F £) -

(2C)a E {M (t)«) <

4CS

g 5. ФОРМУЛА НТО

77

откуда

{M {th - М (fh- i ) } 4 Jj<(2 C f Е (F£) <

Е [ Д

4С\

Теперь, возвращаясь к доказательству, положим

П

7 « = 4 - 2

г (х и * -!» д о (м -

м (fA-i)}2.

й = 1

Тогда

^4l75 -/e | ) < Y ( ^ { m a x jF ^ ;0-^"(X(^-0)|2})1/2(^l(^»)2Ol/2<

<

( V n fr / i) {Е | max |F" (gft) -

F" (X (tft_ x)) |2} ) 1/2 0

(5.5)

при IAI

0 по

теореме о мажорируемой

сходимости. Если

поло­

жить

П

*7 =

4* 2

F" {X ( h -г)) {<М> (th) -

<М>

;i = i

то по теореме о мажорируемой сходимости

г

■О при

|Д|-»-0.

(5.6)

£

т !

F” (X(s))d<M> (S)

Наконец,

1 Е>

2 7,"(A'(f/i- I)){(M(ift) - M (fft- 1))^ -« M > (Q -< M > (ift-i))}l L

Т Ь \

>i*»i

J )

Вамотин, что

К ||(Л/ (*„) -

м (t„. ,))• - «Л/> (/,,) -

<М> (**_!))]

=

О

< 4 max I Г ( I ) I2 Е

2 ДО (М -

М (^-х))4! +

*SRI

U=i

J

§ 5. ФОРМУЛА ИТО

79

#>»(*)*"l'(s)

Для s e D w

дискретен

в

том

смысле, что

s ^ t ,

*в«1),,п]

конечно

и. и. для

всякого

t > 0.

Если

упорядочить

мно­

жество DP„ по возрастанию, скажем,

0 < о4 < о2 < ... <

ат< ..., то

легко

видеть, что

от —

) -момент

остановки. Тогда

Xn{t)

выра­

жается в виде

Х„ (1) = Х(0) + M(t) + A(t) +

t

+

2

f(Om,P(<Jm , •) +

2

g{Om,P{Om),

•)“

J J g{n){s,X, •)N p(dsdx).

o m < t

o m < t

0 x

Далее, полагая cc = 0, находим, что *)

F {Xn (t)) ~ F ( X (0)) -

2

{F (X„ (omA t ) ) - F

(Xn (amД t - ) ) } +

m

+

^,{F (X n{amA t —) ) - F ( X n(pmlAt))}

(= A (*) +

/«(*))•

m

Применив

(5.4), получим

F (Xn (amA t - ) ) -

F (Xn (am~i Д 0) =

a mA<

®mAt

=

J F'{Xn(s))dM{s)+

j

F'(X„(*))<M (s) +

am_xAf

am-iA*

+ 1-

o mA*

am Af

J

F''(Xn(s))d {M }(s)~ j

F' (Xn( s ) ) ^ ( s ) }

am—

t

ASn(0 = 1

f £(n) (s’ ^

•) Np (dsdy).

о x

Следовательно,

I2

(t) = t J F' (Xn (s)) dM (s) + ^J F' (Xn (*)) dA (s) +

0

t

0

t

+ i - j V

(X„ (s)) d <M> (s) — J F ' (X„ (S)) dAg* (s).

(5.9)

0

о

*)

Здесь

e » < (.

F (X„(aniA f -

ССЛП

если

80

ГЛ. II. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ФОРМУЛА ИТО

В силу предположения f(s, х, (o)g(s, х,

ю) = 0 найдем, что

(t) =

т

(Х„ (om))

F (Хп(от

))} I (om<t,f(om,p(om,-)^0} +

+

т

( ° т ) )

F ( Х п (а т

))} ^ {am-eug[am,p(am),- )^ 0} =

f+

J \F(Хп(s ]-) +

=

J

/(n) (s, x , . ) ) - F

(Xn (s - ) ) ) Np (dsdx) +

0

X

+

f

J {F (Xn (s - )

+

g<’*>(s, X , . ) ) - F

(Xn (s - ) ) } Np (dsdx) =

o

X

=

f

\ [F (Xn (s - )

+

f n (s, X , . ) ) - F

(Xn (s - ) ) } Np (dsdx) +

о X

(+

+

j

J

( X n (s —) +

g(,l) (s, X,

- )) — F ( X n (s —))} Np (dsdx) +

0

X

t

(5.10)

+ J* {F (Xn (s) + gW (s, x , . ) ) - F (Xn (s))}Np (dsdx).

0 X

Согласно

(5.9)

и (5.10)

заключаем, что (5.2) выполняется для

процесса Xn(t).

Формула

(5.2)

для процесса X(t) получается, если

устремить

п к

°°. В

самом деле,

|

j £ (n)(s>£> •)Np(dsdx)

схо-

t +

J" g(s,x, •

о

х

дится к j

N p (dsdx)

в Ж г при п-+ °°, и, следовательно,

положить, что эта сходимость равномерна на каждом конечном ин-

i-\-

J /(п) («, х , •) Np (dsdx)

тервале

п. н. Аналогично, J

сходится к

<+

о

х

j"

j' f (s, х, •) Np (dsdx) при n -* °° равномерно no t на каждом ко-

0

X

интервале п. н. Следовательно, Xn(t) сходится

к X(t) при

нечном

t

t

j F'(Xn(s))dM(s)-+\ F’ (X(s))dM(s) в JT2,

0

0

t

t