Материал: Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

66 (III)

ГЛ. II. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ФОРМУЛА ИТО

Пусть

М <=Л 10с и Ф е=& Т (М ).

Положим У = / М(Ф),

и пусть

? e ^

0C(JV). Тогда Ф

, ? е S ’J00 (М)

и

I

t

J (ФУ) (u) dM (и) - J ¥ (и) dN {и).

(IV)

О

О

Пусть М е Ж2 °с и Ф s

<?.2 °С(Л/) — случайная ступенчатая

Ф(«, ®) = 2 /п И I(cH,c„+l](t),

где /„

- измерима. Тогда

Iм (Ф) (t) = 2п /» И (M,A0„.tl - М,лоп).

Пусть (Q, ST, Р)

и { T t) w заданы так же, как и выше. Точечный

процесс р = р(1)

па X, определенный па Q, называется

согла­

сованным,, если для всяких t> 0 , U e J ( X ) Np (t, U) = 2

Tu(p(s)

seDp,s<a

найдутся такие U„ <= <%(Х), п =

1, 2, ...,

что Uпt X ^т.

е.

(J Uп=

и

E[Np(t, П„)]<оо для всех

t > 0

и

га=1, 2,

...

Пусть Гр =

=

П 7 е ^ (Х ): E[Np(t, С /)]< °°

для

всех f > 0 } .

Если

С /е Г р, то

щий процесс

Np(t, U), для которого N,,:

t —■Np(t, U) — N,, (t,

U) — Np(t,U) является мартингалом. Вообще

говоря,

i1-*- Np(£, U)

не непрерывно,

по кажется разумным предположить

(во всяком

68

ГЛ. II. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ФОРМУЛА НТО

Поэтому

достаточно

доказать требуемый

результат для /„(«). Но

с

00

и) - JVp (£-Л », о)],

j и (*)dNp(», U) -

2 / ( £ ) [»р

очевидно, является (^~<)-мартингалом.

что

найдется такая по­

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы . Ясно,

следовательность ($Ft) -моментов остановки с„,

что an t 00 п. п. и

(t, Uy) = Np(t/\оп, Uy), Np^ (t, U2) = Np(t/\оп, U2) ограничены

по t. Следовательно, достаточно показать, что для каждого п

N(p] (t,

Uу)

(t, U2) = мартингал + ftp (t До„, Uy П U2).

Интегрированием но частям получаем

N(pn) (t, Uу) N™ (t, U%) =

t

1

=

j Щ;1) (S - ,

иу) Np (ds, ил) +

f 5v<,n) («. и2) я у

(ds, иу) =

о

о

t

t

=

J N(pn)(s - ,

С7Д A™ (ds, t/2) +

J Щп)(s - , t/2) iV(pn) (ds, Uy) +

0

0

t

+

j

(s,

U2) -

A<,n) (s - , 17.)] N™ (ds, Uy).

о

Первые два члена являются мартингалами согласно

лемме 3.1,

а

последний

член

равняется

2

(Р («)) =

Лгр (t f\on, Uy f|

««Ло„

iSVp

n U2) = Яр (t Ao,„ Uy n u2) + N (t До„, Uy n u2). Тем

самым теорема

доказана.

теперь

рассмотреть

стохастические

интегралы

по

Мы собираемся

точечным

процессам класса (QL). С

этой целью

удобно

обоб­

щить данное выше понятие предсказуемого процесса.

х, о ),

опре­

О п р е д е л е н и е

3.3. Действительная функция f(t,

деленная на

[О, ® ) Х Х Х Й ,

называется

({Ft)-предсказуемой,

если

отображение

(t, х, и)

/ (f, х, м)

(НД-измеримо,

где

91— наи­

меньшее а-полс на [0, ю ) Х Х Х Й ,

относительно которого измеримы

все функции g со следующими свойствами:

(I)

для всякого £ > 0

(X, 01) >-*g(t, х, со)^(Х)х^"<-измеримо;

(II)

для

всяких

(х,

со)

t >-*■g (t, х, со)

непрерывно

слева.

Введем следующие классы:

Fp = {}(t, х, со): /

(STt) -предсказуема

<+

и для всякого t > О

j

f |/(s, X, a)\Np(dsdx)< oo и. н.};

(3.2)

о

х

§ з. ИНТЕГРАЛЫ ПО ТОЧЕЧНЫМ ПРОЦЕССАМ

69

К

-

{l(t, х, со): / (&~() -предсказуема

и для каждого L> О

Е

f f \f(s,x, .)|JVp (d'?cfo;)l<oo};

(3.3)

-OX

J

■“

{/ (^ x, со): / (ST() -предсказуема

-)\2 Np (ds <ir)l< o}; (3.4)

и для каждого t >

О

Е

|\\f(s,x,

.о x

J

?2,l0C

={f{t, x, COy.fi&'t) -предсказуема и

найдется

такая последовательность

(& ~ t) -моментов остановки о„,

что а„ t оо н. н. и

/ [0,ап] (t)/ (t, х, со) е Fp,

и =

1, 2, .. .)•

(3.5)

Для функций

/ е F,

п. н. определен

интеграл

(в смысле Лебе­

га — Стилтьеса)

j

\ f(s,x, -)Np(dsdx),

(3.6)

о

х

равный абсолютно сходящейся сумме

2

/(*>Р(*)» •).

(3.7)

s-<t

s= D.,

Далее, пусть

/ е

Fp.

Теми

же

рассуждениями, что и в доказа­

тельстве леммы 3.1, легко получается, что

Е [j J ' 1 {S'

!‘V"

=Е [.f.f 1/

х’ *) I

Отсюда, и частности, следует, что

I’], с : F,,. Положим

(

(/ (*, *, •) Я *(</««/■')-

«

X

1 1

t

— J

J / («, х, •) Np (ds dx) —j

| / (s, x,

•) JVp(ds dx).

(3.8)

i+

о

x

Тогда t -+ J

| / (s, x, •) Np(dsdx)

является (#"«)-мартингалом,

что

о

х

доказывается подобно лемме 3.1.

Если предположим, что / е

FpГ) Fp, то

1+

/f(s, X,

•) ftp (ds cfc)e

J[a

\

о

x