Материал: Применение вейвлет-преобразований

,

и соответствующая фаза, снова игнорируя линейный вклад:

.

Отклонение фазы  от линейной фазы определяется суммой разовых фазовых отклонений.

Для нахождения наименее ассиметричного фильтра необходимо найти все корни. Выбирая пары корней внутри единичного круга, либо вне круга, строим  с минимальной фазой. Корни, лежащие на единичном круге, имеют линейную фазу. Замечание 5. Для вейвлета Добеши малого порядка недостаточно свободы для различных вариантов выбора корней, тогда симлеты совпадают с вейвлетами Добеши. Различия наблюдаются с порядка . Это показано на рисунке 1.5.

Вейвлет Добеши 4-ого порядка(db4)

Cимлет 4-ого порядка (sym4) Рис. 1.5

.5 Непрерывное вейвлет-преобразование

.5.1 Непрерывное вейвлет-преобразование в одномерном случае

Непрерывное вейвлет-преобразование можно получить, если в выражении вейвлета  разрешить числам  и  принимать непрерывные значения, а суммы заменить на интегралы. Тогда мы получаем семейство функций , зависящее от двух непрерывных параметров  и . Далее используется следующее двухпараметрическое семейство функций:

, ,, .                                                        (1.39)

Параметр  определяет сдвиг по оси , параметр  - это масштабный коэффициент. Непрерывное (интегральное) вейвлет-преобразование функции  из  определяется формулой

.                                       (1.40)

Вейвлет коэффициенты дискретного разложения функции  в ряд по вейвлетам  можно определить через интегральное вейвлет-преобразование:

.

При использовании вейвлетов для анализа сигналов непрерывное вейвлет-преобразование иногда удобнее за счет избыточности, связанной с непрерывным изменением масштабного коэффициента  и параметра сдвига .

Семейство функций (1.39) и преобразование (1.40) можно определить для любой функции . Однако для того, чтобы из функций  двух переменных  и можно было восстановить функцию , необходимо сделать некоторые предположения относительно . Во-первых, удобно считать функцию  нормированной:

,                                                                                   (1.41)

а во-вторых, для обращения вейвлет-преобразования (1.40) необходима конечность следующего интеграла:

.                                                                         (1.42)

Функцию , удовлетворяющую условиям (1.41) и (1.42), будем называть вейвлет-функцией для непрерывного вейвлет-преобразования.

Отметим, что здесь нет речи о масштабирующих функциях и сами их условия (1.41) и (1.42) достаточно слабые. Из (1.42) следует, что если , то

.                                                                                     (1.43)

В противном случае интеграл (1.42) является расходящимся. Таким образом, условие (1.43) является необходимым. При дополнительном условии  оно является и достаточным. Действительно, если , то преобразование Фурье  является непрерывно дифференцируемой функцией. Тогда, учитывая (1.43), получаем в окрестности нуля . Поэтому особенность в интеграле (1.42) исчезает, и интеграл будет сходящимся.

Пусть - некоторый вейвлет для непрерывного вейвлет-преобразования.

Теорема 1. (Формула обращения): Если , то

.                         (1.44)

Для обратимости вейвлет-преобразования необходимо, чтобы , если . Их формулы (1.40) следует, что это возможно только в том случае, когда система  является полной (не существует элемента , ортогонального всем ). Это свойство системы  обеспечиваются одним интегральным условием (1.42).

Следствие. Имеет место следующая формула Планшереля:

.                                    (1.45)

Два свойства непрерывного вейвлет-преобразования.

Сдвиг. .

Растяжение. .

.5.2. Мгновенные обобщения непрерывного вейвлет-преобразования

Рассмотрим непрерывное вейвлет-преобразование в случае пространства , то есть когда функции зависят от  переменных.

Преобразование Фурье в . Пусть . Преобразование Фурье функции  определяется формулой

,                                                                      (1.46)

где, ,  и .

Преобразование Фурье в  обладает аналогичными свойствами, что и в одномерном случае. Вот некоторые из них.

Формула обращения:

.                                                              (1.47)

Формула Планшереля:

.                                                  (1.48)

Сдвиг пространственной переменной:

.                                                                (1.49)

Действие линейного оператора на . Пусть  линейный невырожденный оператор в пространстве . Тогда

,                                                                  (1.50)

где  обратная транспортная матрица.

Для перехода к многомерным, необходимо проанализировать одномерное вейвлет-преобразование с теоретико-групповой точки зрения. Введем два обозначения. Символом  будем обозначать группу по умножению ненулевых действительных чисел, , а символом  - группу по умножению положительных действительных чисел.

Аффинная группа. Преобразование вида  - это действие аффинной группы  на пространстве . Аффинная группа  параметризуется двумя переменными , здесь  ‒ группа по сложению. Однако  не является прямым произведением групп  и . Действительно, если  и , то композиции этих преобразований есть . Поэтому закон перемножения элементов  и  следующий:

.

Такая структура называется полупрямым произведением групп  и .

Элементы  группы  удобно представлять как матрицы вида:

При этом если  и , то композиция этих преобразований  соответствует произведение матриц

.

Обратное преобразование для  имеет вид , и ему соответствует обратная матрица

.

Аффинная группа  параметризуется двумя переменными . Если предполагаем интегрировать по этому пространству параметров, то в качестве элемента объема естественно взять . Однако данный элемент объема  не связан с групповой структурой на . В частности,  не будет инвариантным относительно левых сдвигов на группе . Другой элемент объема:

,

зависящий от точки . Этот момент объема уже будет левоинвариантным. Действительно, если  есть левый сдвиг на группе элементов , то для выбранного элемента объема выполняется свойство:

.

В общем случае преобразование  действует на дифференциальных формах  как замена переменной, по формуле: . Пусть

, .

Тогда .

Каждый элемент  аффинной группы  действует на функциях следующим образом: , то есть . Такое действие, хотя и является вполне естественным, обладает двумя недостатками. Во-первых, композиции матриц не соответствует композиция операторов в том же порядке:

, ,

а во-вторых, оно не унитарно, то есть не сохраняет -норму функции . Первый недостаток можно устранить, определив действие группы  на функциях через обратное преобразование

, то есть . Тогда